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%tapuscrit Jean-Claude Souque
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{13 juin 2017}}
\label{Polynesie}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG  Polynésie 13 juin 2017~\decofourright\\[4pt] }}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (5 points)}

\vspace{0.25cm}

Des sondages quotidiens ont été effectués avant le second tour d'une élection opposant deux
candidats A et B. Les intentions de votes, en pourcentage, pour le candidat A sont données
dans le tableau suivant:

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Dates:				&24/04 	&25/04	&26/04	&27/04	&30/04	&01/05	&02/05 	&03/05 	&04/05\\\hline
Rang du jour $x_i$	&1		&2		& 3		& 4		& 7		&8		&9		&10		&11\\\hline
Pourcentage $y_i$	&55 	&55		& 54,5	& 55	& 54	&53,5	&53		&53		&52\\\hline
\end{tabularx}

\smallskip

Par exemple, le 24 avril les intentions de votes pour le candidat A étaient de 55\,\% et pour le
candidat B de 45\,\%.

Le scrutin aura lieu le 6 mai. Comme il est interdit de publier des résultats de sondages les
deux derniers jours avant le scrutin, on ne dispose pas des sondages pour le 5 et le 6 mai.

Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ pour $i$ variant de $1$ à $11$, est donné en \textbf{\textsc{Annexe} 1 à rendre avec la copie}.

\begin{enumerate}
\item  À l'aide de la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, une
équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ (arrondir les coefficients au millième).\index{droite d'ajustement}
\item On décide d'ajuster le nuage avec la droite $D$ d'équation $y = -0,28x + 55,6$.
\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $D$ sur le graphique figurant sur \textbf{\textsc{Annexe}}.
\item Déterminer la valeur prévue par ce modèle le 6 mai, jour de l'élection.
\item Si l'élection n'avait pas eu lieu le 6 mai, d'après ce modèle, à partir de quelle
date le candidat B serait-il passé en tête des sondages ?
\end{enumerate}
\item Des sondages ont été faits le jour de l'élection mais n'ont pas été communiqués. Un de
ces sondages donnait le candidat A à 52\,\%. L'institut disait avoir effectué ce sondage
sur un échantillon représentatif de \np{1225} personnes.
\begin{enumerate}
\item  Au vu de ce dernier sondage, établir l'intervalle de confiance au niveau de
95\,\%, pour le résultat du candidat A à l'élection.\index{intervalle de confiance}
\item Au vu de cet intervalle, la victoire de ce candidat-semblait elle assurée ?

\emph{Justifier la réponse}.
\end{enumerate}\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill (7 points)}  

\vspace{0.25cm}

En 2016 une étude réalisée dans une grande entreprise révèle que 60\,\% des employés peuvent
venir travailler grâce aux transports en commun. Parmi ceux-ci, 72\,\% déclarent venir tout de
même en voiture. Parmi ceux qui n'ont pas accès aux transports en commun, 96\,\% viennent
travailler en voiture.

\medskip

\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On choisit au hasard un employé de cette entreprise et on considère les évènements suivants:

\begin{description}
\item[~~] $T$ : \og L'employé peut utiliser les transports en commun \fg ;
\item[~~] $V$ : \og l'employé vient travailler en voiture\fg.
\end{description}

On notera $\overline{T}$ et $\overline{V}$ les évènements contraires.

Les résultats seront tous donnés à 0,001 près.\index{probabilité}

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter l'arbre pondéré donné ci-dessous.\index{arbre}

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$T$~}\taput{\dots}}
	  { 
		  \TR{$V$}\taput{\dots}
		  \TR{$\overline{V}$}\tbput{\dots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{T}$~}\tbput{\dots}}
	  {
		  \TR{$V$}\taput{\dots}
		  \TR{$\overline{V}$}\tbput{\dots}
	  }
	
}
\end{center}

\item Calculer la probabilité de l'évènement $T\cap V$.
\item Déterminer la probabilité que l'employé ne puisse pas utiliser les transports en
commun et ne vienne pas travailler en voiture.
\item Justifier que la probabilité de l'évènement $V$ est égale à $0,816$.
\item Sachant que l'employé vient en voiture, quelle est la probabilité qu'il ait accès aux
transports en commun ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'entreprise souhaite, par diverses incitations, diminuer de 5\,\% par an le pourcentage
de ceux qui viennent travailler en voiture.

On note $U_0$ le pourcentage de ces employés en 2016 et pour tout entier $n$, $U_n$ le 
pourcentage espéré l'année $(2016 + n)$. On a montré dans la partie A que $U_0 = 81,6$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $U_1$, puis $U_2$.
\item Déterminer la nature de cette suite puis exprimer $U_n$ en fonction de $n$.\index{suite}
\item Calculer le pourcentage attendu d'employés venant en voiture en 2020.
\item D'après ce modèle, à partir de quelle année, y aura-t-il moins d'un employé sur
deux qui viendra travailler en voiture?
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill ( 8 points)}  

\vspace{0.25cm}

Une étude de l'INSEE a listé l'évolution en France des salaires nets annuels moyens de 1990
à 2010.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On a reporté quelques valeurs dans le tableau ci-dessous :

\medskip

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabular}{|m{3.9cm}|c|c|c|}
\hline
Années:							&1990		&2000		&2010\\\hline
Salaire net annuel moyen
 pour les hommes (\euro{}) :  	& \np{17643}&\np{21498} &\np{26831}\\\hline
 Salaire net annuel moyen 
 pour les femmes (\euro{}) : 	&\np{13258}	& \np{17259}& \np{22112}\\\hline
\end{tabular}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution du salaire net moyen des hommes puis celui des
femmes, entre 1990 et 2000.\index{taux}
\item Qui, des hommes ou des femmes, a vu la plus forte progression du salaire net
moyen entre 1990 et 2000 ? Cette tendance s'est-elle confirmée durant les dix
années suivantes?
\item Calculer le taux annuel moyen d'évolution du salaire net des hommes entre 1990 et
2000 et comparer avec celui des femmes qui est d'environ de 2,7\,\%.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

En se servant des données de cette étude, on modélise l'évolution des salaires nets annuels
moyens jusqu'en 2020 :

\begin{itemize}
\item Pour les hommes par la fonction $h$ définie sur [0~;~30] par:

\[h(x) = 0,25x^3 + 2x^2 + 318x + \np{17865}\]\index{fonction polynôme}

\item Pour les femmes par la fonction $f$ définie sur [0~;~30] par:

\[f(x) = 0,6x^3 - 13x^2 + 470x + \np{13324}\]

\end{itemize}
Ainsi, $h(0)$ désigne le salaire net annuel des hommes en 1990, $f(1)$ désigne le salaire net annuel des femmes en 1991, etc.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $h(15)$ et $f(15)$ puis interpréter les résultats.
\item Calculer l'écart des salaires nets annuels moyens prévus par ce modèle entre les hommes et les femmes en 2020.
\item Montrer que l'écart entre ces deux salaires peut être modélisé par la fonction $g$ définie sur [0~;~30] par :

\[g(x) = - 0, 35x^3 + 15x^2 - 152x + \np{4541}\]
\item On note $g'$ la dérivée de la fonction $g$. Calculer $g'(x)$.\index{dérivée}
\item Déterminer le signe de $g'(x)$ sur [0~;~30].
\item Peut-on affirmer que l'écart entre les salaires nets annuels moyens des hommes et des femmes n'a fait que diminuer depuis 1990 ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le modèle choisi indique que l'écart entre le salaire des hommes et celui des femmes diminue à partir de 2012. On suppose que ce modèle peut être valable jusqu'en 2040.
\begin{enumerate}
\item  Compléter l'algorithme, donné en annexe, pour qu'il affiche à partir de quelle année, avec ce modèle, le salaire des femmes aura rattrapé celui des hommes.\index{algorithme}
\item En utilisant le tableau donné ci-dessous, dire ce qu'affichera l'algorithme.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Années&$x$& $h(x)$			& $f(x)$\\\hline
1990	&0 	&\np{17865} 	&\np{13324}\\\hline
1991	&1	& \np{18185,25}	&\np{13781,60} \\\hline
1992	&2	& \np{18511}	& \np{14216,80}\\\hline
1993 	&3 	&\np{18843,75} 	&\np{14633,20}\\\hline
1994 	&4 	&\np{19185} 	&\np{15034,40}\\\hline
1995 	&5	& \np{19536,25}	&\np{15424} \\\hline
$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$	&$\vdots$ \\\hline
2025 	&35	&\np{42163,75}	&\np{39574} \\\hline
2026	&36	&\np{43569} 	&\np{41389,60}\\\hline
2027	&37	&\np{45032,25}	&\np{43308,80} \\\hline
2028	&38&\np{46555} 		&\np{45335,20}\\\hline
2029 	&39	& \np{48138,75}	&\np{47472,40} \\\hline
2030 	&40	& \np{49785} 	&\np{49724}\\\hline
2031	&41	& \np{51495,25}	&\np{52093,60}\\\hline
2032 	&42	& \np{53271}	&\np{54584,80} \\\hline
2033	&43 &\np{55113,75}	&\np{57201,20}\\\hline
2034 	&44	&\np{57025}		& \np{59946,40}\\\hline
2035	&45	&\np{59006,25}	&\np{62824}\\\hline
2036 	&46	&\np{61059}		&\np{65837,60}\\\hline
2037 	&47	&\np{63184,75}	&\np{68990,80}\\\hline
2038	&48	&\np{65385} 	&\np{72287,20}\\\hline
2039 	&49	&\np{67661,25} 	&\np{75730,40}\\\hline
2040	& 50&\np{70015} 	&\np{79324}\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\textsc{Annexe} 1 à rendre avec la copie}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(23,27)
\multido{\n=0+1}{24}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,22)}
\multido{\n=0+2}{12}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-0.5,\n)(23,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Oy=45,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(23,24)
\psdots[dotstyle=Mul,dotsize=5pt](1,10)(2,10)(3,9.5)(4,10)(7,9)(8,8.5)(9,8)(10,8)(11,7)
 \uput[r](0,24){\footnotesize \%}\uput[d](21.6,-1.5){\footnotesize rang du jour }
\end{pspicture}
\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\begin{onehalfspace}
\begin{center}

\begin{tabular}{|l|}
\hline

\begin{minipage}{6.95cm}

$X$ prend la valeur 0\rule[-3mm]{0mm}{8mm}

$H$ prend la valeur \np{17865}

$F$ prend la valeur \np{13324}

Tant que \dots < \dots

\hspace{1.2em}$X$ prend la valeur $X+1$

\hspace{1.2em}$H$ prend la valeur $0,25 X^3+ 2X^2 + 318X + \np{17865}$

\hspace{1.2em}$F$ prend la valeur $0,6 X^3-13X^2 + 470X + \np{13324}$

Fin tant que

$A$ prend la valeur 1990 + \dots

Afficher $A$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}

\end{minipage}\\

\hline
\end{tabular}

\end{center}
\end{onehalfspace}
\end{document}