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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Correction : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small STMG}  
\lfoot{\small{Polynésie\hspace{0.5em}correction}}
\rfoot{\small{12 septembre 2014}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG  Polynésie~\decofourright\\ 12 septembre 2014\hspace{1em}Correction}}

\medskip

\textbf{Durée  : 3 heures}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip
{\footnotesize
Pour une nouvelle mine de plomb, les experts d'une entreprise modélisent le chiffre d'affaires (en milliers d'euros) avec la fonction $f$ définie sur [0~;~\np{2000}] par : 

\[	f(x) = 	\dfrac{x^2}{x + \np{1000}}\]
 
où $x$ désigne la masse de plomb vendue, exprimée en tonnes.
 
La représentation graphique de cette fonction est tracée en \textbf{annexe 1}  qui sera à rendre avec la copie.
}
\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de $f$ sur [0~;~\np{2000}], montrons que: $f'(x) = \dfrac{x^2 + \np{2000}x}{ (x + \np{1000})^2}$.

$f=\dfrac{u}{v}$ par conséquent $f'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$. 

En posant $u(x)=x^2$ et $v(x)=x+\np{1000}$,  nous obtenons $u'(x)=2x$ et $v'(x)=1$. 

Par suite $f'(x)=\dfrac{2x(x+\np{1000})-x^2}{(x+\np{1000})^2}$.

 En simplifiant, nous obtenons bien $f'(x) = \dfrac{x^2 + \np{2000}x}{ (x + \np{1000})^2}$.
\item Déterminons le signe de $f'(x)$ sur [0~;~\np{2000}] ;

$f'(x) = \dfrac{x^2 + \np{2000}x}{ (x + \np{1000})^2}= \dfrac{x(x + \np{2000})}{(x + \np{1000})^2}$.

$x \geqslant 0 $ par conséquent $f'(x)\geqslant 0$ comme produit et quotient de nombres réels positifs.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.  Sur $]0~;~2000],\: f'(x)>0$, il en résulte que $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Dressons le tableau de variations de $f$. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](7.55,2.45){$2000$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](4.5,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[d](1.35,0.51){$0$}\uput[ur](7.2,1.35){$\frac{4000}{3}$}
\psline{->}(1.5,0.5)(7.3,1.6)
\end{pspicture}
\end{center}

\item Résolvons l'équation $f(x) = 500$ sur [0~;~\np{2000}]. Le dénominateur n'est jamais nul sur cet intervalle. 

$\dfrac{x^2}{x+1000}=500 \hspace{3em} x^2=500(x+1000)\hspace{3em} x^2-500x-\np{500000}=0$ 

Calculons $\Delta$ : $\Delta= (-500)^2-4(-\np{500000})=\np{2250000}$. $\Delta>0$ le trinôme admet 2 racines :

$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
 
 $x_1=\dfrac{500-\sqrt{2250000}}{2}=\dfrac{500-1500}{2}=-500 \hspace{0.3cm}x_2=\dfrac{500+1500}{2}=\np{1000}$
 
 L'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=500$ est \{\np{1000}\}.
 
 {\footnotesize \emph{remarque} L'autre solution possible n'appartient pas à l'intervalle [0~;~\np{2000}], elle ne peut donc être dans l'ensemble solution}
 
\item Que signifie ce résultat pour l'entreprise ? 

Lorsque l'entreprise vend \np{1000}~tonnes de plomb, le chiffre d'affaires s'élève à \np{500000}~euros.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Les coûts d'extraction et de traitement sont donnés (en milliers d'euros) par la fonction linéaire : 

\[g(x) = 0,6x\]
 
où $x$ désigne la masse de plomb vendue, exprimée en tonnes.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  la droite d'équation $y = 0,6x$ est tracée sur le graphique donné en \textbf{annexe 1  à rendre avec la copie}. 
\item Les géologues ont prévu d'extraire \np{1400}~tonnes de plomb. 
\begin{description}
\item [Graphiquement] Le chiffre d'affaires est inférieur au coût puisque le point d'abscisse \np{1400} appartenant à la droite représentant les coûts est au dessus du point de même abscisse appartenant à  la courbe représentant le chiffre d'affaires. 

\item [Par le calcul] calculons $f(\np{1400})=\dfrac{\np{1400}^2}{\np{1000}+\np{1400}}\approx\np{816.67}$ et $ g(\np{1400})=\np{0.6}\times \np{1400}=840$ 

Il en résulte que pour \np{1400}~tonnes les coûts sont supérieurs au chiffre d'affaires.

\item []{\footnotesize \emph{remarque} On pourrait s'intéresser à partir de quelle quantité, le chiffre d'affaires est supérieur aux coûts.

 Pour ce faire, résolvons $f(x)\geqslant \np{0.6}x$.

$\dfrac{x^2}{x+\np{1000}}\geqslant \np{0.6}x \hfill \dfrac{x^2}{x+\np{1000}}-\np{0.6}x \geqslant  0 \hfill  \dfrac{x^2-\np{0.6}x(x+\np{1000})}{x+\np{1000}}\geqslant 0 \hfill \dfrac{\np{0.4}x^2-60x}{x+\np{1000}}\geqslant 0 \hfill \dfrac{\np{0.4}x(x-1500)}{x+\np{1000}}\geqslant 0$.\par

 $\dfrac{0,4x}{x+\np{1000}}>0$, le signe de la fraction est donc celui de $x-\np{1500}$.

Le chiffre d'affaires est supérieur au coût lorsque $x>\np{1500}$. }
\end{description}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip
 
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip
 
D'après l'INSEE, l'espérance de vie à la naissance est passée pour les hommes de 59,9~ans en 1946 à 78,5~ans en 2012. Pour les femmes, elle est passée de 65,2~ans à 84,9~ans durant la même période.

\medskip
 
\textbf{Première partie}

\medskip
 
On se propose ici de modéliser l'évolution de l'espérance de vie pour les hommes par la suite arithmétique $\left(U_{n}\right)$ de premier terme $U_{0} = 59,9$ et de raison $r = 0,25$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculons $U_1$, $U_2$ et $U_3$ qui correspondent aux années 1947, 1948 et 1949.
\begin{description}
\item[$U_{1}$~:] $U_1= \np{59.9}+\np{0.25}=\np{60.15}$
\item[$U_{2}$~:] $U_2=\np{60.15}+\np{0.25}=\np{60.40}$
\item[$U_{3}$~:] $U_3=\np{60.40}+\np{0.25}=\np{60.65}$
\end{description} 
\item Le terme général d'une suite  arithmétique  de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est $u_n=u_0+nr$. 

Il en résulte  $U_n=\np{59.9}+\np{0.25}n$.
\item Déterminons $U_{66}$. Remplaçons $n$ par 66, $U_{66}=\np{59.9}+\np{0.25}\times 66=\np{76.4}$.
\item Entre 1946 et 2012, l'espérance de vie a augmenté de ($\np{78.5}- \np{59.9}$) ans c'est-à-dire de 18,6 ans en 66 ans donc en moyenne de $\dfrac{\np{18.6}}{66}\approx \np{0.28}$   ans ou encore de \np{3.38} mois.

Les hommes ont, en réalité, plus de 3 mois d'espérance de vie chaque année en moyenne.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Deuxième partie}

\medskip
\begin{enumerate}
\item Déterminons, à $10^{-2}$ près, le taux d'évolution global de l'espérance de vie pour les hommes exprimé en pourcentage de 1946 à 2012. 
Le taux  $T$ est défini par  $\frac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. $T=\dfrac{\np{18.6}}{\np{59.9}}\approx \np{0.31}$

Le taux d'évolution global  de l'espérance de vie pour les hommes exprimé en pourcentage de 1946 à 2012 est de \np{0.31}\,\%
\item Calculons le taux d'évolution  de l'espérance de vie pour les femmes exprimé en pourcentage de 1946 à 2012.

$T_F=\dfrac{\np{84.9}-\np{65.2}}{\np{65.2}}\approx \np{0.30}$.

Le taux d'évolution global  de l'espérance de vie pour les femmes exprimé en pourcentage de 1946 à 2012 est de \np{0.30}\,\%.

Il en résulte que les hommes ont eu, à $10^{-2}$ près, le taux d'évolution global le plus élevé durant cette période.

\item Calculons pour les hommes le taux annuel moyen, pour cette période, exprimé en pourcentage à $10^{-2}$ près.

En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^{66}$ puisque l'espérance de vie a subi 66 évolutions durant cette période. 

$(1+t_m)^{66}=\np{1,31}$ par conséquent $t_m=\np{1,31}^{\tfrac{1}{66}}-1\approx \np{0,0041}$.

Le taux d'évolution moyen  de l'espérance de vie pour les hommes exprimé en pourcentage de 1946 à 2012 est de \np{0,41}\,\%.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Troisième partie}

\medskip
 {\footnotesize
Soit l'algorithme suivant :

\begin{center}
%\begin{texttt}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|p{0.2cm}>{\ttfamily}X|}\hline 
\multicolumn{2}{|l|}{\textbf{VARIABLES}}\\ 
&$n$ EST DU TYPE NOMBRE\\ 
&$A$ EST DU TYPE NOMBRE\\ 
&$B$ EST DU TYPE NOMBRE\\ 
&$T$ EST DU TYPE NOMBRE\\ 
\multicolumn{2}{|l|}{\textbf{DÉBUT ALGORITHME}} \\
&AFFICHER \og Entrez la valeur initiale \fg.\\ 
&ENTRER $A$\\ 
&AFFICHER \og Entrer le nombre d'années \fg\\ 
&ENTRER $n$\\ 
&AFFICHER \og Entrez la valeur finale \fg\\ 
&ENTRER $B$\\ 
&$T$ PREND LA VALEUR $(B - A)/ A$\\ 
&$T$ PREND LA VALEUR $(1 + T)^{\frac{1}{n}}$\\ 
&$T$ PREND LA VALEUR $(T - 1) \times 100$ AFFICHER $T$\\ 
\multicolumn{2}{|l|}{\textbf{FIN ALGORITHME}}\\ \hline
\end{tabularx}
%\end{texttt}
\end{center}
 }
\begin{enumerate}
\item  Cet algorithme calcule cent fois le taux moyen d'évolution entre une grandeur $A$ et une grandeur $B$ après $n$ évolutions. 
\item Si on choisit : $A = 65,2\  ;\   B = 84,9 \  ; \  n = 66$,   le résultat affiché à $10^{-2}$ près est \np{0.40}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}

\medskip
 {\footnotesize 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ 
Pour chaque question, une seule des réponses proposées est correcte.\\ 
Indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.\\ 
Aucune justification n'est demandée.\\ 
Une réponse juste rapporte $1$ point ; une réponse fausse ainsi que l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip
 
Une usine remplit des bouteilles. On admet que la variable aléatoire $X$, correspondant à la quantité de liquide, exprimée en cL, dans une bouteille choisie au hasard suit la loi normale d'espérance $75$ et d'écart type $2$.

\medskip
 }
\begin{enumerate}
\item Quelle est à $10^{-2}$ près la probabilité qu'une bouteille prélevée au hasard contienne une quantité de liquide inférieure ou égale à $71$~cL ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{A :~~} \ovalbox{0,02} &\textbf{B :~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,5} &\textbf{C :~~}0 &\textbf{D :~~} 0,98
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Quelle est, à $10^{-2}$ près, la probabilité qu'une bouteille prélevée au hasard contienne une quantité de liquide qui appartient à l'intervalle [71~;~79] ? 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{A :~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,02}&\textbf{B :~~} \ovalbox{0,95}&\textbf{C :~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,98}&\textbf{D :~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{1}
\end{tabularx}
\medskip 
\item Les responsables de l'usine ont noté, chaque jour pendant une semaine, le pourcentage de bouteilles qui contenaient une quantité de liquide n'étant pas comprise entre 71~cL et 79~cL. Ces bouteilles sont considérées comme mal remplies.
 
La série statistique ci-dessous donne l'évolution du pourcentage $y_{i}$ de bouteilles mal remplies en fonction de $x_{i}$ (rang du jour).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
Rang du jour $x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline 
Pourcentages $y_{i}$& 3,8 &4 &3,9 &4,5 &4,3 &4,6 &4,5\\ \hline 
\end{tabularx}
\medskip 
 
Une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés où les coefficients sont arrondis au centième, est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\small}X}} 
\textbf{A :~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$y = 3,70x + 0,13$}&\textbf{B :~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $y = -20,67x + 5,83$}&\textbf{C :~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $y = 3,7x + 0,1$}&\textbf{D :~~}\ovalbox{$y = 0,13x +3,7$}\\
\end{tabularx}
\medskip 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip
{\footnotesize
Dans une classe de terminale STMG, les élèves se répartissent suivant le tableau ci-dessous: 

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
				&Garçons& Filles 	&Total\\ \hline 
Redoublants 	&3 		&5 			&8\\ \hline  
Non redoublants &6 		&22 		&28\\ \hline  
Total 			&9 		&27 		&36\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip
  
\textbf{Pour toutes les questions on donnera les réponses à \boldmath $10^{-2}$\unboldmath près}.
}
\medskip

 L'univers est l'ensemble des élèves d'une classe de terminale STMG et la loi mise sur cet univers est l'équiprobabilité. 

La probabilité d'un événement $A$ est  $p(A)=\frac{\text{\scriptsize nombre d'éléments de }A}{\text{\scriptsize nombre d'éléments de l'univers}}$
 
\begin{enumerate}
\item Si l'on interroge un élève au hasard dans cette classe, calculons la probabilité de choisir un redoublant. 

 Il y a 8 redoublants dans cette classe de 36 élèves.

La probabilité de cet événement est $\dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9}\approx \np{0.22}$.
\item Sachant que l'on interroge une fille, calculons la probabilité de choisir une non redoublante. 

 Il y a 22 filles non redoublantes parmi les 27 filles. La probabilité  est  $\dfrac{22}{27}\approx \np{0.81}$.
\end{enumerate}

{\footnotesize 
Dans cette même classe, les élèves ont choisi comme spécialité soit ressources humaines et communication soit mercatique.
 
Après avoir choisi la fiche d'un élève au hasard, on définit les événements suivants :
%}
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $R$ : \og l'élève a choisi ressources humaines et communication \fg 
\item[$\bullet~~$] $M$ : \og l'élève a choisi mercatique \fg 
\item[$\bullet~~$] $G$ : \og l'élève est un garçon \fg 
\item[$\bullet~~$] $F$ : \og l'élève est une fille \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
}
\begin{enumerate}[resume]
\item  L'arbre de probabilités décrivant cette situation a été complété en \textbf{annexe 2  à rendre avec la copie}.
\ 
$P(G)=\dfrac{9}{36}=\np{0.25}\quad P(F)=\dfrac{27}{36}=\np{0.75}$
\item La probabilité de choisir une fille qui est en ressources humaines et communication est $P(F\cap R)$.

$P(F\cap R)=\np{0.75}\times \np{0.57}=\np{0.4275}\approx\np{0.43}$.
\item La probabilité de choisir un garçon, sachant que sa spécialité est ressources humaines et communication  est notée $P_R(G)$.

 $P_R(G)=\dfrac{P(R\cap G)}{P(R)}=\dfrac{\np{0.25}\times \np{0.22}}{\np{0.25}\times \np{0.22}+\np{0.4275}}=\dfrac{\np{0.055}}{\np{0.4825}}=\np{0.1139}\approx \np{0.11}$. 
 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\medskip

\begin{flushleft} 
\textbf{Annexe 1}
\end{flushleft}

\psset{xunit=0.0054cm,yunit=0.007cm}
%\def\psvlabel#1{$\np{#1}$}
%\def\pshlabel#1{$\np{#1}$}
\begin{pspicture}(-100,-20)(2100,1400)
\multido{\n=0+100}{22}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,1400)}
\multido{\n=0+100}{15}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(2100,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=200,Dy=200]{->}(0,0)(2100,1400)
\uput[r](0,1350){$y$ en milliers d'euros}
\uput[u](2000,0){$x$ en tonnes}
\psplot[plotpoints=6000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2000}{x dup mul x 1000 add div}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=0.8pt,linecolor=blue]{0}{2000}{0.6 x mul}
\psline[linewidth=0.7pt,linecolor=violet,linestyle=dashed](1400,0)(1400,840)
\psdot [dotstyle=square,fillcolor=violet,dotscale=1.4,dotangle=45](1400,840)
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](1400,816.66667)
\uput[l](1400,840){\textcolor{violet}{\scriptsize coût d'extraction}}
\uput[r](1400,816.66667){\textcolor{red}{\scriptsize chiffre d'affaires}}

\end{pspicture} 
 
\vspace{1.5cm}

\begin{flushleft} 
\textbf{Annexe 2}
\end{flushleft} 

\bigskip

\psset{unit=3cm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=1.5pt,treesep=2.15cm,levelsep=2.15cm]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$G$}\taput{\np{0.25}}}
	  { 
		  \TR{$M$}\taput{0,78}
		  \TR{$R$}\tbput{0,22}	   
	  }
	\pstree{\TR{$F$}\tbput{\np{0.75}}}
	  {
		  \TR{$M$}\taput{0,43}
		  \TR{$R$}\tbput{0,57}	  
	  }
}
\end{center}
\end{document}