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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STMG}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{15 juin 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG  Polynésie 15 juin 2015~\decofourright}}

\medskip

\textbf{Durée  : 3 heures}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

Une entreprise, qui fabrique et vend des ordinateurs sur commande, modélise le bénéfice en
euros pour $x$ ordinateurs fabriqués et vendus en une journée, par la fonction :

\[f(x) = x^3 - 60x^2 + 900x - 500.\]\index{fonction polynôme}

L'entreprise ne pouvant construire plus de 30~ordinateurs par jour, on aura $0 \leqslant  x \leqslant 30$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le bénéfice pour 4 puis pour 10 ordinateurs.
		\item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.\index{dérivée}
		\item Dresser, après avoir étudié le signe de $f'$, le tableau de variation de $f$.
		\item En déduire combien d'ordinateurs l'entreprise doit fabriquer et vendre chaque jour
pour avoir un bénéfice maximal. Donner ce bénéfice.
	\end{enumerate}
\item  La courbe $\mathcal{C}$ donnée ci-dessous représente l'évolution du bénéfice en fonction du nombre d'ordinateurs fabriqués et vendus en une journée suivant le modèle choisi par
l'entreprise.
	
\begin{center}
\psset{xunit=0.32cm,yunit=0.0022cm}
\begin{pspicture}(-2,-600)(35,4100)
\multido{\n=0+1}{35}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.1pt](\n,-500)(\n,4000)}
\multido{\n=-500+500}{10}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.1pt](0,\n)(34,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=500]{->}(0,0)(0,-500)(35,4100)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=500](0,0)(0,0)(35,4100)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{30}{x 3 exp x dup mul 60 mul sub 900 x mul add 500 sub}
\uput[u](31.5,0){\footnotesize ordinateurs fabriqués}
\uput[r](0,4075){\footnotesize  bénéfice en \euro}
\end{pspicture}	
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, déterminer combien l'entreprise doit fabriquer et vendre
d'ordinateurs en une journée si elle veut un bénéfice d'au moins \np{2500}~\euro.\index{lecture graphique}
		\item Une grande surface veut acheter des ordinateurs. Elle propose au choix deux contrats à cette entreprise :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item contrat A : acheter 300 ordinateurs à fabriquer en dix jours ;
\item contrat B : acheter 100 ordinateurs à fabriquer en cinq jours.
		\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

Quel contrat l'entreprise a-t-elle intérêt à choisir ? (Justifier votre réponse).\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip

On s'intéresse aux évolutions décennales (par période de 10 ans) du P. I. B. en France de 1950 à
2010.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années& 1950 &1960 &1970 &1980 &1990 &2000 &2010\\ \hline
rang de l'année $x_i$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline
P. I. B. en milliards d'euros $y_i$&15,5 &47,0 &126,1 &453,2 &\np{1058,6} &\np{1485,3} &\np{1998,5}\\ \hline
\multicolumn{8}{r}{\footnotesize \emph{Source : Comptes nationaux - Base 2010, Insee}}
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le graphique \textbf{en annexe à rendre avec la copie}, représenter le nuage de
points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ pour $i$ variant de 0 à 6.
\item Donner une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode
des moindres carrés en se limitant à la période 1970--2010.\index{ajustement affine}
\item On ajuste l'ensemble du nuage avec la droite $(D)$ d'équation $y = 478x - 886$.

Tracer cette droite sur le graphique \textbf{en annexe à rendre avec la copie}.
\item On se propose d'ajuster ce nuage de points par la parabole, tracée sur le graphique en
annexe, d'équation $y = 56x^2 + 12,6x - 25$.

Donner une estimation du P. I. B. en 2020 par la méthode qui vous semble la plus adaptée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution du P. I. B. de 2000 à 2010 arrondi au dixième.\index{taux}
\item Calculer le taux d'évolution annuel moyen du P. I. B. pour cette même période arrondi au
dixième.
\item Pour savoir dans quelle décennie il y a eu la plus forte évolution, on utilise une feuille
de calcul d'un tableur. On calcule les coefficients multiplicateurs pour chacune des
évolutions.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A &B &C\\ \hline
1& Année& P{}. I. B.& coefficient\\ \hline
2& 1950	& 15,5&\\ \hline
3& 1960 &47,0 &\np{3,03225806}\\ \hline
4& 1970 &126,1 &\np{2,68297872}\\ \hline
5& 1980 &453,2 &\np{3,59397304}\\ \hline
6& 1990 &1 058,6 &\np{2,33583407}\\ \hline
7& 2000 &1485,3 &\np{1,40307954}\\ \hline
8& 2010 &1 998,5&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Donner une formule qui, saisie dans la cellule C3 puis recopiée vers le bas, permet
d'obtenir les valeurs de la colonne C.
		\item Calculer le coefficient multiplicateur manquant en C8.
		\item Quelle décennie a donc vu la plus forte évolution du P. I. B. ?\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

On a prouvé qu'une des origines d'une maladie était génétique. On estime que 0,1\,\% de la
population est porteur du gène en cause. Lorsqu'un individu est porteur du gène, on estime à $0,8$ la probabilité qu'il développe la maladie. Mais s'il n'est pas porteur du gène il y a tout de même une probabilité de $0,01$ qu'il développe la maladie.

Lorsqu'un individu est choisi au hasard dans la population, on considère les évènements
suivants :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize} 
\item $G$ : \og le patient est porteur du gène \fg
\item $M$ : \og le patient développe la maladie \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les données, compléter l'arbre qui se trouve \textbf{en annexe  à rendre
avec la copie}.\index{arbre}
\item Quelle est la probabilité de l'évènement \og le patient est porteur du gène et il développe
la maladie \fg{} ?\index{probabilités}
\item Sachant qu'il a développé la maladie, quelle est la probabilité à \np{0,0001} près qu'il soit porteur du gène ?
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

Un laboratoire pharmaceutique fabrique un traitement préventif pour éviter la survenue de cette
maladie. Il avertit que 30\,\% des patients traités auront des effets secondaires.

Plusieurs études sont réalisées par différents médecins et des patients volontaires pour vérifier les estimations du laboratoire. Les médecins sont invités à rentrer leurs données dans un logiciel qui utilise l'algorithme ci-contre :

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{\begin{enumerate}
\item Un médecin a traité $150$~patients ; parmi ceux -ci, $40$ ont eu des effets
secondaires. 

Quel sera le résultat affiché
par ce logiciel ?
\item  Pour un autre, sur $200$~patients,
$75$ ont eu des effets secondaires.

Qu'affichera alors le logiciel ?
\item  Que représente dans cet
algorithme l'intervalle $[a~;~b]$ ?\index{algorithme}
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.56\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables :}\\
\hspace{0,5cm}$n$, $s$ sont des entiers\\
\hspace{0,5cm}$a$, $b$ sont des nombres réels\\
\textbf{Entrée :}\\
\hspace{0,5cm}Afficher \og Entrer le nombre de patients traités \fg\\
\hspace{0,5cm}Saisir $n$\\
\hspace{0,5cm}Afficher \og Entrer le nombre de patients ayant eu
des effets secondaires \fg\\
\hspace{0,5cm}Saisir $s$\\
\textbf{Traitement :}\\
\hspace{0,5cm}$a$ prend la valeur $0,3 - \frac{1}{\sqrt{n}}$\\
\hspace{0,5cm}$b$ prend la valeur $0,3 + \frac{1}{\sqrt{n}}$\\
\hspace{0,85cm}\textbf{Si} $a \leqslant \frac{s}{n} \leqslant b$\\
\hspace{1.2cm}\textbf{Alors} afficher : \og résultats conformes \fg\\
\hspace{1.2cm}\textbf{Sinon} afficher : \og résultats non conformes \fg\\
\hspace{0,75cm}\textbf{Fin Si}\\ \hline
\end{tabularx}}\hyperlink{Index}{*}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.\\
Indiquer sur votre copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse
choisie. Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse juste rapporte 1 point; une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La suite $\left(U_n\right)$ est géométrique de premier terme $U_0 = 10$ et de raison $q = 3 $, alors :\index{suite géométrique}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $U_4 = 22$ &\textbf{b.~~} $U_4 = 810$&\textbf{c.~~}$U_4 = 10 \times  3^3$& \textbf{d.~~} $U_4 = 10 +  3 \times 4$
\end{tabularx}
\medskip

\item  La suite $\left(V_n\right)$ est arithmétique de premier terme $V_0 = 0$ et de raison $r = 5$ alors la somme \index{suite arithmétique}

$V_0 + V_1 + \cdots + V_{10}$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}0 &\textbf{b.~~}50 &\textbf{c.~~}250 &\textbf{d.~~}275
\end{tabularx}
\medskip

Une ville a décidé d'augmenter de 10\,\% ses logements sociaux chaque année. En 2012 elle avait
$150$~logements sociaux. Pour tout entier $n$, on note $a_n$ le nombre de logements sociaux dans cette ville en $(2012 + n)$. On a donc $a_0 = 150$.


\item  On aura alors :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$a_1 = 135$ &\textbf{b.~~} $a_3 = 180$ &\textbf{c.~~} $a_3 = 195$ &\textbf{d.~~} $a_n = 150 \times  1,10^n$
\end{tabularx}
\medskip

\item  La ville souhaite au moins doubler le nombre de ses logements sociaux. Cet objectif
sera dépassé en :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 2015 &\textbf{b.~~}2017 &\textbf{c.~~}2020 &\textbf{d.~~}2022
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}
 
\newpage
\begin{center} 
\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie}

\medskip

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 2} \end{flushleft}

\medskip

\psset{xunit=1cm,yunit=0.00375cm}
\begin{pspicture*}(-1,-150)(9.2,3100)
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,3000)}
\multido{\n=0+200}{16}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.1pt](0,\n)(9,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=200]{->}(0,0)(0,-50)(9.2,3100)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=200]{->}(0,0)(0,0)(9.2,3100)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.6}{7.244}{x dup mul 56 mul 12.6 x mul add 25 sub}
\uput[u](8,0){Rang de l'année}
\uput[r](0,3050){P. I. B. en milliards d'euros}
\end{pspicture*}

\vspace{0.25cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 3} \end{flushleft}

\bigskip

\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=1.5cm,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$G$~} \taput{0,001}}
	{\TR{$M$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{M}$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{G}$~} \tbput{\ldots}}
	{\TR{$M$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{M}$}\tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}
\end{document}