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%Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{18 juin 2019}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat STMG Polynésie  18 juin 2019~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}  

\bigskip

\emph{Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM).\\\index{QCM}
Pour chaque question, une et une seule réponse est exacte.\\
Une réponse juste rapporte un point tandis qu'une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.\\
Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres $\mu = 12$ et $\sigma = 2$.\index{loi normale}

Quelle est la valeur de la probabilité $P(X \geqslant 14)$ arrondie au centième ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} 0,16 &\textbf{B.~~} 0,20 &\textbf{C.~~} 0,80 &\textbf{D.~~} 0,84
\end{tabularx}
\medskip

\item  Un candidat aux élections municipales a fait réaliser un sondage auprès de $400$ électeurs. $112$ de ces $400$ électeurs ont affirmé vouloir voter pour ce candidat. Un intervalle de confiance au seuil de $95$\,\% dans lequel devrait se trouver la proportion d'électeurs votant pour le candidat aux élections municipales est :\index{intervalle de confiance}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}[0,230~;~0,330] &\textbf{B.~~} [0,277~;~0,283] &\textbf{C.~~} [0,307~;~0,407] &\textbf{D.~~} [0,354~;~0,360]
\end{tabularx}
\medskip
\item  Soit $\left(v_n\right)$ la suite géométrique de raison $q = 1,2$ et de premier terme $v_1 = 6$.\index{suite géométrique}

Quelle est la valeur de $v_6$ arrondie au dixième ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}12,0 &\textbf{B.~~} 13,2 &\textbf{C.~~} 14,9 &\textbf{D.~~} 17,9
\end{tabularx}
\medskip

\item  On considère l'algorithme suivant. Quelle est la valeur de $n$ à la fin de cet algorithme  ?\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
$n \gets 1$\\
$V\gets 6$\\
Tant que $V < 31$\\
\hspace{1cm}$n\gets n+1$\\
\hspace{1cm}$V \gets V \times 1,2$\\
FinTant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} 9 &\textbf{B.~~} 10 &\textbf{C.~~} 11 &\textbf{D.~~} 12
\end{tabularx}
\medskip
\item  Soit $\left(u_n\right)$ la suite arithmétique de raison $3$ et telle que $u_4 = 81$.\index{suite arithmétique}

Le premier terme $u_0$ de la suite $\left(u_n\right)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} 1 &\textbf{B.~~} 3 &\textbf{C.~~} 69 &\textbf{D.~~} 72
\end{tabularx}
\medskip
 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}  

\bigskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.

L'atelier A fabrique 60\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 5\,\% possèdent un défaut de fabrication.

De plus, 1\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.

Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.

On considère les évènements suivants:

\setlength\parindent{1cm}
\begin{description}
\item[ ] $A$ : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
\item[ ] $B$ : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
\item[ ] $D$ : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
\end{description}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.\index{probabilité}

On pourra s'appuyer sur un arbre de probabilités que l'on complètera au fur et à mesure pour répondre aux questions suivantes.\index{arbre pondéré}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
		\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0,04$.
 	\end{enumerate}
\item  On prélève un stylo au hasard dans l'atelier B. Quelle est la probabilité qu'il possède un défaut?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on suppose que 4\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.

L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $25$~stylos.

Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.

On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.\index{loi binomiale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}  

\bigskip

Une entreprise fabrique chaque jour des rouleaux de tissu en coton.

La production quotidienne varie entre 1 et 10 kilomètres de tissu.

On note $x$ la production de tissu en kilomètres.

Le coût total de production, exprimé en euros, de $x$ kilomètres de tissu est donné par la fonction $C$ définie pour $x$ appartenant à [1~;~10] par :

\[Cx)  = 15x^3 - 120x^2 + 500x + 750.\]\index{fonction polynôme}

\bigskip

\textbf{Partie A : lectures graphiques}

\medskip

On appelle coût moyen de production la fonction $C_m$ définie sur l'intervalle [1~;~10] par:
$\dfrac{C(x)}{x}$.\index{coût moyen}

La représentation graphique de la fonction $C_m$ est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.006cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-50)(12,1255)
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,1250)}
\multido{\n=0+100}{13}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100](0,0)(0,0)(12,1250)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{1}{10}{x dup mul 15 mul 120 x mul sub 500 add 750 x div add}
\uput[u](11.8,0){$x$}\uput[l](0,1250){$C_m(x)$}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner par lecture graphique une valeur approchée de $C_m(7)$.\index{lecture graphique}
\item À l'aide de la représentation graphique, donner le tableau de variations de $C_m$ sur [1~;~10].\index{variations de fonction}
\item Déterminer par lecture graphique combien de kilomètres de tissu l'entreprise doit fabriquer pour que le coût moyen de production soit minimal.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude du bénéfice}

\medskip

On suppose que l'entreprise vend chaque jour sa production journalière.

Le prix de vente d'un kilomètre de tissu est de 680~\euro.

On rappelle que le nombre de kilomètres de tissu $x$ fabriqués varie chaque jour entre 1 et 10.

On note $R(x)$ la recette, exprimée en euros, correspondant à la vente de $x$ kilomètres de tissu.

On note $B(x)$ le bénéfice, exprimé en euros, réalisé par l'entreprise pour la vente de $x$ kilomètres de tissu.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.
\item Justifier que l'expression de $B(x)$ en fonction de $x$ est: $B(x) = - 15x^3 + 120x^2 + 180x - 750$.
\item  On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [1~;~10], calculer $B'(x)$.\index{dérivée}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier pour tout $x$ réel le signe du trinôme $- 45x^2 + 240x + 180$.
		\item En déduire le signe de la fonction $B'$ sur l'intervalle [1~;~10].
 	\end{enumerate}
\item  En utilisant la question précédente, donner le tableau de variations complet de la fonction $B$ sur l'intervalle [1~;~10].\index{variations de fonction}
\item Déterminer le nombre de kilomètres de tissu que l'entreprise doit produire et vendre chaque jour pour que le bénéfice réalisé soit maximal. Que vaut ce bénéfice maximal ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}  

\bigskip

Le tableau suivant donne le chiffre d'affaires mondial d'une entreprise entre 2010 et 2016 en millions d'euros.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&2010 	&2011 	&2012 	&2013 	&2014 	&2015 	&2016\\ \hline
Rang de l'année $x_i$	& 0 	&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6\\ \hline
Chiffre d'affaires $y_i$ 
(en millions d'euros)	&18,3 	&20,1 	&23,3 	&25,3 	&27,8 	&30,6	&32,4\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'un premier modèle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique donné en annexe à rendre avec la copie, représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ pour $i$ variant de $0$ à $6$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.\index{droite d'ajustement}
		
Dans la suite, on choisit la droite d d'équation $y = 2,4x + 18,1$ comme ajustement affine du nuage de points.
		\item Tracer la droite $d$ sur le même graphique donné en annexe.
 	\end{enumerate}
\item  En supposant que cet ajustement demeure valable pendant plusieurs années, donner par lecture graphique le chiffre d'affaires de cette entreprise en 2020. Arrondir au million près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude d'un second modèle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, à l'aide du tableau, le taux d'évolution global du chiffre d'affaires de l'entreprise entre 2010 et 2016. On exprimera le résultat en pourcentage arrondi au centième.\index{taux}
\item  Déterminer le taux d'évolution moyen annuel entre 2010 et 2016, exprimé en pourcentage arrondi à l'entier le plus proche.\index{taux moyen}
\item  On suppose que le taux d'évolution annuel sera de 10\,\% entre 2016 et 2020. Estimer le chiffre d'affaires de l'entreprise en 2020. Arrondir au million près.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{1.5cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 4 :}
\end{flushleft}

\bigskip

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2)(12,52)
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\n,0)(\n,52)}
\multido{\n=0+2}{26}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2](0,0)(0,0)(12,52)
\uput[d](10.7,-1.5){Rang de l'année}
\uput[r](0,51){Chiffre d'affaires en millions d'euros}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}
