\documentclass[11pt] {article} 
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%Tapuscrit : Jean-Paul GOUALARD
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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 


\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STMG }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{17 juin 2014}}
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~ Correction du Baccalauréat STMG~\decofourright   \\
Métropole 17 juin 2014  }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1\hfill (5 points) }}

%Un parc d'attractions est ouvert au public de 9 h à  21 h.

La courbe $\mathscr{C}$ donnée ci-dessous représente l'évolution du nombre de visiteurs attendus durant une journée. 

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.015cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(7,-50)(22,530)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=50,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(8,0)(22,500)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.2pt,linecolor=red]{9.0}{21.0}{-8*x^(2)+232*x-1282}
\multido{\r=8+0.5}{31}{\psline[linewidth=0.5pt](\r,0)(\r,500)}
\multido{\n=0+50}{11}{\psline[linewidth=0.5pt](8,\n)(22,\n)}
\multido{\n=0+50}{11}{\uput[l](8,\n){\n}}
\begin{scriptsize}
\uput[d](9.5,200){$\mathscr{C}$}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](11,0)(11,300)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](12,0)(12,350)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](18,0)(18,300)

\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Recopier le tableau suivant et le compléter avec la précision permise par le graphique ci dessus. 
\text{ }
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|}
\hline
Heure de la journée &11 h&12 h\\
\hline
Nombre de visiteurs attendus &300&350\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\item %Quel est le taux d'évolution, en pourcentage arrondi à  0,1\:\%, du nombre de visiteurs attendus entre 11 heures et 12 heures? 
Le taux d'évolution du nombre de visiteurs attendus entre 11 heures et 12 heures est :

\medskip

$\dfrac{350-300}{300}=\dfrac{50}{300}=\dfrac{1}{6}\approx \boxed{\textcolor{red}{16,7\:\%}}$
\end{enumerate}


\item %Lorsque le nombre de visiteurs est supérieur ou égal à  300, un fond musical est diffusé par les haut-parleurs du parc. 

%Un touriste aimerait faire la visite en profitant du fond musical. 
%
%Quels horaires peut-on conseiller à  ce touriste pour se rendre au parc d'attractions? 
Le nombre de visiteurs est supérieur à  300 entre 11 h et 18 h, donc le visiteur, s'il veut bénéficier d'un fond musical, doit venir \textbf{entre 11 h et 18 h}.

\item La courbe $\mathscr{C}$ ci-dessus est la représentation graphique sur l'intervalle [9~;~21] de la fonction $f$ définie par \[f(x)= -8x^2 + 232x - \numprint{1282}.\] 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les nombres de visiteurs attendus à  11 h et à  12 h.
$f(11)=302$ donc le nombre de visiteurs attendus à  11 h est de $\boxed{\textcolor{red}{302}}$.\\
$f(12)=350$ donc le nombre de visiteurs attendus à  12 h est de $\boxed{\textcolor{red}{350}}$\\
%Comment peut-on expliquer les éventuels écarts avec les résultats de la question 1. (a) ? 
Une lecture graphique est imprécise, ce qui explique la petite erreur sur le nombre de visiteurs à  11 h.

\item %Calculer $f' (x)$, oà¹ $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. 
$f'(x)=-8\times 2x+232=-16x+232=\boxed{\textcolor{red}{8(-2x+29)}}$.

\item %En déduire, par le calcul, 1'heure à  laquelle le nombre de visiteurs attendus est maximal, et donner la valeur de ce  maximum. 
$f'(x)=0$ pour $x=\dfrac{29}{2}$ ; $f'(x)\geqslant 0$ pour $x\leqslant \dfrac{29}{2}$ et $f'(x)\leqslant 0$ pour $x\geqslant \dfrac{29}{2}$.\\
On en déduit le tableau de variation de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&9&&14,5&&21\\
\hline
f"(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\m{f(x)}&158&\c&\h{400}&\d&62\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}
\textbf{Le maximum de visiteurs est atteint à  14 h 30 et est de 400 visiteurs.
}\end{enumerate}


\subsection*{ \textcolor{blue}{Exercice 2\hfill (6 points)}}

Dans une ville, on estime qu'à  partir de 2013, le nombre de voitures électriques en circulation augmente de 12\:\% par an. 

Au 1\up{er} janvier 2013, cette ville propose 148 places de parking spécifiques avec borne de recharge. La commune prévoit de créer chaque année 13 places supplémentaires.

La feuille de calcul ci-dessous doit rendre compte de ces données.\\

\emph{Les cellules sont au format \og{}nombre à  zéro décimale \fg{}. }

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{gray!60}}l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\rowcolor{gray!60} &A &B &C &D &E &F &G &H \\
\hline
1&Date&1\up{er} janvier 2013&1\up{er} janvier 2014&1\up{er} janvier 2015&1\up{er} janvier 2016&1\up{er} janvier 2017&1\up{er} janvier 2018&1\up{er} janvier 2019\\
\hline
2&Nombre de voitures électriques&100&112&&&&&\\
\hline
|l3&Nombre de places spécifiques&148&161&&&&&\\
\hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Partie A }

\bigskip


\begin{enumerate}
\item %Préciser une formule qui, entrée en cellule C2, permet, par recopie vers la droite, d'obtenir le contenu des cellules de la plage C2 : H2. 
Le coefficient multiplicateur associé à  une hausse de 12\:\% est 1,12. \\
La formule à  entrer en C2 est donc  \fbox{\textcolor{red}{=B2*1.12}}.

\item %Déterminer le pourcentage global d'évolution du nombre de voitures électriques en circulation entre 2013 et 2016, arrondi à  0,1\:\%. 
Entre 2013 et 2016, il s'écoule trois ans ; le coefficient multiplicateur global est $C=1.12^3=1,404928$.\\
Le taux T correspondant est $T$ avec $C=1+T$ donc $T=0,404928$, doit environ \fbox{\textcolor{red}{40,5\:\%}}.

\item Soit $n$ un entier naturel. Le nombre de voitures électriques en circulation au l\up{er} janvier de l'année $(2013 + n)$ est modélisé par le terme $V_n$ d'une suite \textbf{géométrique}. 

Ainsi $V_0 = 100. $

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la raison de la suite $\left(V_n\right)$. 
Le coefficient multiplicateur annuel est de 1,12 donc la raison de cette suite géométrique est \fbox{\textcolor{red}{q=1,12}}.

Pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{V_{n+1}=1,12V_n}}$

\item %Préciser l'expression de $V_n$ en fonction de $n$. 
Pour tout $n$, on a : $V_n=V_0q^n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{V_n=100\times 1,12^n}}$

\item %Calculer $V_8$ et $V_9$ arrondis à  l'unité. 
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{V_8\approx 248}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{V_9\approx 277}}$

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B }

\bigskip

\begin{enumerate}
\item %Préciser une formule qui, entrée en cellule C3, permet, par recopie vers la droite, d'obtenir le contenu des cellules de la plage C3 : H3
Le valeurs augmentent de 13 à  chaque étape, donc la formule à  rentrer en C3 est \fbox{\textcolor{red}{\og{}=B3+13\fg{}}}. 

\item %Soit $n$ un entier naturel. On note $P_n$ le nombre de places de parking spécifiques au 1\up{er} janvier de l'année $(2013 + n)$. Ainsi $P_0 = 148$. 

\begin{enumerate}
\item %Montrer que pour tout entier naturel $n$ : $P_n = 13n + 148$. 
Pour tout $n$, $P_{n+1}=P_n+13$ donc la suite $\left(P_n\right)$ est \textbf{arithmétique}, de premier terme $P_0=148$ et de raison $r=13$.\\

\noindent Le terme général est alors $P_n=P_0+nr$ donc $\boxed{\textcolor{red}{P_n=148+13n}}$.

\item %En quelle année le nombre de places de parking spécifiques dépassera-t-il pour la première fois 250 ? 
On cherche $n$ tel que $P_n\geqslant 250$.\\
On résout donc l'équation $148+13n\geqslant 250$.\\
Cela revient à  $13n\geqslant 250-148=102$ donc $n\geqslant \dfrac{102}{13}\approx \boxed{\textcolor{red}{7,8}}$.\\
Le nombre de places dépassera 250 au bout de 8 ans, donc \fbox{\textcolor{red}{en 2021}}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C }

\bigskip

%En utilisant les parties A et B, déterminer l'année à  partir de laquelle on peut prévoir que le nombre de places de parking spécifiques sera insuffisant. 
%
%\bigskip
%
%\emph{La méthode employée pour répondre à  cette question devra être expliquée. }
On cherche pour quelles valeurs de $n$ le nombre de places spécifiques est inférieur au nombre de véhicules électriques.\\
On cherche donc les valeurs de $n$ pour lesquelles $100\times 1,12^n\geqslant 148+13n$.\\
On fait un tableau de valeurs des deux suites.
On  trouve $\boxed{\textcolor{red}{V_9\approx 277}}$, alors que $\boxed{\textcolor{red}{P_9\approx 265}}$.
Le nombre de places spécifiques deviendra insuffisant en 2022.

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3\hfill (4 points) }}

%Albert est un marin participant à  une course à  la voile en solitaire. Son bateau est très rapide, mais fragile en cas de tempête. 
%
%Les prévisions météo permettent d'estimer que, durant la course, la probabilité qu'une tempête survienne est égale à  0,05.
% 
%En cas de tempête, on estime que la probabilité qu'Albert soit vainqueur de la course est de 0,02.
%
%En revanche, si aucune tempête ne survient, la probabilité de victoire d'Albert est de 0,8. 
%
%Pour tout événement E, on note $\overline{\text{E}}$ l'événement contraire de E.
%
%On considère les événements : 
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item T : \og{} une tempête survient pendant la course\fg{}
%
%\item V: \og{} Albert est vainqueur de la course \fg{}. 
%
%\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item %En utilisant les données de l'énoncé, reproduire et compléter l'arbre ci-dessous : 
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{T}\taput{ $0,05$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{V}\taput{ $0,02$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{V}}$}\tbput{ $0,98$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{\text{T}}$}\tbput{ $0,95$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{V}\taput{ $0,8$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{V}}$}\tbput{ $0,2$}}}
\end{center}

\bigskip

\item %Quelle est la probabilité de l'évènement: \og{}Une tempête survient et Albert est vainqueur de la course\fg{} ? 
La probabilité de l'évènement: \og{}Une tempête survient et Albert est vainqueur de la course\fg{}est $p(T\cap V)=p_T(V)\times p(T)=0,02\times 0,05=0,001$ ; $\boxed{\textcolor{red}{p(T\cap V)=0,001}}$

\item %Montrer que la probabilité qu'Albert remporte la course est égale à  0,761. 
$V=(V\cap T)\cup (V\cap \overline{T})$ (réunion d'événements incompatibles).\\
Par conséquent : $p(V)=p(V\cap T)+p(V\cap \overline{T})=0,001+0,8\times 0,95=0,001+0,76=\boxed{\textcolor{red}{0,761}}$.\\
La probabilité qu'Albert remporte la course est 0,761.

\item %Calculer la probabilité qu'une tempête soit survenue sachant qu'Albert a gagné la course. 
%On donnera le résultat arrondi à  $10^{-4}.$ 
$p_V(T)=\dfrac{p(T\cap V)}{p(V)}=\dfrac{0,001}{0,761}\approx\boxed{\textcolor{red}{ 0,0013}}$.\\
La probabilité qu'une tempête soit survenue sachant qu'Albert a gagné la course est \numprint{0,0013} à  $10^{-4}$ près.

\end{enumerate}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4\hfill(5 points) }}

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à  choix multiple (QCM).\\ 
%Pour chacune des cinq questions, une et une seule des réponses proposées est exacte. \\
%Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou pour une absence de réponse. \\
%Aucune justification n'est demandée. }

%\bigskip

\textbf{Partie A }

\bigskip

Après réalisation d'une enquête, on estime que le temps en minutes, consacré quotidiennement par un élève à  faire ses devoirs scolaires, est une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale, d'espérance 60 et d'écart type 15.

L'allure de la courbe de densité de cette loi normale est représentée ci-dessous. 

L'égalité $P(X\leqslant 40) = \numprint{0,0912}$ est illustrée graphiquement. 

\begin{center}

\psset{xunit=0.1cm,yunit=150cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-10,-0.01)(120,0.03)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=10,Dy=0.005,ticksize=-2pt 0,subticks=5]{->}(0,0)(10,0)(120,0.03)
\pscustom[fillcolor=cyan,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot[plotpoints=400]{-400}{40}{EXP((-(x-60)^(2))/(15^(2)*2))/(abs(15)*sqrt(PI*2))}\lineto(40,0)\lineto(-400,0)\closepath}
\psplot[plotpoints=400]{10.0}{120.0}{EXP((-(x-60)^(2))/(15^(2)*2))/(abs(15)*sqrt(PI*2))}
\rput[tl](25.88,0.02){0,0912}
\psline{->}(30,0.02)(37.02,0.006)
\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](30,0.02)
%\rput[bl](30.64,0.02){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](37.02,0)
%\rput[bl](37.62,0){\blue{$B$}}
%\rput[bl](33.9,0.01){$u$}
\end{scriptsize}
\psline[linestyle=dashed](60,0)(60,0.027)
\psline[linestyle=dashed](80,0)(80,0.011)
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %La probabilité qu'un élève consacre quotidiennement plus de 80 minutes à  faire ses devoirs scolaires est: 
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%a) 0,0912 &b) 0,8076 &c) 0,8 &d) 0,9088 
%\end{tabularx}
%
%\end{center}
La courbe est symétrique par rapport à  la droite d'équation $x=60$, donc $p(X\geqslant 80)=p(X\leqslant 40)=0,0912$.\\
C'est la \textbf{\textcolor{red}{réponse a)}}.

\item %La probabilité qu'un élève consacre quotidiennement moins d'une heure à  faire ses devoirs scolaires est :\\ 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%a) 0,5 &b) 0,6 &c) 1 &d) 0,1368 
%\end{tabularx}
La probabilité qu'un élève consacre quotidiennement moins d'une heure à  faire ses devoirs scolaires est \\
$p(X\leqslant 60)=0,5$ puisque la courbe est symétrique par rapport à  la droite d'équation $x=60$ et que l'aire totale sous la courbe vaut 1.\\
C'est la \textbf{\textcolor{red}{réponse a)}}
\end{enumerate}
\bigskip

\newpage
\textbf{Partie B }

\bigskip

%Dans un lycée, on a noté l'évolution du nombre d'élèves possédant un téléphone portable avec accès à  Internet. 
%
%Entre 2011 et 2012, ce nombre a augmenté de 20 \:\% ; Entre 2012 et 2013, ce nombre a baissé de 25\:\%. 

\begin{enumerate}
\item %Le taux d'évolution global entre 20 Il et 2013 est :\\  
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%a) - 5 \:\%&b) -10\:\%&c) 45\:\%&d) 0,9\:\%
%\end{tabularx}
Le coefficient multiplicateur global correspondant à  l'évolution sur les deux années est \\
$C=\left(1+\dfrac{20}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{25}{100}\right)=1,2\times 0,75=0,9$.\\
Le taux correspondant est $T$ avec $C=1+T$ donc $T=C-1=-0,1=-10\:\%$.

Il s'agit de la \textbf{\textcolor{red}{réponse b)}}.

\item %Le taux d'évolution moyen annuel entre 2011 et 2013, arrondi à  0,1\:\% , est : \\
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%a) 0,9\:\%&b) -2,5\:\%&c) - 5,1\:\%&d) - 5\:\%
% \end{tabularx}
Soit $t$ le taux moyen annuel entre 2011 et 2013. le coefficient multiplicateur correspondant est $(1+t)^2$.\\
On en déduit $(1+t)^2=0,9$ donc $1+t=\sqrt{0,9}$ et $t=\sqrt{0,9}-1\approx -0,0513\approx -5,1\:\%$.\\
C'est la \textbf{\textcolor{red}{réponse c)}}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C }

\bigskip

%On procède à  un contrôle technique de 100 scooters constituant un échantillon représentatif des scooters circulant dans une ville.
%
%27 de ces scooters sont déclarés en mauvais état. 
%
%à€ partir de ce résultat, on souhaite estimer la proportion de scooters en mauvais état circulant dans la ville. 
%
%Un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\:\%, pour la proportion de scooters en mauvais état dans la ville est : \\
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%a) [0,26~;~0,28] &b) [0,2~;~0,3] &c) [0,17~;~0,37] &d) [0,27~;~0,95] 
%\end{tabularx}
Un intervalle de confiance, au niveau de confiance 95\:\%, est $I=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.\\
Ici, $f=\dfrac{27}{100}= 0,27$ ; $n = 100$.\\
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{I=[0,17~;~0,37]}}$.\\
C'est la \textbf{\textcolor{red}{réponse c)}}
\label{fin}
\end{document}