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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small STMG}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{12 septembre 2014}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG  Polynésie~\decofourright\\12 septembre 2014}}

\medskip

\textbf{Durée  : 3 heures}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

Pour une nouvelle mine de plomb, les experts d'une entreprise modélisent le chiffre d'affaires (en milliers d'euros) avec la fonction $f$ définie sur [0~;~\np{2000}] par : 

\[	f(x) = 	\dfrac{x^2}{x + \np{1000}}\]
 
où $x$ désigne la masse de plomb vendue, exprimée en tonnes.
 
La représentation graphique de cette fonction est tracée en \textbf{annexe 1}  qui sera à rendre avec la copie.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de $f$ sur [0~;~\np{2000}], montrer que: 

\[f'(x) = \dfrac{x^2 + \np{2000}x}{ (x + \np{1000})^2}.\] 
\item Déterminer le signe de $f'(x)$ sur [0~;~\np{2000}] ; en déduire le tableau de variations de $f$. 
\item Résoudre l'équation $f(x) = 500$ sur [0~;~\np{2000}]. 
\item Que signifie ce résultat pour l'entreprise ? 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Les coûts d'extraction et de traitement sont donnés (en milliers d'euros) par la fonction linéaire : 

\[g(x) = 0,6x\]
 
où $x$ désigne la masse de plomb vendue, exprimée en tonnes.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Tracer la droite d'équation $y = 0,6x$ sur le graphique donné en \textbf{annexe 1  à rendre avec la copie}. 
\item Les géologues ont prévu d'extraire \np{1400}~tonnes de plomb. 

Le chiffre d'affaires sera-t-il supérieur au coût? Justifier la réponse. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip
 
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip
 
D'après l'INSEE, l'espérance de vie à la naissance est passée pour les hommes de 59,9~ans en 1946 à 78,5~ans en 2012. Pour les femmes, elle est passée de 65,2~ans à 84,9~ans durant la même période.

\medskip
 
\textbf{Première partie}

\medskip
 
On se propose ici de modéliser l'évolution de l'espérance de vie pour les hommes par la suite arithmétique $\left(U_{n}\right)$ de premier terme $U_{0} = 59,9$ et de raison $r = 0,25$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $U_{1}, U_{2}$ et $U_{3}$ qui correspondent aux années 1947, 1948 et 1949. 
\item Donner $U_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Déterminer $U_{66}$. 
\item Entre 1946 et 2012 les hommes ont-ils gagné, en réalité, plus de 3 mois d'espérance de vie chaque année en moyenne ?
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Deuxième partie}

\medskip
\begin{enumerate}
\item Déterminer, à $10^{-2}$ près, le taux d'évolution global de l'espérance de vie pour les hommes exprimé en pourcentage de 1946 à 2012. 
\item Des hommes ou des femmes, qui a le taux d'évolution global le plus élevé durant cette période ? 
\item Calculer pour les hommes le taux annuel moyen, pour cette période, exprimé en pourcentage à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Troisième partie}

\medskip
 
Soit l'algorithme suivant :

\begin{center}
%\begin{texttt}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|p{0.2cm}>{\ttfamily}X|}\hline 
\multicolumn{2}{|l|}{\textbf{VARIABLES}}\\ 
&$n$ EST DU TYPE NOMBRE\\ 
&$A$ EST DU TYPE NOMBRE\\ 
&$B$ EST DU TYPE NOMBRE\\ 
&$T$ EST DU TYPE NOMBRE\\ 
\multicolumn{2}{|l|}{\textbf{DÉBUT ALGORITHME}} \\
&AFFICHER \og Entrez la valeur initiale \fg.\\ 
&ENTRER $A$\\ 
&AFFICHER \og Entrer le nombre d'années \fg\\ 
&ENTRER $n$\\ 
&AFFICHER \og Entrez la valeur finale \fg\\ 
&ENTRER $B$\\ 
&$T$ PREND LA VALEUR $(B - A)/ A$\\ 
&$T$ PREND LA VALEUR $(1 + T)^{\frac{1}{n}}$\\ 
&$T$ PREND LA VALEUR $(T - 1) \times 100$ AFFICHER $T$\\ 
\multicolumn{2}{|l|}{\textbf{FIN ALGORITHME}}\\ \hline
\end{tabularx}
%\end{texttt}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Que calcule cet algorithme ? 
\item Si on choisit : $A = 65,2 \,;\,  B = 84,9 \,;\, n = 66$,  quel sera le résultat affiché à $10^{-2}$ près ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ 
Pour chaque question, une seule des réponses proposées est correcte.\\ 
Indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.\\ 
Aucune justification n'est demandée.\\ 
Une réponse juste rapporte $1$ point ; une réponse fausse ainsi que l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip
 
Une usine remplit des bouteilles. On admet que la variable aléatoire $X$, correspondant à la quantité de liquide, exprimée en cL, dans une bouteille choisie au hasard suit la loi normale d'espérance $75$ et d'écart type $2$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est à $10^{-2}$ près la probabilité qu'une bouteille prélevée au hasard contienne une quantité de liquide inférieure ou égale à $71$~cL ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{A :~~} 0,02 &\textbf{B :~~} 0,5 &\textbf{C :~~}0 &\textbf{D :~~} 0,98
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Quelle est, à $10^{-2}$ près, la probabilité qu'une bouteille prélevée au hasard contienne une quantité de liquide qui appartient à l'intervalle [71~;~79] ? 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{A :~~} 0,02&\textbf{B :~~} 0,95&\textbf{C :~~} 0,98&\textbf{D :~~} 1
\end{tabularx}
\medskip 
\item Les responsables de l'usine ont noté, chaque jour pendant une semaine, le pourcentage de bouteilles qui contenaient une quantité de liquide n'étant pas comprise entre 71~cL et 79~cL. Ces bouteilles sont considérées comme mal remplies.
 
La série statistique ci-dessous donne l'évolution du pourcentage $y_{i}$ de bouteilles mal remplies en fonction de $x_{i}$ (rang du jour).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
Rang du jour $x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline 
Pourcentages $y_{i}$& 3,8 &4 &3,9 &4,5 &4,3 &4,6 &4,5\\ \hline 
\end{tabularx}
\medskip 
 
Une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés où les coefficients sont arrondis au centième, est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\small}X}} 
\textbf{A :~~} $y = 3,70x + 0,13$&\textbf{B :~~} $y = -20,67x + 5,83$&\textbf{C :~~} $y = 3,7x + 0,1$&\textbf{D :~~} $y = 0,13x +3,7$\\
\end{tabularx}
\medskip 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip

Dans une classe de terminale STMG, les élèves se répartissent suivant le tableau ci-dessous: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&Garçons& Filles &Total\\ \hline 
Redoublants &3 &5 &8\\ \hline  
Non redoublants &6 &22 &28\\ \hline  
Total &9 &27 &36\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
  
\textbf{Pour toutes les questions on donnera les réponses à \boldmath $10^{-2}$\unboldmath près}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Si on interroge un élève au hasard dans cette classe, quelle est la probabilité de choisir un redoublant ? 
\item Sachant que l'on interroge une fille, quelle est la probabilité de choisir une non redoublante ? 

Dans cette même classe, les élèves ont choisi comme spécialité soit ressources humaines et communication soit mercatique.
 
Après avoir choisi la fiche d'un élève au hasard, on définit les évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $R$ : \og l'élève a choisi ressources humaines et communication \fg 
\item[$\bullet~~$] $M$ : \og l'élève a choisi mercatique \fg 
\item[$\bullet~~$] $G$ : \og l'élève est un garçon \fg 
\item[$\bullet~~$] $F$ : \og l'élève est une fille \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item Compléter l'arbre de probabilités en \textbf{annexe 2  à rendre avec la copie}. 
\item Quelle est la probabilité de choisir une fille qui est en ressources humaines et communication ? 
\item Calculer la probabilité de choisir un garçon, sachant que sa spécialité est ressources humaines et communication. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\medskip

\begin{flushleft} 
\textbf{Annexe 1}
\end{flushleft}

\psset{xunit=0.0054cm,yunit=0.007cm}
\def\psvlabel#1{\np{$#1$}}
\def\pshlabel#1{\np{$#1$}}
\begin{pspicture}(-100,-20)(2100,1400)
\multido{\n=0+100}{22}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,1400)}
\multido{\n=0+100}{15}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(2100,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=200,Dy=200]{->}(0,0)(2100,1400)
\uput[r](0,1350){$y$ en milliers d'euros}
\uput[u](2000,0){$x$ en tonnes}
\psplot[plotpoints=6000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2000}{x dup mul x 1000 add div}
\end{pspicture} 
 
\vspace{1.5cm}

\begin{flushleft} 
\textbf{Annexe 2}
\end{flushleft} 

\bigskip

\psset{unit=3cm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=1.5pt,treesep=2.15cm,levelsep=2.15cm]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$G$}\taput{}}
	  { 
		  \TR{$M$}\taput{0,78}
		  \TR{$R$}\tbput{0,22}	   
	  }
	\pstree{\TR{$F$}\tbput{}}
	  {
		  \TR{$M$}\taput{0,43}
		  \TR{$R$}\tbput{0,57}	  
	  }
}
\end{center}
\end{document}