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%Tapuscrit Denis Vergès
%Relecture François Hache
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{1\up{er} septembre 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat STMG Polynésie 1\up{er} septembre 2020~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}  

\bigskip

Dans un lycée, on considère les élèves ayant obtenu le baccalauréat STMG :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item 55\,\% de ces élèves poursuivent leurs études en BTS ou DUT et parmi eux, 35\,\% après l'obtention du BTS ou DUT poursuivent leurs études et obtiennent une licence.
\item Les autres élèves poursuivent d'autres études après le baccalauréat, et parmi eux, 15\,\% obtiennent une licence.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On appelle :

\begin{description}
\item[ ] $T$ l'évènement: \og pour suivre ses études en BTS ou DUT\fg{} ;
\item[ ] $A$ l'évènement: \og pour suivre d'autres études après le baccalauréat\fg{} ; 
\item[ ] $L$ l' évènement : \og obtenir une licence \fg.
\item[ ] $\overline{L}$ désigne l'évènement contraire de l'évènement $L$.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre suivant qui modélise la situation:

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,treesep=1.5cm,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$T$~~} \taput{\ldots}}
	{\TR{$L$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{L}$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$A$~~} \tbput{\ldots}}
	{\TR{$L$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{L}$} \tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}
\item Déterminer la valeur de la probabilité $p(T \cap L)$.
\item Montrer que $p(L) = 0,26$.
\item Déterminer la probabilité d'avoir suivi une formation en BTS ou DUT sachant que l'on a obtenu
une licence. On arrondira le résultat à $0,01$\,\%.
\item Déterminer la valeur arrondie à $0,01$\,\% de la probabilité $p_L(A)$. Interpréter.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}  

\bigskip
 
 Le tableau suivant donne le nombre de morts sur les routes françaises par an de 1998 à 2006.
 
 \begin{center}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &1998 &1999 &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006\\ \hline
Rang $\left(x_i\right)$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline
Nombre de morts $\left(y_i\right)$& \np{8437} & \np{8029} & \np{7643} & \np{7720} & \np{7242} & \np{5731} & \np{5593} & \np{5318} & \np{4703}\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize Source: d'après www.securite-routiere.gouv.fr}
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Sur l'\textbf{annexe 1, à rendre avec la copie}, on a représenté une partie du nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$.

Compléter ce nuage de points à l'aide du tableau en plaçant le point d'abscisse 4 et le point d'abscisse 7.
\item À l'aide de la calculatrice, donner l'équation réduite de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au centième.
\item Sur l'\textbf{annexe 1, à rendre avec la copie}, est tracée cette droite d'ajustement.
À l'aide de la droite d'ajustement, par lecture graphique, déterminer une prévision du nombre de morts en 2010. Laisser apparents les tracés utiles.
\item On a observé en réalité que le nombre de personnes ayant perdu la vie sur les routes françaises en 2010 a diminué de 48\,\% par rapport à l'année 2000. 

Quel est le nombre réel de victimes sur les routes françaises en 2010 ? On donnera le résultat arrondi à l'unité.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}  

\bigskip
 
Le tableau suivant indique, sur la période 2002-2012, en France, la proportion de déchets recyclés exprimée en pourcentage des déchets d'emballages ménagers.

\begin{center}
\begin{tabularx}{1.02\linewidth}{|m{2.5cm}|*{11}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}}\hline
\footnotesize Année 		&2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011 &2012\\ \hline
\footnotesize Pourcentage de
déchets recyclés (en \,$\%$)&45,4 &47,9 &50,7 &53,3 &54,8 &57 &55,2 &56,4 &61,1 &61,3 &64,9 \\ \hline
\multicolumn{12}{l}{\footnotesize Source: extrait d'une étude Eurostat : \og déchets d'emballages par opération de gestion des déchets et flux des déchets\fg}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude du tableau}
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le taux global d'évolution, arrondi à l'unité, entre 2002 et 2012 est de $43$\,\%.
		\item Déterminer le taux annuel moyen entre 2002 et 2012. On donnera le résultat en pourcentage arrondi au centième.
		\item On conjecture qu'à partir de 2012, le taux annuel est de $+ 3,64$\,\%.
		
Avec ce modèle, quel est le taux de recyclage en 2020 ? On donnera le résultat en pourcentage arrondi au dixième.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Modélisation à l'aide d'une suite} 

Pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$ la proportion de déchets recyclés en pourcentage des déchets d'emballages ménagers en l'année $(2012 + n)$. 

Ainsi, $V_0 = 64,9$.

On suppose que la suite $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1,0364}.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $V_n$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer la valeur de $V_3$ puis celle de $V_{10}$. On donnera les résultats arrondis au centième.
\end{enumerate}
\item \textbf{Algorithme}

On considère le modèle de la question 2. On propose l'algorithme suivant:

\begin{center}
\fbox{
\begin{tabular}{l}
$V \gets  64,9$\\
$n \gets  0$\\
tant que $V < 75$\\
\phantom{tant que }$V \gets \np{1,0364} \times V$\\
\phantom{tant que }$n \gets  n+1$\\
fin tant que\\ 
\end{tabular}
}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Que contient la variable $n$ à la fin de l'exécution de cet algorithme ?
		\item Dans le cadre de l'exercice, interpréter le résultat de la question 3. a.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}  

\bigskip
 
\emph{Les trois parties de l'exercice sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

On a tracé dans le repère ci-dessous les représentations graphiques $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[-3~;~9]$.

La droite $T$ est la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point M(1~;~6).

La droite $T$ passe par le point de coordonnées $(- 2~;~0)$.

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-4,-10)(10,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=gray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-10)(10,10)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{9}{3 x mul 3.5 add x dup mul 0.5 mul sub}\uput[r](6.5,2.5){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-3,-2)(9,10)\uput[dr](2,3){\red $\mathcal{C}_g$}
\psline[linewidth=1.25pt](-4,-4)(3,10)\uput[ul](-1,2){$T$}
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](0,6)(1,6)(1,0)
\uput[ul](1,6){M}
\end{pspicture}
\end{center}

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique sans justification: 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation $f(x) > 0$ sur l'intervalle $[-3~;~9]$.
\item Donner les solutions de l'équation $f(x) =g(x)$ sur l'intervalle $[-3~;~9]$.
\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente $T$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

\emph{Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.\\
Indiquer sur la copie la partie, le numéro de l'affirmation et la réponse VRAI ou FAUX choisie.\\
Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

On étudie une fonction $h$ définie sur l'intervalle $[-15~;~20]$.

On donne ci-dessous le tableau de signe de sa fonction dérivée $h'$.

\begin{center}
{
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{1.4cm}}
$\begin{array}{|l | *{7}{c} |} 
\hline
\text{Valeur de }x  & -15 & \esp & -5 & \esp & 4 & \esp & 20 \\
\hline
\text{Signe de } h'(x) &  & \pmb{+} &  \hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

%\begin{center}
%\begin{pspicture}(10.5,2)
%\psframe(10.5,2)\psline(0,1)(10.5,1)\psline(2.5,0)(2.5,2)
%\rput(1.25,1.5){Valeurs de $x$}\uput[u](2.8,1.2){$~-15$}\uput[u](6.5,1.2){$-5$} \uput[u](8.5,1.2){$4$} \uput[u](10,1.2){$20$}
%\uput[u](1.25,0.3){Signe de $h'(x)$}\uput[u](4.5,0.3){+}\uput[u](6.5,0.3){0}\uput[u](7.5,0.3){$-$}
%\uput[u](8.5,0.3){0} \uput[u](9.5,0.3){+}
%\end{pspicture}
%\end{center}

De plus, on sait que $h(-5) = 20$ et $h(4) = 2$.

\medskip

\textbf{Affirmation 1 :} La fonction $h$ est croissante sur l'intervalle [4~;~20].

\medskip

\textbf{Affirmation 2 :} L'équation réduite de la tangente à la représentation graphique de la fonction $h$ au point d'abscisse $x = -7$ est $y = -3x +5$.

\medskip

\textbf{Affirmation 3:} $h'(3)$ est négatif.

\bigskip

\textbf{Partie 3}

\medskip

On considère la fonction $B$ définie sur l'intervalle [-5~;~5] par $B(x) = x^3 + 4x^2 - 3x$.  On note $B'$ la fonction dérivée de $B$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour $x$ appartenant à l'intervalle $[-5~;~5]$, déterminer $B'(x)$.
\item Résoudre, sur l'intervalle $[-5~;~5]$, l'équation $3x^2 + 8x - 3 = 0$.
\item En déduire le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle $[-5~;~5]$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1}

\bigskip

\textbf{À RENDRE AVEC LA COPIE}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\bigskip

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.002cm}
\begin{pspicture}(-1,-200)(15,7500)
\multido{\n=0.0+0.5}{31}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,7500)}
\multido{\n=0+250}{31}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.4pt](0,\n)(15,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Oy=2500,Dy=500]{->}(0,0)(0,0)(15,7500)
\psdots(1,5937)(2,5529)(3,5143)(5,4742)(6,3231)(8,2818)(9,2203)
%\psline[linewidth=1.25pt](-1,7200)(14,-150)
\psplot[linewidth=1.25pt]{-1}{14}{-485.967 x mul 9142.722 add 2500 sub}
\uput[u](14.8,0){$x$} \uput[r](0,7500){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}