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%Merci pour le sujet à Clotilde Rouchon
%Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{26 novembre 2019}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat STMG Nouvelle Calédonie 26 novembre 2019~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\emph{Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il  aura développée.Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}

\bigskip
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}  

\medskip

Une chaîne de salles de sport propose trois formules d'abonnement mensuel: 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Formule A : accès aux cours collectifs;
\item Formule B : accès libre à la salle de musculation;
\item Formule C : accès libre à la salle de musculation et aux cours collectifs.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

On a observé que:

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 43\,\% des clients de cette chaîne sont des hommes;
\item 13\,\% des hommes et 62\,\% des femmes ont choisi la formule A ; 
\item 74\,\% des hommes et 20\,\% des femmes ont choisi la formule B;
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Les autres ont choisi la formule C.

\medskip

\parbox{0.59\linewidth}{On choisit au hasard la fiche d'un client. 

On considère les évènements suivants:

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $F$ : \og le client est une femme \fg{} ;
\item $H$ : \og le client est un homme \fg{} ;
\item $A$ : \og le client a choisi la formule A \fg{} ;
\item $B$ : \og le client a choisi la formule B\fg{}; 
\item $C$ : \og le client a choisi la formule C \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}} \hfill 
\parbox{0.39\linewidth}
{
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\Tr{$F$~~} \taput{\ldots}}
	{\TR{$A$} \taput{\ldots}
	\TR{$B$} \taput{\ldots}
	\TR{$C$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\Tr{$H$~~} \tbput{0,43}}
	{\TR{$A$} \taput{0,13}
	\TR{$B$} \taput{\ldots}
	\TR{$C$} \tbput{\ldots}
	}
}
}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessus:\index{arbre pondéré} 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Définir par une phrase l'évènement $H \cap A$.
		\item Calculer la probabilité $p(H \cap A)$. En donner la valeur exacte.\index{probabilité}
	\end{enumerate}
\item Montrer que $p(A) = \np{0,4093}$.
\item Le client a choisi la formule A. Calculer la probabilité que ce soit un homme.\index{probabilité conditionnelle} 

\emph{Le résultat sera arrondi à }\:$10^{-4}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

La direction de la chaîne de salles de sport estime que sur l'ensemble des salles, la proportion de clients abonnés depuis plus de $12$~mois consécutifs est $p = 0,77$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer un intervalle de fluctuation, à au moins $95$\,\%, de la fréquence des clients abonnés depuis plus de $12$ mois.\index{intervalle de fluctuation}
\item Dans une des salles de sport de la chaîne, la responsable a observé que, parmi les $400$ clients, $280$ sont restés abonnés depuis plus de 12 mois parmi un échantillon de $400$ clients.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la fréquence des clients abonnés depuis plus de $12$ mois consécutifs dans
cette salle.
		\item La responsable peut-elle penser que cette salle est moins attractive que les autres
salles de la chaîne ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}  

\medskip

Une entreprise fabrique et vend un produit désinfectant liquide. Chaque jour, elle fabrique $x$ hectolitres de désinfectant avec $x$ compris entre $0$ et $12$. On considère que l'entreprise vend toute sa production.

Le coût de fabrication, en dizaine d'euros, de $x$ hectolitres de ce produit est modélisé par la fonction $C$ définie sur l'intervalle $[0~;~12]$.

Le chiffre d'affaires pour la vente de $x$ hectolitres de produit est $R(x)$, exprimé en dizaines d'euros.

Dans un repère orthogonal du plan, on a tracé les représentations graphiques des fonctions $C$ et $R$.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.005cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-50)(12.5,2300)
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linestyle=dashed](\n,0)(\n,2200)}
\multido{\n=0+200}{11}{\psline[linestyle=dashed](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=200]{->}(0,0)(0,0)(12.5,2300)
\psline(12,1800)\rput{37}(9.5,1480){chiffre d'affaires}
\psdots(4,600)\uput[ul](4,600){A}
\uput[d](9.8,-85){Nombre d'hectolitres par jour}
\rput{90}(-1.3,1600){Montant par jour (en dizaines d'euros)}
\psplot[plotpoints=20000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{x 3 exp 2 mul x dup mul 15 mul sub 66 x mul add 50 add}
\pstextpath[c](0.1,0.1){\psplot[plotpoints=20000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{x 3 exp 2 mul x dup mul 15 mul sub 66 x mul add 50 add}}{\blue coût de fabrication}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On considère la production d'une journée. Par lecture graphique:\index{lecture graphique}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le chiffre d'affaires réalisé pour la vente de 4 hectolitres.
		\item Déterminer le coût de fabrication de 4 hectolitres.
		\item En déduire le bénéfice réalisé pour la vente de 4 hectolitres.
		\item Ce bénéfice est-il maximal pour la production et la vente de 4 hectolitres ?\index{bénéfice}
Justifier.
	\end{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner sous forme d'intervalle, le nombre d'hectolitres que doit produire l'entreprise pour réaliser des profits, c'est-à-dire un bénéfice strictement positif.
\item La représentation graphique de la fonction R est une droite qui passe par l'origine du repère et par le point A de coordonnées $(4~;~600)$.\index{lecture graphique}

Déterminer l'expression de $R(x)$.
\item On note $B$ la fonction qui modélise le bénéfice de l'entreprise en fonction du nombre
d'hectolitres de désinfectant vendus. Pour $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~12] , on a : 

\[B(x) = -2x^3 + 15x^2 + 84x - 50.\]\index{fonction polynôme}

	\begin{enumerate}
		\item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Calculer $B'(x)$. 
		\item  Résoudre l'équation $-6x^2 +30x +84 = 0$.
		\item  Recopier et compléter le tableau de variations ci-dessous:
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3.5)
\psframe(8,3.5)\psline(0,2)(8,2)\psline(0,3)(8,3)\psline(2,0)(2,3.5)
\psline[linestyle=dotted](5,2)(5,3)
\uput[u](1,2.9){$x$}\uput[u](2.15,2.9){$0$}\uput[u](5,2.9){$7$}\uput[u](7.7,2.9){$12$}
\rput(1,2.6){Signe de}
\rput(1,2.2){$B'(x)$}\rput(1,1.3){Variations} \rput(1,0.7){ de $B$}
\rput(3.5,2.5){\ldots} \rput(6.5,2.5){\ldots}\rput(5,2.5){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item  Pour quelle quantité de désinfectant produite et vendue le bénéfice est-il maximal ? Quel est alors le bénéfice ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}  

\medskip

La fréquentation d'un parc animalier français depuis l'année 2010 est donnée dans la feuille de calcul ci-dessous, où le nombre de visiteurs est exprimé en milliers.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&\multicolumn{1}{|c|}{A}			& B		&C		&D		&E		&F			&G \\\hline
1& Année							&2010 	&2011 	&2012 	&2013 	&2014 		&2015\\\hline
2& Rang de l'année : $x_i$			& 0 	&1 		&2 		&3 		&4 			&5\\\hline
3& Nombre de visiteurs (en milliers) : $y_i$&530 	&600 	&\np{1002} 	&910 &912 &\np{1099}\\ \hline
4& Taux d'évolution annuel (en \%)	&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad} &13,2	&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

La ligne 4 de cette feuille de calcul contient les taux d'évolution entre deux années consécutives, arrondis à $0,1$. 

Par exemple, le taux d'évolution annuel du nombre de visiteurs entre 2010 et 2011 est de $13,2$\,\%.\index{taux}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle formule peut-on écrire dans la cellule C4, qui par recopie vers la droite permet
de compléter la ligne 4 ?
\item  Vérifier que le taux d'évolution annuel moyen entre les années 2010 et 2015 est
environ $15,7$\,\%.\index{taux moyen}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ est représenté dans le graphique en \textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de ce nuage de points, obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients à $0,01$.\index{droite d'ajustement}
\item On décide d'ajuster le nuage de points par la droite $D$ d'équation $y = 105x + 579$.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $D$ sur le graphique donné en \textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}.
		\item Selon ce modèle, déterminer le nombre de visiteurs que l'on peut prévoir en 2019.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On suppose dans cette partie que le nombre de visiteurs dans le parc animalier augmente chaque année de 15,7\,\% à partir de 2015. 

On note $v_n$ le nombre de visiteurs, en milliers, en $2015 + n$. Ainsi, $v_0 = \np{1099}$.\index{suite géométrique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de visiteurs en 2016.
\item Justifier que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. Préciser la raison. 
\item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\parbox{0.6\linewidth}{\textbf{4.} On utilise l'algorithme ci-contre :\index{algorithme}

À la fin de l'exécution de l'algorithme, on admet que $N = 5$. 

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
} \hfill 
\parbox{0.36\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
$N \gets 0$\\
$V \gets \np{1099}$\\
Tant que $V < \np{2000}$\\
\hspace{0,6cm}$V \gets V \times 1,157$\\
\hspace{0,6cm}$N \gets N + 1$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}  

\medskip

\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples}\index{QCM}

\emph{Pour chaque question, une seule des trois affirmations proposées est correcte.\\
Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de l'affirmation choisie.\\
Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte un point, une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Après une augmentation de 25\,\%, le prix d'un objet est $80$~euros. Avant cette augmentation, l'objet valait :\index{pourcentage}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~} 60 euros &\textbf{b.~} 64 euros &\textbf{c.~} 100 euros
\end{tabularx}
\end{center}

\item  À l'ouverture d'une nouvelle salle de cinéma, on a relevé \np{1360}~entrées la première semaine, nombre pris comme indice de base $100$. Trois semaines plus tard, la fréquentation est passée à \np{1632} entrées. L'indice correspondant est :\index{indice}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~} 20 &\textbf{b.~} 102 &\textbf{c.~} 120
\end{tabularx}
\end{center}

\item  On considère $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne \np{2019} et
d'écart-type $2$. La probabilité $p(X \geqslant \np{2021})$, arrondie à $0,01$, est égale à : \index{loi normale}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~} 0,16 &\textbf{b.~} 0,34 &\textbf{c.~} 0,84
\end{tabularx}
\end{center}

\item  On considère $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne \np{2019} et d'écart-type $2$.

On donne ci-dessous la courbe de densité de la variable aléatoire $X$.\index{densité}

Parmi les trois figures ci-dessous, celle pour laquelle la probabilité représentée est égale à $0,95$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
\psset{xunit=0.35cm,yunit=14cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.04)(16,0.25)
\psline(0,0)(16,0)\psline(5,0)(5,0.026)\psline(13,0)(13,0.026)
\multido{\n=0+2,\na=2010+2}{9}{\uput[d](\n,0){\footnotesize \na}}
\psGauss[mue=9,sigma=2]{0}{16}
\rput(-1,0.22){\textbf{a.}}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.35cm,yunit=14cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.04)(16,0.25)
\psline(0,0)(16,0)\psline(7,0)(7,0.12)\psline(11,0)(11,0.12)
\multido{\n=0+2,\na=2010+2}{9}{\uput[d](\n,0){\footnotesize\na}}
\psGauss[mue=9,sigma=2]{0}{16}
\rput(-1,0.22){\textbf{b.}}
\end{pspicture}\\ \hline
\psset{unit=0.35cm,yunit=14cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.04)(16,0.25)
\psline(0,0)(16,0)\psline(12,0)(12,0.066)\psline(6,0)(6,0.066)
\multido{\n=0+2,\na=2010+2}{9}{\uput[d](\n,0){\footnotesize\na}}
\psGauss[mue=9,sigma=2]{0}{16}
\rput(-1,0.22){\textbf{c.}}
\end{pspicture}&\multicolumn{1}{|c}{}\\ \cline{1-1}
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{ANNEXE 1 -- EXERCICE 3}
\end{flushleft}

\bigskip

\psset{xunit=1cm,yunit=0.01cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-100)(9.5,1150)
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linestyle=dashed](\n,0)(\n,1100)}
\multido{\n=0+100}{12}{\psline[linestyle=dashed](0,\n)(9,\n)}
\multido{\n=0+100,\na=400+100}{12}{\rput(-0.5,\n){\np{\na}}}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=400,Dy=2000]{->}(0,0)(0,0)(9.5,1150)
\uput[d](8,-50){Rang $x_i$ de l'année}
\rput{90}(-1.2,850){Nombre de visiteurs $y_i$ (en milliers)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.6,linecolor=red,linewidth=1.5pt](0,130)(1,200)(2,602)(3,510)(4,512)(5,699)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}