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%Tapuscrit Jean-Claude Souque
%Relecture : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{27 novembre 2020}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat STMG Nouvelle Calédonie 27 novembre 2020~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}  

\medskip

Les membres d'un centre de loisirs ont le choix entre différentes activités. Parmi celles-ci figurent des activités sportives, des activités artistiques et d'autres activités.

 On sait que :
\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item  60\,\% des membres pratiquent une activité sportive;
\item  parmi ceux qui pratiquent une activité sportive, 5\,\% pratiquent aussi une activité
artistique;
\item parmi ceux qui ne pratiquent pas d'activité sportive, 27\,\% ont choisi une activité
artistique.
\end{itemize}

On choisit un membre du centre de loisirs au hasard et on définit les évènements suivants
\begin{itemize}
\item []$S$ : \og la personne pratique une activité sportive \fg
\item []$A$ : \og la personne pratique une activité artistique\fg

$\overline{S}$ et $\overline{A}$ désignent respectivement les évènements contraires de $S$ et $A$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.

\begin{center}

\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=3.25cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$S$~}\taput{$\np{0.6}$}}
	{
	\TR{$A$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{S}$~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$A$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{$\dots$}
	}
}

\end{center}

\item Définir par une phrase l'évènement $S \cap A$, puis calculer sa probabilité.
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est 0,138.
\item Sachant que la personne choisie pratique une activité artistique, quelle est la
probabilité qu'elle pratique une activité sportive ? 
On arrondira le résultat au millième.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}  

\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne les quantités de marchandises transportées dans le monde
par voie maritime entre 2000 et 2017, exprimées en millions de tonnes.

\smallskip

{\small
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.58cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Année& 2000& 2005& 2010& 2011& 2012& 2013 &2014& 2015& 2016 &2017\\\hline
Rang de l'année: $x_i$ &0& 5& 10& 11& 12& 13& 14& 15& 16& 17\\\hline
Quantité de marchandises en millions de tonnes $y_i$&\np{5984}& \np{7109}&\np{8409}&\np{8784}&\np{9197}&\np{9548} &\np{9842}&\np{10024}&\np{10289}&\np{10702}\\\hline
\multicolumn{11}{r}{\footnotesize \emph{Source : Nations Unies, (UNCTAD)}}
\end{tabularx}
}

\smallskip
Le nuage de points de coordonnées $(x_i~;~y_i)$ est donné en \textbf{annexe à rendre avec la copie}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Expliquer pourquoi ce nuage de points permet d'envisager un ajustement affine.
\item Déterminer à l'aide de la calculatrice l'équation réduite de la droite d'ajustement
de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les
coefficients au dixième.
\item On décide de modéliser la quantité de marchandises $y$ en fonction du rang de
l'année $x$ par l'expression $y = 280x + \np{5800}$.

Tracer la droite $D$ d'équation $y = 280x + \np{5800}$ dans le repère donné en \textbf{annexe
à rendre avec la copie}.
\item Estimer, selon le modèle de la question \textbf{3.}, la quantité de marchandises
transportées par voie maritime en 2025, en expliquant la démarche suivie.
\end{enumerate}

\bigskip
    
\textbf{Partie B}  

\medskip


Un navire porte-conteneurs fait le trajet Shanghai (Chine) -- Le Havre (France).

Une étude permet de modéliser son temps de trajet, exprimé en jours, par une
variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance 26 et d'écart type 2.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la probabilité $P(X \leqslant26)$ et en donner une interprétation dans le
contexte étudié.
\item Calculer la probabilité que le navire mette plus de 28 jours pour faire le trajet.

On arrondira le résultat au millième.
\end{enumerate}
\bigskip
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}  

\medskip

Tous les ans à partir de fin novembre, des volontaires d'une organisation non
gouvernementale de protection de la nature parcourent les côtes de la Californie pour
estimer le nombre de papillons Monarques: il s'agit d'une espèce de papillons qui
viennent y passer l'hiver.

On dispose des données suivantes:
\begin{center}
\begin{tabular}[]{|m{6.6cm}|*{5}{c|}}
\hline
Année &1997&2000&2006& 2012&2019\\
\hline
Nombre de papillons Monarques en milliers &\np{1300} &400&200& 90&50\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip
    
\textbf{Partie A}  

\medskip


Dans cette partie, les résultats seront arrondis à 0,1\,\%.
\begin{enumerate}
\item  Calculer le taux d'évolution global du nombre de papillons Monarques entre 1997
et 2019.
\item Montrer que le taux d'évolution annuel moyen du nombre de papillons
Monarques entre 1997 et 2019 est $-13,8\,\%$.
\end{enumerate}
\bigskip
    
\textbf{Partie B}  

\medskip

On suppose qu'à partir de l'année 2019, le nombre de papillons baisse de 14\,\% chaque
année.

On décide de modéliser le nombre de papillons Monarques par une suite $(u_n)$

Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de milliers de papillons Monarques pour
l'année $(2019 + n)$.

On a donc $u_0 = 50$.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $u_1 = 43$.
\item Justifier que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 0,86.
\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
\item Estimer selon ce modèle le nombre de papillons Monarques en 2029. On
arrondira le résultat au millier.
\item On souhaite calculer le rang de l'année à partir duquel le nombre de papillons
Monarques sera strictement inférieur à 10 milliers.

Recopier et compléter l'algorithme suivant, afin qu'après exécution, la variable $N$
contienne la valeur recherchée.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
$U \leftarrow 50$\\
$N\leftarrow 0$\\
Tant que $U \dots $\\
\hspace{1.5em}$U \leftarrow \dots$\\
\hspace{1.5em}$N \leftarrow N+1$\\
Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\bigskip
    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}  

\medskip

Une entreprise fabrique des petites figurines pour enfant. Pour s'assurer de la qualité de
ses produits, l'entreprise ne réalise pas plus de 18 milliers de figurines par mois et on
suppose que chaque figurine produite est vendue.

On note $x$ le nombre de milliers de figurines vendues par mois, avec $x \in [0~;~18]$.

\bigskip
    
\textbf{Partie A : lecture graphique}  

\medskip

On a représenté sur le graphique ci-dessous le chiffre d'affaires mensuel et le coût de
production mensuel en fonction du nombre de milliers de figurines produites.

La courbe $\mathcal{C}$ représente le coût de production et la courbe $\mathcal{R}$ le chiffre d'affaires mensuels.

À l'aide du graphique répondre aux questions suivantes:

\begin{enumerate}
\item  Quel est le montant du chiffre d'affaires mensuel obtenu pour 10 milliers de
figurines vendues ?
\item Donner sous forme d'intervalle le nombre de milliers de figurines vendues pour
lequel l'entreprise réalise des profits.
\end{enumerate}

\begin{center}




\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.0001cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-1,-1500)(21,115000)
\multido{\n=0+1}{21}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,0)(\n,110000)}
% \multido{\n=0+1}{51}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-100)(\n,100)}
 \multido{\n=0+10000}{12}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(20,\n) \uput[l](0,\n){\footnotesize\np{\n}}}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dy=10000,labels=x,labelsep=0.1pt]{->}(0,0)(21,115000)
\psplot[linewidth=1.05pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{18}{x 5000 mul}
\psplot[linewidth=1.05pt,linecolor=awesome,plotpoints=5000]{0}{18}{x x 230 mul 860 add  mul 12880 add}
\uput[d](17,-3000){\footnotesize Nombre de figurines (en milliers)}
\uput[d]{90}(-2.5,105000){\footnotesize Montants (en euros)}
\uput[u](18,103000){\red $\mathcal{C}$}\uput[u](18,90000){\blue $\mathcal{R}$}
\uput[d](20.8,0){$x$}\uput[l](0,113000){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip
    
\textbf{Partie B :étude du bénéfice mensuel }  

\medskip

Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~18], on note $B(x)$ le bénéfice mensuel de
l'entreprise en euros. On a :

\[ B(x) = -230x^2 + \np{4140}x - \np{12880}.\]
\begin{enumerate}
\item  On admet que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~18] :

\[B(x) = -230\left(x^2- 18x + 56\right).\]
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation suivante par le calcul:

\[x^2 - 18x + 56 = 0.\]
\item En déduire les points morts de production, c'est-à-dire les nombres de
figurines produites pour lesquels le bénéfice est nul.
\end{enumerate}
\item On note $B$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~18] par:
\[B(x) = -230x^2 + \np{4140}x - \np{12880}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $B'(x)$ pour $x$ appartenant à [0~;~18].
		\item Étudier le signe de $B'(x)$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~18].
		\item Combien l'entreprise doit-elle vendre de figurines pour que le bénéfice soit
maximal ? Quel est le montant de ce bénéfice maximal ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{3cm}
\newpage
\begin{landscape}
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.0014cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-2,-260)(32,10000)
\multido{\n=0+1}{27}{\psline[linewidth=0.45pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,8000)}
\multido{\n=0+500}{17}{\psline[linewidth=0.45pt,linecolor=lightgray](0,\n)(26,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Oy=5000,Dy=500,labelsep=0.1pt]{->}(0,0)(26.8,8500)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.7,dotangle=45,linecolor=red](0,984)(5,2109)(10,3409)(11,3784)(12,4197)(13,4548)(14,4842)(15,5024)(16,5289)(17,5702)
\uput[d]{90}(-2,8000){\footnotesize Quantité de marchandises(en millions de tonnes)$y_i$}
\uput[dl](26,- 250){\footnotesize Rang de l'année $x_i$}
\uput[d](26.8,0){$x$}\uput[l](0,8500){$y$}
\rput{-90}(31,5000){\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}}
\rput{-90}(30,10000){Exercice 2}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
%%%%%%%%%
\end{document}
\begin{center}
\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}
\end{center}

\bigskip
    
\textbf{\textsc{Exercice 2}}  

\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.75,-260)(28,10000)
\rput{90}(0,0){\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.001cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.75,-260)(28,10000)
\multido{\n=0+1}{27}{\psline[linewidth=0.45pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,8000)}
\multido{\n=0+500}{17}{\psline[linewidth=0.45pt,linecolor=lightgray](0,\n)(26,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Oy=5000,Dy=500,labelsep=0.1pt]{->}(0,0)(26.8,8500)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](0,984)(5,2109)(10,3409)(11,3784)(12,4197)(13,4548)(14,4842)(15,5024)(16,5289)(17,5702)
\uput[d]{90}(-2.5,8000){\footnotesize Quantité de marchandises(en millions de tonnes)$y_i$}
\uput[dl](26,- 250){\footnotesize Rang de l'année $x_i$}
\end{pspicture}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}