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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STMG}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{11 septembre 2015}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG  Polynésie 11 septembre 2015~\decofourright}}

\medskip

\textbf{Durée  : 3 heures}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\
Pour chacune des quatre questions, une seule réponse proposée est correcte. \\
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification
n'est demandée.\\
Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une
question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point. Une réponse multiple ne rapporte pas de
point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'évolution du prix d'un produit ménager. Son prix a d'abord augmenté de 8,5\,\%
puis il a diminué de 3\,\%. Le taux d'évolution global du prix arrondi à 0,01\,\% est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 11,76\,\%& \textbf{b.~~} 5,5\,\%& \textbf{c.~~} 5,25\,\%& \textbf{d.~~}5\,\%\\
\end{tabularx}
\medskip

\item À la sortie d'un magasin, on estime que la proportion de clients ayant effectué un achat est de $0,29$. On considère un échantillon de $10$ clients choisis au hasard et de façon indépendante.

La probabilité arrondie à $0,01$ près que parmi ceux-ci, au plus quatre aient effectué un achat est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,09& \textbf{b.~~} 0,87& \textbf{c.~~} 0,13& \textbf{d.~~}0,96\\ 
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

Pour les deux questions suivantes, on considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 1~;~2,5]$ et dont la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ est tracée ci-dessous.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

Les tangentes à la courbe sont horizontales uniquement aux points d'abscisses $x = 0$ et $x= 2$.

\medskip
\parbox{0.35\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item[\textbf{3.}] La fonction $f$ vérifie :
	\begin{enumerate}
		\item $f'(1) < 0$
		\item $f'(1) = 0$
		\item $f'(1) = 1$
		\item $f'(1) = - 5$
 	\end{enumerate}
\item[\textbf{4.}] Sur l'intervalle [0~;~2 ]
	\begin{enumerate}
		\item $f'$ change de signe
		\item $f'$ s'annule une fois
		\item $f'$ est négative ou nulle
		\item $f'$ est décroissante
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}}\hfill 
\parbox{0.62\linewidth}{\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.333,-2.5)(2.666,2.5)
\multido{\n=-1.333+0.333}{13}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.3pt](\n,-2.5)(\n,2.5)}
\multido{\n=-2.5+0.5}{11}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.3pt](-1.333,\n)(2.666,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-1.333,-2.5)(2.666,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[d](2.5,0){$x$}\uput[l](0,2.4){$y$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{2.5}{x 3 exp   x dup mul 3  mul  sub 2 add}
\uput[ur](0.666,1){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

Une société de hotline fait une enquête sur le niveau de satisfaction des personnes qui ont recours à leurs services par téléphone. Elle dispose de deux centres d'appel: un situé à Marseille, un autre situé à Lille.

L'enquête consiste à demander à chaque personne ayant téléphoné si elle est satisfaite ou non du
service que la hotline lui a proposé.

La société estime que 58\,\% des appels reçus l'ont été par le centre de Marseille.

De plus, parmi les appels reçus par le centre de Marseille, on constate un taux de 34\,\% de personnes
satisfaites ; alors que pour le centre de Lille, on constate un taux de 44\,\% de personnes satisfaites.

On choisit au hasard une personne ayant téléphoné. 

On considère les évènements suivants :

$M$ : \og la personne a téléphoné au centre de Marseille \fg.

$S$ : \og la personne est satisfaite du service proposé \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité suivant :

\begin{center}		
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M$~}}
	{\TR{$S$}
	\TR{$\overline{S}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{M}$~}}	
	{\TR{$S$}
	\TR{$\overline{S}$}
	}
}
\end{center}

		\item Déterminer la probabilité que la personne ait téléphoné au centre de Marseille et soit satisfaite.
		\item Montrer que la probabilité que la personne ayant téléphoné soit satisfaite est $p = 0,382$.
	\end{enumerate}
\item Sachant que la personne ayant téléphoné a été satisfaite, quelle est la probabilité que cette
personne ait téléphoné au centre de Lille ?
	
Arrondir le résultat à $0,001$ près.
\item On considère un échantillon de $500$~personnes choisies au hasard ayant téléphoné à l'un des
centres d'appel.
	
Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% du taux de personnes satisfaites pour
cet échantillon. Arrondir les bornes à $0,001$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

On considère que désormais le taux $S$ de satisfaction des personnes ayant téléphoné aux centres
d'appel suit une loi normale d'espérance $\mu = 38,2$ et d'écart-type $\sigma = 4,9$.

On arrondira les résultats à 0,01 près.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le taux $S$ de satisfaction soit compris entre 28,4\,\% et 48\,\%.
\item Calculer la probabilité que le taux $S$ de satisfaction soit supérieur à 40\,\%.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne le montant du SMIC mensuel net au 1\up{er} septembre de chaque année.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 			&2010 			&2011 			&2012 			&2013\\ \hline
Montant en euros&\np{1053,24} 	&\np{1072,07} 	&\np{1118,29} 	&\np{1120,43}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux global d'évolution du SMIC mensuel net entre 2010 et 2013.
Arrondir au centième.
\item Déterminer le taux d'évolution annuel moyen sur la période 2010-2013.
Arrondir au centième.
\item En prenant comme base $100$ l'année 2010, quel est l'indice du SMIC mensuel net pour l'année
2013 ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

On considère dans cette partie qu'à partir de 2013, le taux d'évolution annuel du SMIC net sera de
2,1\,\%. On modélise ainsi l'évolution du SMIC par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le montant en euros au 1\up{er} septembre de l'année $2013 + n$. Ainsi $u_0 = \np{1120,43}$.

On arrondira les résultats à $0,01$ près.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $u_1 = \np{1143,96}$ et $u_2 = \np{1167,98}$
\item Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et préciser ses caractéristiques.
\item Donner une prévision du montant du SMIC net au 1\up{er} septembre pour l'année 2020.

On considère l'algorithme suivant:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{VARIABLES}\\
\hspace{0.2cm}$n$ EST DU TYPE NOMBRE\\
\hspace{0.2cm}$u$ EST DU TYPE NOMBRE\\
\textbf{TRAITEMENT}\\
\hspace{0.2cm}$n$ PREND LA VALEUR $0$\\ 
\hspace{0.2cm}$u$ PREND LA VALEUR \np{1120,43}\\
\hspace{0.2cm}TANT QUE $u < \np{1400}$ FAIRE\\
\hspace{0.4cm}$u$ PREND LA VALEUR $u * 1,021$\\
\hspace{0.4cm}$n$ PREND LA VALEUR $n + 1$\\
\hspace{0.2cm}FIN TANT QUE\\
\hspace{0.2cm}AFFICHER $n$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Que permet de calculer cet algorithme ?
\item Donner le résultat affiché par cet algorithme.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

Un audit est effectué auprès d'une collectivité locale afin de connaître l'évolution de son budget
concernant sa dépense pour l'équipement (véhicules, fournitures, \ldots).

Cette évolution est résumée dans le tableau suivant où la dépense est exprimée en centaine de
milliers d'euros :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 						&2009 	&2010 	&2011 	&2012 	&2013 	&2014\\ \hline
Rang $\left(x_i\right)$		&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6\\ \hline
Dépense $\left(y_i\right)$	&16,5 	&11 	&9,4 	&6,1 	&5,7 	&4,6\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{En annexe  à rendre avec votre copie}, on a représenté le nuage des points de coordonnées
$\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal du plan.

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation réduite de la droite d'ajustement
affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.

Elle sera notée $(d)$ et on arrondira ses coefficients à $0,01$ près.

Pour la suite, on utilisera comme équation de la droite $(d)$ : $y = - 2,2 x + 16,8$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer cette droite dans le repère donné en annexe.
		\item À l'aide de cet ajustement, donner une estimation de la dépense de la collectivité locale pour l'année 2015.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip


On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~15] par 

\[f(x) = \dfrac{20x + 21}{x^2 + 1}.\]

La représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est tracée sur le graphique en annexe.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

On admet que $f'(x) = \dfrac{- 20x^2 - 42x + 20}{\left(x^2 + 1 \right)^2}$, pour tout nombre réel $x \in  [1~;~15]$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle [1~;~15].
\item On choisit désormais la courbe $\mathcal{C}_f$ comme ajustement du nuage de points.

À l'aide de cet ajustement, donner une estimation de la dépense de la collectivité locale pour
l'année 2015.
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}
\psset{xunit=0.84cm,yunit=0.42cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(13,26)
\psgrid[gridlabels=0pt,griddots=8,subgriddiv=1](0,0)(13,26)
\multido{\n=0.5+1.0}{13}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,26)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(13,26)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2](0,0)(12,25)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1,16.5)(2,11)(3,9.4)(4,6.1)(5,5.7)(6,4.6)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted,dotsep=1pt,border=0.05pt]{1}{13}{20 x mul 21 add x dup mul 1 add div}
\uput[u](12,1.9){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[d](12.9,0){$x$}\uput[l](0,25.8){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}