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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small STMG}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{17 juin 2014}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG  Polynésie~\decofourright\\17 juin 2014}}

\medskip

\textbf{Durée  : 3 heures}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un Q.C.M.}

\medskip 

Pour chaque question posée, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. 

Une réponse exacte rapporte un point ; une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte pas de point et n'en enlève pas.
 
Pour chaque question, recopier sur votre copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 

La valeur d'une action cotée en Bourse a baissé de 37,5\,\%.
 
Sa valeur a été multipliée par 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,375& \textbf{b.~~} 1,375& 
\textbf{c.~~} 1,625& \textbf{d.~~} 0,625
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Le prix d'une denrée alimentaire a augmenté le premier mois de 2\,\% puis a baissé le second mois de 10\,\%.
 
Le taux d'évolution moyen mensuel est (à 0,01\,\% près) 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $- 4\,\% $&\textbf{b.~~} $4,2\,\%$ &
\textbf{c.~~} $- 4,19\,\%$ &\textbf{d.~~} $3,83\,\%$ 
\end{tabularx}
\medskip

\item Le prix d'un article est de 87 euros. Ce prix augmente de 2\,\% chaque année.
 
Le prix dépassera 106 euros à partir de la 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 7\up{e} année& \textbf{b.~~} 9\up{e} année &
\textbf{c.~~} 10\up{e} année &\textbf{d.~~} 14\up{e} année
\end{tabularx}
\medskip

\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.38\linewidth}{|X|} \hline
 \textbf{VARIABLES}\\
$i, n, u$\\ 
\textbf{ENTRÉE}\\ 
Saisir $n$\\ 
\textbf{TRAITEMENT}\\ 
$u$ prend la valeur 5\\
Pour $i$ allant de 1 à $n$\\ 
\hspace{0,5cm} $u$ prend la valeur $0,94 \times u$\\
Fin Pour\\ 
\textbf{SORTIE}\\ 
Afficher $u$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Si l'on choisit $n = 8$, l'algorithme affichera (à $0,01$~près) 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 3,24& 
\textbf{b.~~} 3,05& 
\textbf{c.~~} 0,61& 
\textbf{d.~~} $0,94 \times 5$ 
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip 

\emph{Cet exercice comporte deux parties largement indépendantes}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip 

Dans un petit village, la mairie a organisé une fête locale : un certain nombre d'entrées gratuites ont été distribuées aux habitants et des stands ont été installés pour la vente de produits locaux.
 
Les organisateurs estiment que 40\,\% des visiteurs de la fête ont eu une entrée gratuite, les autres ont payé leur entrée.
 
De plus, parmi les visiteurs ayant une entrée gratuite, 45\,\% ont effectué un achat dans un des stands. Parmi ceux ayant payé leur entrée, 60\,\% n'ont rien acheté.
 
On interroge au hasard un des visiteurs de la fête à la fin de la journée.
 
On note 

$G$ l'évènement : \og le visiteur a eu une entrée gratuite \fg, 

$A$ l'évènement : \og le visiteur a effectué un achat \fg.
 
On notera $\overline{G}$ l'évènement contraire de $G$ et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de la probabilité $P_{G}(A)$. 
\item Recopier et compléter sur votre copie l'arbre de probabilité ci-dessous 

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$G$}	}
	  { 
		  \TR{$A$}
		  \TR{$\overline{A}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{G}$}}
	  {
		  \TR{$A$}
		  \TR{$\overline{A}$}
	  }
}
\end{center}

\item Calculer la probabilité de l'évènement suivant : \og le visiteur a payé son entrée et a effectué un achat \fg. 
\item Montrer que la probabilité que le visiteur ait effectué un achat est 0,42.
\item Calculer la probabilité que le visiteur ait payé son entrée sachant qu'il a effectué un achat.
 
\emph{On arrondira à $0,01$ près le résultat.} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
\emph{Dans cette partie, on arrondira les résultats à $0,01$ près}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On rappelle que la probabilité qu'un visiteur ait effectué un achat vaut $0,42$.
 
On interroge un groupe de 15 visiteurs.
 
Dans cette question, on suppose que la réponse d'un visiteur est indépendante de celle des autres visiteurs.
 
Calculer alors la probabilité que le nombre de visiteurs ayant effectué un achat soit égal à $10$. 
\item On estime que le modèle précédent n'est pas satisfaisant. 

On considère désormais que le pourcentage de visiteurs ayant effectué un achat suit une loi normale d'espérance $42$ et d'écart-type $4$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité d'avoir un pourcentage de ces visiteurs inférieur ou égal à $46$. 
		\item Calculer la probabilité d'avoir un pourcentage de ces visiteurs compris entre $34$ et $50$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

Une entreprise de livraison de colis à domicile demande à un cabinet comptable de réaliser une étude sur son activité. 

Une partie des données concerne les bénéfices (en milliers d'euros) réalisés chaque année depuis 2007.

\smallskip
 
Ces informations sont résumées dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.25cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2007& 2008 &2009& 2010& 2011& 2012\\ \hline
Rang de l'année : $x_{i}$& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ \hline
Bénéfice en milliers d'euros : $y_{i}$& 10,2& 12,8& 13,8& 14,4& 16,7& 17,5\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer le taux d'évolution global du bénéfice entre 2007 et 2012.
 
\emph{Arrondir le résultat à $0,01\,\%$ près.} 
\item Dans l'\textbf{annexe 1 à rendre avec la copie} est présenté l'extrait d'une feuille de calcul obtenue avec un tableur.
 
Indiquer une formule à entrer dans la cellule D3 pour obtenir les taux d'évolution d'une année sur l'autre par copier-glisser dans la colonne D.
 
Les données du tableau ci-dessus sont représentées par le nuage de points en \textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}. 
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer pour cette série statistique une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
 
\emph{Arrondir les coefficients à $0,01$ près.} 
\item Pour les deux questions suivantes, on prendra comme ajustement affine la droite d'équation $y = 1,4x+9,4$.
 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer cette droite sur l'annexe 1 de l'exercice. 
		\item On suppose que cet ajustement restera valide jusqu'en 2015.
		 
Déterminer le bénéfice en euros que l'on peut prévoir pour l'année 2015. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

Un entrepreneur lance sur le marché de nouvelles coques haut de gamme pour les téléphones mobiles.

\smallskip
 
Sur le graphique donné en annexe 2sont tracées les courbes représentant les recettes (en trait plein) et les coûts (en pointillés), en fonction du nombre de produits fabriqués exprimé en centaines d'unités.
 
On admet que la fabrication est comprise entre 0 et 700 unités.
 
Les recettes et les coûts sont exprimés en milliers d'euros.

\medskip
 
\textbf{Partie A lecture graphique}

\medskip
 
Répondre aux questions suivantes en vous aidant du graphique de l'\textbf{annexe 2}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Combien faut-il fabriquer de produits pour avoir une recette égale à \np{140000}~euros ? 
\item Combien de produits doit-on fabriquer pour obtenir un bénéfice positif ou nul ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B étude du bénéfice}

\medskip
 
On modélise :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] les recettes par la fonction $R$ définie sur [0~;~7] par 

\[R(x) = - 2x^3 + 4,5x^2 + 62x,\]
 
\item[$\bullet~~$] les coûts par la fonction $C$ définie sur [0~;~7] par 

\[C(x) = 20x + 10.\]

\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la recette et le coût pour $300$ produits fabriqués.
 
En déduire le bénéfice correspondant. 
\item On note $B$ la fonction bénéfice.
 
Donner l'expression de $B(x)$ sur l'intervalle [0~;~7]. 
\item Vérifier que $B'(x) = -6x^2 + 9x + 42$ où $B'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $B$. 
\item Étudier le signe de $B'(x)$. Donner le tableau de variations de $B$. 
\item En déduire la valeur du bénéfice maximal ainsi que le nombre de produits à fabriquer pour l'obtenir. 
\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe 1 à rendre avec la copie }


\vspace{0,5cm}

\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A		& B		& C			& D\\ \hline 
1 	&Année	& Rang	& Bénéfice	& Taux\\ \hline 
2	& 2007	& 1 	&10,2		&\cellcolor{lightgray} \\ \hline 
3	& 2008 	&2 		&12,8		& \\ \hline  
4	& 2009	& 3		& 13,8		& \\ \hline  
5	& 2010 	&4 		&14,4		& \\ \hline  
6	&2011 	&5 		&16,7		& \\ \hline  
7	&2012 	&6 		&17,5		& \\ \hline  
8	&		&		&			& \\ \hline 
\end{tabularx} 

\vspace{2cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(11,28)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-1)(11,28)
\multido{\n=0.0+0.5}{23}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,28)}
\multido{\n=0+2}{15}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=cyan](0,\n)(11,\n)}
\uput[u](10,0){rang de l'année}
\uput[r](0,27.5){bénéfice (milliers d'euros}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1,10.2)(2,12.8)(3,13.8)(4,14.4)(5,16.7)(6,17.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe 2 à l'exercice 4} 


\vspace{2cm}

\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.035cm}
\begin{pspicture}(-0.8,-30)(8,260)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=20]{->}(0,0)(-0.8,-30)(8,260)
\multido{\n=0.00+0.25}{33}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,-30)(\n,260)}
\multido{\n=-30+10}{30}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0}{7}{20 x mul 10 add}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{ x dup mul 4.5 mul 62 x mul add x 3 exp 2 mul sub}
\uput[u](7.8,0){$x$}\uput[l](0,255){$y$}
\uput[u](4,190){Recettes}\rput{29}(4,80){Coûts}
\end{pspicture}

\end{center}
\end{document}