\documentclass[10pt,a4paper,french]{article}
\usepackage{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage{xspace}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage[euler]{textgreek}
\usepackage{textcomp,enumitem}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
%Sujet aimablement fourni par Clotilde Rouchon
%tapuscrit Jean-Claude Souque
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat STMG},
pdftitle = {Nouvelle Calédonie - 16 novembre 2016 },
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[np]{numprint}
\renewcommand\arraystretch{1.2}
\def\e{\text{e}}
\frenchbsetup{StandardLists=true}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies \\du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{16 novembre 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG  Nouvelle Calédonie 16 novembre 2016~\decofourright\\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (4 points)}   

\medskip

\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).}

\emph{Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question, suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une
question sans réponse n'enlève pas de point.}\index{Q. C. M.}

\medskip

La feuille de calcul ci-dessous, obtenue à l'aide d'un tableur, donne d'évolution du prix du
timbre d'une lettre prioritaire en France métropolitaine entre 2005 et 2015.

\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2.32cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&\centering{A}&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L\\\hline
1	&\centering {Année}&2005&2006&2007&2008&2009&2010&2011&2012&2013&2014&2015\\\hline
2	&Prix du timbre en euro&\np{0.53}&\np{0.54}&\np{0.54}&\np{0.55}&\np{0.56}&\np{0.58}&\np{0.6}&\np{0.61}&\np{0.63}&\np{0.66}&\np{0.76}\\\hline
3	&Taux d'évolution du prix &\cellcolor{gray}&&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Le taux d'évolution global du prix du timbre entre 2005 et 2015, arrondi à $0,1$\:\% près,
est de:

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
 \textbf{a.~~} $\np{30.3}\,\%$&\textbf{b.~~} $43,4\,\%$&\textbf{c.~~} $3,0\,\%$&\textbf{d.~~}  $4,3\,\%$
 \end{tabularx}

\item Le taux d'évolution annuel moyen du prix du timbre entre 2005 et 2015, arrondi à
0,01\,\% près, est de:\index{taux}

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
 \textbf{a.~~} $0,37\,\%$&\textbf{b.~~} $3,67\,\%$&\textbf{c.~~} $2,75\,\%$&\textbf{d.~~}$0,43\,\%$
 \end{tabularx}

\item La formule qui, entrée dans la cellule C3 et recopiée vers la droite, permet de
compléter le tableau est:

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
 \textbf{a.~~}=C2$-$B2/C2 &\textbf{b.~~}=(C2$-$\$B\$2)/\$B\$2 &\textbf{c.~~}=(C2$-$B2)/B2 &\textbf{d.~~} =(C2$-$B2)/C2
 \end{tabularx}

\item En supposant que le prix du timbre va augmenter chaque année de 4\,\% à partir de
2015, le prix du timbre en 2020, arrondi au centime d'euro près, sera de:\index{suite géométrique}

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
 \textbf{a.~~} $0,79$~\euro &\textbf{b.~~} $1,06$~\euro&\textbf{c.~~} $0,92$~\euro&\textbf{d.~~}  $0,96$~\euro
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip

Une association spécialisée dans la vente de produits biologiques propose à ses clients
deux types de paniers: petit modèle et grand modèle. Ils sont composés de légumes et,
suivant la demande des clients, de produits laitiers. 

Il apparaît que:

\begin{itemize}
\item [$\bullet$] 60\,\% des clients choisissent un petit modèle. Les autres achètent un grand modèle.
\item [$\bullet$] parmi ceux qui choisissent un petit modèle, 50\,\% y ajoutent des produits laitiers.
\item [$\bullet$] parmi ceux qui choisissent un grand modèle, 80\,\% y ajoutent des produits laitiers.
\end{itemize}

On interroge au hasard un des clients.

On note $T$ l'évènement, \og le client a choisi un petit modèle\fg{} et $L$ l'évènement, \og le client y a fait ajouter des produits laitiers\fg.\index{probabilités}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
\begin{enumerate}
\item Donner les probabilités $P(T)$ et $P_{T}(L)$.
\item Recopier et compléter sur la copie l'arbre de probabilités suivant:\index{arbre}

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$T$~}\taput{0,6}}
	{
	\TR{$L$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{L}$}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{T}$~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$L$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{L}$}\tbput{$\dots$}
	}
}
\end{center} 

\item Calculer la probabilité que le client interrogé ait choisi un petit modèle et des produits
laitiers.
\item Peut-on affirmer que moins des deux tiers des clients achètent des produits laitiers ?

Justifier la réponse par un calcul.
\item Calculer $P_{L}(T)$. Interpréter cette probabilité.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le producteur qui fournit cette association vend aussi des yaourts chaque samedi sur un
marché. On note $X$ la variable aléatoire, qui, à chaque semaine, associe le nombre de
yaourts vendus au marché. On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu\, =\, 180$ et
d'écart type $\sigma\, = \,30$.\index{loi normale}

\begin{enumerate}
\item Calculer à l'aide de la calculatrice, la probabilité arrondie au millième que le nombre
de yaourts vendus soit inférieur ou égal à $150$.
\end{enumerate}
\medskip

On donne la courbe de densité de la loi normale d'espérance $\mu \, =\, 180$ et d'écart type
$\sigma \,= \,30$.


\medskip
\psset{xunit=0.035cm,yunit=500cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-15,-0.0015)(365,0.015)
\psaxes[linewidth=1.05pt,Dx=50]{->}(0,0)(0,0)(360,0.015)
\pscustom[fillstyle=crosshatch,fillcolor=lightgray]{
\psline[linewidth=0.1pt](135,0)(135,0.00431725)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{135}{180}{x 180 30 GAUSS}
\psline[linewidth=0.1pt](180,0.013298)(180,0)
}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{350}{x 180 30 GAUSS}
\uput[dl](0,0){$0$}\uput[d](60,0.015){$P(135 \leqslant X \leqslant 180) \approx \np{0.433}$}
\uput[ul](0,0.0145){$y$}\uput[ur](352,0){$x$}
\end{pspicture}

\begin{enumerate}[resume]
\item Sur ce graphique, on peut lire : $P(135 \leqslant X \leqslant 180) \approx 0,433$. Interpréter ce résultat.
\item En déduire $P(180 \leqslant X \leqslant 225)$ et $P(X \geqslant 225)$.
\item Ce samedi, le producteur n'a apporté que 225 yaourts au marché. Quelle est la
probabilité qu'il ait besoin de compléter son stock ?
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points}

\medskip

Une entreprise produit des tablettes tactiles avec un maximum de production de \np{30 000}
unités par mois.

Soit $x$ le nombre de milliers de tablettes produites.

Le coût de production en milliers d'euros est modélisé par la fonction $C$ définie sur
l'intervalle [0~;~30] par :

\[C(x) =-\dfrac{1}{3}x^3 + 22x^2 + 96x.\]\index{fonction polynôme}

Chaque tablette est vendue $480$~euros et on suppose que l'entreprise écoule toute sa
production mensuelle. On souhaite étudier la rentabilité de cette entreprise.

La représentation graphique de la fonction $C$ est donnée dans \textbf{l'annexe à rendre avec la
copie}.

\medskip

\textbf{Partie A} Lecture graphique

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer, par lecture graphique, le coût de production en milliers d'euros de
10 milliers de tablettes.

\emph{\textbf{Laisser apparents les traits de construction sur l'annexe.}}

\item Déterminer, par lecture graphique, pour combien de tablettes produites, le coût sera
supérieur à \np{8000} milliers d'euros.\index{lecture graphique}

\emph{\textbf{Laisser apparents les traits de construction sur l'annexe.}}

\item  La fonction $R$ définie par $R(x) = 480x$ représente la recette en milliers d'euros pour
$x$ milliers de tablettes produites.

Tracer dans le repère de \textbf{l'annexe à rendre avec la copie} sa courbe représentative.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B} Étude du bénéfice

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que le bénéfice de l'entreprise sera alors donné par la fonction $B$ définie sur
l'intervalle [0~;~30] par :

\[B(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 22x^2 + 384x.\]

\item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Calculer $B'(x)$.\index{dérivée}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation du second degré $x^2 - 44x + 384 = 0$.
		\item En déduire le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [0~;~30]. Dresser le tableau de variation
de la fonction $B$.\index{tableau de variations}
	\end{enumerate}
\item Donner la production à réaliser pour obtenir le bénéfice maximal et la valeur de ce bénéfice.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\medskip

En janvier 2015, une entreprise renouvelle son parc de tablettes tactiles.

La tablette choisie affiche une autonomie de 8 heures. Une étude montre que l'autonomie
de la batterie baisse de 15\,\% chaque année d'utilisation.


Soit $n$ un entier naturel. On modélise le nombre d'heures d'autonomie de cette tablette
pour l'année $2015 + n$ par une suite $\left(u_n\right)$. Ainsi $u_0 = 8$.

\emph{On arrondira les résultats au centième d'heure.}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Vérifier que $u_1 = 6,8$.
\item Calculer $u_2$ et en donner une interprétation.
\end{enumerate}
\item Expliquer pourquoi la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique. En donner sa raison.\index{suite géométrique}
\item Selon ce modèle, quelle sera l'autonomie de la tablette en janvier 2020 ?
\item L'entreprise souhaite prévoir le nombre d'années au bout desquelles l'autonomie sera
inférieure à quatre heures.

On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme}

\begin{center}

\begin{tabular}{|lcl|}
\hline
\textbf{Initialisation}	&~& $n$ prend la valeur 0\\
						&& $u$ prend la valeur 8\\
						&& $q$ prend la valeur 0,85\\
\textbf{Traitement}		&&Tant que $u > 4$\\
						&&\hspace{1cm} $n$ prend la valeur $n + 1$\\
						&&\hspace{1cm}$u$ prend la valeur $u \times q$\\
						&&Fin tant que\\
\textbf{Sortie}			&& Afficher $n$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Quelle sera la valeur affichée en sortie ?

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3 --- Partie A}
\end{center}

\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.001cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-1,-1000)(30.8,16000)
\multido{\n=0+2}{16}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,15000)}
\multido{\n=0+1000}{16}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](0,\n)(30,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2000]{->}(0,0)(0,0)(30.76,15000)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{30}{x 3 exp neg 3 div x 2 exp 22 mul add x 96 mul add}
\uput[l](-2,13000){\rotatebox{90}{Coût (en milliers d'euros)}}
\uput[dr](18,-500){Nombre de tablettes (en milliers)}
\uput[u](29,13200){\blue $C$}
\end{pspicture}
\end{enumerate}
\end{document}