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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{7 juin 2016}}
\label{Polynesie}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG  Polynésie 7 juin 2016~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (8 points)}

\medskip

À partir des recensements effectués tous les dix ans, on a établi le tableau suivant qui donne
l’évolution de la population française en millions d’individus entre 1851 et 1911. Peu de données
sont disponibles pour l’année 1871.

\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|m{2.75cm}|*{6}{c|}}
\hline
							&Population	&Population	&Population	&Population	&Population &Population\\
 							&en 1851 	&en 1861	&en 1881	&en 1891	&en 1901	&en 1911 \\\hline
Rang de la décennie : $x_i$	&0 &1& 3& 4& 5& 6\\\hline
Population en millions : $y_i$&35 &37,4& 37,7& 39,9 &39 &39,6\\\hline
\multicolumn{7}{r}{\emph{Source : INSEE}}
\end{tabular}

\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A : Approximation de la population en 1871.}

\medskip
\begin{enumerate}
\item Placer sur le graphique donné en annexe le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$.
\item Donner une équation de la droite d’ajustement affine de $y$ en fonction de $x$ obtenue par la
méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au millième.\index{droite d'ajustement}
\item On décide d’ajuster ce nuage de points par la droite (d) d’équation $y = 0,7x + 35,9$. Tracer
cette droite sur ce même graphique.
\item À l’aide de ce modèle, estimer la population en 1871.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B : Évolution de la population après 1911.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Les données de l’INSEE (Institut National de la Statistique et des Études Économiques)
montrent qu’en 1921 la population française était d’environ $39,2$~millions de personnes. Le
modèle utilisé dans la partie A prévoyait-il ce résultat ?
\item Sachant qu’en 2011 il y avait $65,2$~millions d’habitants en France, pensez-vous que ce
modèle reste valable jusqu’à nos jours ? On attend une réponse argumentée.
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie C}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d’évolution global, exprimé en pourcentage et arrondi au centième, de la
population française entre 1911 et 2011 (\emph{les données se trouvent dans les deux premières
parties}).
\item En déduire le taux d’évolution annuel moyen pendant cette période arrondi à 0,1\,\% près.\index{taux}
\item On souhaite utiliser ce taux moyen pour obtenir un autre modèle de la population.

Soit $\left(U_n\right)$ la suite géométrique de raison $1,005$ et de premier terme $U_0= 39,6$.\index{suite géométrique}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $U_3$ puis $U_{100}$ (\emph{on arrondira à $0,1$ près}).
		\item Dans le cadre de l’exercice, que représentent $U_3$ et $U_{100}$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill (8 points)}

\medskip

En 2016, une entreprise compte produire au plus \np{60000} téléphones mobiles pour la France et
les vendre $800$ \euro{} l’unité. On supposera que tous les téléphones produits sont vendus. On
s’intéressera dans cet exercice au bénéfice éventuel réalisé par l’entreprise.

Après plusieurs études, les coûts, en euros, liés à la production, à la distribution et à la publicité,
sont modélisés par 

\[C(x) = 0,01x^2 + 250x + \np{2500000}\]\index{fonction polynôme}

(où $x$ est le nombre d’exemplaires fabriqués et vendus).

\newpage

\textbf{Partie A}

\vspace{0.25cm}

\begin{enumerate}
\item Montrer que le bénéfice, selon le nombre $x$ d’exemplaires vendus, est défini sur [0 ; \np{60000}]

par 

\[f(x) = - 0,01x^2 + 550 x - \np{2 500 000}.\]
\item Déterminer la fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$.\index{dérivée}
\item Donner, en justifiant votre démarche, le tableau de variation de la fonction $f$.\index{tableau de variations}
\item Combien l’entreprise doit-elle vendre de téléphones pour réaliser un bénéfice maximal ?

Calculer ce bénéfice.
\item La fonction $f$ est représentée ci-dessous.

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement combien l’entreprise doit vendre de téléphones pour réaliser
un bénéfice supérieur à 2 millions d’euros.
		\item L’entreprise a-t-elle intérêt à produire \np{60000} exemplaires en 2016 ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.00018cm,yunit=0.00075cm}
\begin{pspicture}(-5000,-6000)(80000,7000)
\uput[r](0,8200){\euro}
\multido{\n=0+5000}{16}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](\n,-6000)(\n,8000)}
\multido{\n=-6000+1000}{15}{\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](0,\n)(75000,\n)}
\psaxes[labels=x,labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.25pt,Dx=90000,Dy=2000]{->}(0,0)(0,-6000)(75000,8500)
% \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.8](0,6452.5)(1,6030.9)(2,6127.2)(3,5448.7)(4,5231.5)(5,4728.8)(6,4502.4)(7,4043.7)(8,3681.2)
\uput[u](65000,0){\footnotesize Nombre de téléphones fabriqués}
\multido{\n=0+5000}{16}{\uput[d](\n,0){\footnotesize \np{\n}}}
\multido{\n=-6000+2000,\na=-6000000+2000000}{7}{\uput[l](0,\n){\footnotesize \np{\na}}}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{60000}{x x mul 0.01 neg mul x 550 mul add 2500000 sub 1000 div }

\end{pspicture}

\end{center} 

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
On s’intéresse dans cette partie au bénéfice unitaire qui est modélisé par la fonction $g$ définie
sur ]0~;~\np{60000}] par $g(x)=\dfrac{f(x)}{x} $.

Sur un tableur, on a préparé une feuille de calcul dont on donne, ci-dessous, un aperçu :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*3{c|}}
\hline
&A& B& C\\\hline
1	&Nombre
d'exemplaires $x$&Bénéfice $f(x)$&Bénéfice unitaire $g(x)$\\\hline
2	&\np{1000}	&$-\np{1960000}$&$-\np{1960,00}$\\\hline
3	&\np{2000}	&$-\np{1440000}$&$-\np{720,00}$\\\hline
4	&\np{3000}	&$-\np{940000}$	&$-\np{313,33}$\\\hline
5	&\np{4000}	&$-\np{460000}$	&$-\np{115,00}$\\\hline
6 	&\np{5000}	&0				&0,00\\\hline
7	&\np{6000}	&\np{440000}	&73,33\\\hline
8	&\np{7000}	&\np{860000}	&122,86\\\hline
9	&\np{8000}	&\np{1260000}	&157,50\\\hline
10	&\np{9000}	&\np{1640000}	&182,22\\\hline
11	&\np{10000}	&\np{2000000}	&200,00\\\hline
12	&\np{11000}	&\np{2340000}	&212,73\\\hline
13	&\np{12000}	&\np{2660000} 	&221,67\\\hline
14 	&\np{13000}	&\np{2960000}	&227,69\\\hline
15	&\np{14000}	&\np{3240000}	&231,43\\\hline
16	&\np{15000}	&\np{3500000}	&233,33\\\hline
17	&\np{16000}	&\np{3740000}	&233,75\\\hline
18	&\np{17000}	&\np{3960000}	&232,94\\\hline
19	&\np{18000}	&\np{4160000} 	&231,11\\\hline
20	&\np{19000}	&\np{4340000}	&228,42\\\hline
21	&\np{20000}	&\np{4500000}	&225,00\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Quelle formule peut-on saisir en C2 pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs du
bénéfice unitaire ?
\item D’après le tableau, combien d’exemplaires doit-on fabriquer et vendre pour avoir un
bénéfice unitaire maximal.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On modélise, par jour de production, le nombre d’appareils défectueux par la loi normale
d’espérance $\mu=14$ et d’écart type $\sigma  = 2$. On arrondira les résultats au millième.\index{loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité pour qu’un jour donné, il y ait entre 12 et 16 téléphones défectueux.
\item On considère que la production d’une journée n’est pas satisfaisante quand il y a plus de 18
téléphones défectueux. Quelle est la probabilité pour qu’un jour donné la production ne soit
pas satisfaisante ?
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill (4 points)}

 \medskip
 
\emph{Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiple (QCM).}\index{Q. C. M.}

\emph{Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.}

\emph{Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.}

\emph{Aucune justification n’est demandée. Une réponse juste rapporte un point ; une réponse fausse ou
l’absence de réponse n’enlève pas de point.}

\medskip

Dans une population, on estime qu’il naît 51\,\% de garçons et 49\,\% de filles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item L’intervalle de fluctuation à au moins 95\,\% de la fréquence des filles dans un échantillon de
100 naissances choisies au hasard sera :\index{intervalle de fluctuation}

\medskip 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} [0,48~;~0,50]&\textbf{b.~~}[0,39~;~0,59] &\textbf{c.~~}[0,41~;~0,61] &\textbf{d.~~}  [0,47~;~0,51]
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\smallskip

Dans cette même population si le premier enfant d’une famille est une fille, dans 75\,\% des cas il y a
un deuxième enfant. Si le premier enfant est un garçon, il y a un deuxième enfant dans 20\,\% des cas.

On choisit, au hasard dans cette population, une famille ayant au moins un enfant.\index{probabilités}

On considère les évènements suivants :
\begin{description}
\item[]$F$ : \og le premier enfant de cette famille est une fille \fg
\item[]$D$ : \og cette famille a eu un deuxième enfant \fg
\end{description}

\begin{enumerate}[resume]
\item On a :

\medskip 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~}$P(D) = \np{0,4695}$ &\textbf{b.~~}$P(D) = 0,75$ &\textbf{c.~~}$P(D) = \np{0,3675}$ &\textbf{d.~~}$P(D) = \np{0,53025}$ 
\end{tabularx}
\medskip
 
\item La probabilité que la famille choisie ait au moins deux enfants et que le premier soit une fille
est :

\medskip 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $\np{0,1225}$&\textbf{b.~~} $0,49 $&\textbf{c.~~} $\np{0,3675}$&\textbf{d.~~}  $1,24$
\end{tabularx}
\medskip 

\item On choisit au hasard 5 familles parmi celles qui ont au moins un enfant. 0n appelle $Y$ la
variable aléatoire qui donne le nombre de ces familles ayant eu une fille en premier enfant.\index{loi binomiale}

On a alors :

\medskip 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $P(Y = 2) = 10$&\textbf{b.~~} $P(Y=2)\approx 0,32$&\textbf{c.~~} $P(Y=2)=0,98$&\textbf{d.~~}  $P(Y=2)=0,16$
\end{tabularx}
\medskip 

\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe de l'exercice 1 à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.75)(17.5,15.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(17.5,15.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=30]{->}(0,0)(0,0)(17.5,15.5)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}