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%Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{3 septembre 2019}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat STMG Polynésie 3 septembre 2019~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}  

\bigskip

Un fermier possède des pommiers.

Les pommes de taille standard sont vendues sur le marché, les autres servent à faire des compotes.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère que le diamètre, exprimé en cm, d'une pomme produite par l'un des pommiers du
fermier suit la loi normale de moyenne $\mu = 6$ et d'écart type $\sigma = 0,7$.

Les pommes de taille standard, donc qui vont être vendues sur le marché, sont celles dont le diamètre est compris entre $5,3$~cm et $6,7$~cm.\index{loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la probabilité qu'une pomme soit vendue au marché. Arrondir le résultat au millième.
\item En déduire la probabilité qu'une pomme serve à faire des compotes.\index{probabilité}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Les pommes récoltées sont soit rouges, soit jaunes.

60\,\% des pommes récoltées sont rouges.

Parmi les pommes rouges, 80\,\% sont vendues au marché et les autres servent à faire des compotes.

Parmi les pommes jaunes, 50\,\% sont vendues au marché et les autres servent à faire des compotes.

On choisit une pomme au hasard parmi les pommes récoltées et on note:

\begin{itemize}
\item $R$ l'évènement \og la pomme est rouge \fg
\item $J$ l'évènement \og la pomme est jaune \fg
\item $M$ l' évènement \og la pomme est vendue sur le marché \fg
\item $C$ l'évènement \og la pomme sert à faire des compotes \fg
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre de probabilités fourni en \textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}.\index{arbre pondéré}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(R \cap M)$ et interpréter cette probabilité par une phrase.
		\item Montrer que la probabilité qu'une pomme soit vendue au marché est de 68\,\%.
		\item Le résultat obtenu au \textbf{b.} est-il cohérent avec celui obtenu à la question \textbf{1.} de la partie~A ?
	\end{enumerate}
\item  Un client vient d'acheter une pomme sur le marché. Calculer la probabilité que cette pomme soit rouge.\index{probabilité conditionnelle} 

Arrondir le résultat au millième.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}  

\bigskip

En 2010, le maire d'une ville a fait comptabiliser le nombre de mégots ramassés dans la rue principale.

Sur l'ensemble de l'année, le nombre de mégots ramassés est de \np{20000}.

Souhaitant que ce nombre diminue fortement, le maire fait voter en conseil municipal une loi
instaurant une amende de $160$~\euro{} pour jet de mégot par terre.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Des statisticiens ont prévu, sur une période de $10$ ans, une diminution grâce à cette amende du nombre de mégots jetés par terre de $15$\,\% par an.

Sous cette hypothèse, pour tout entier naturel $n$, on appelle $u_n$ le nombre de mégots jetés par terre en l'année $2010 + n$.

Ainsi, $u_0$ est le nombre de mégots jetés par terre en 2010. On a $u_0 = \np{20000}$.\index{suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier par le calcul que $u_1 = \np{17000}$. 

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Justifier.\index{suite géométrique}
		\item Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Calculer le nombre de mégots qui, selon ce modèle, seraient jetés par terre en 2019.
		
 Arrondir le résultat à l'unité.
	\end{enumerate}
\item  Le programme ci-dessous calcule le rang de la première année au cours de laquelle le nombre de mégots jetés par terre devient inférieur à \np{3000}.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.45\linewidth}{|m{4cm}X|}\hline
$N \gets 0$&ligne 1\\
$U \gets \np{20000}$&ligne 2\\
Tant que $U \geqslant \np{3000}$&ligne 3\\
\quad $U \gets  \ldots$&ligne 4\\
\quad $N \gets N + 1$&ligne 5\\
Fin du Tant que&ligne 6\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter la ligne 4.\index{algorithme}
		\item Quelle est la valeur de la variable $N$ lorsque ce programme s'arrête ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne les nombres de mégots qui ont réellement été ramassés dans la rue
principale entre 2010 et 2018.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 			&2010 	&2011 		&2012 	&2013 	&2014 	&2015 	&2016 	&2017 	&2018\\ \hline
Rang $x_i$ 		&0 		&1 			&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8\\ \hline
Nombre de mégots
 ramassés $y_i$	&\np{20000} &\np{17384}&\np{14817}&\np{12569}&\np{10 721}&\np{9142}&\np{8458}&\np{7673} &\np{6691}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le taux d'évolution global du nombre de mégots ramassés dans la rue principale entre 2010 et 2018. Exprimer le résultat en pourcentage arrondi à l'entier le plus proche.\index{taux}
		\item Calculer le taux d'évolution moyen du nombre de mégots ramassés dans la rue principale entre 2010 et 2018. Exprimer le résultat en pourcentage arrondi à l'entier le plus proche.\index{taux moyen}
		\item En supposant que le taux d'évolution entre 2018 et 2019 est de $- 14$\,\%, quel serait le nombre de mégots ramassés dans la rue principale en 2019 ? Arrondir le résultat à l'unité.
	\end{enumerate}
\item Le nuage de points $\left(x_i~;~y_i\right)$ a été représenté en \textbf{annexe 2 à rendre avec la copie}.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement de ce nuage par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à l'entier.\index{droite d'ajustement}
		\item On prend désormais comme droite d'ajustement la droite $d$ d'équation:
$y = - \np{1600}x + \np{18500}$.

Tracer cette droite sur l'\textbf{annexe 2 à rendre avec la copie}.
		\item En supposant que cet ajustement demeure valable jusqu'en 2020, estimer quel serait le
nombre de mégots ramassés en 2020.
		\item À l'aide du graphique, déterminer à partir de quelle année le nombre de mégots devrait être inférieur à \np{3000}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}  

\bigskip

Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur [0~;~22] par :

\[f(x) = 0,05x^2 - 2x + 20,35\quad  \text{et}\quad  g(x) =  0,7x + 3,9.\]

Les deux fonctions sont représentées ci-dessous.\index{fonction polynôme}

\begin{figure}
\begin{center}
\psset{xunit=0.54cm,yunit=0.27cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(23,22)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.06pt](0,0)(23,22)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(23,22)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{22}{x dup mul 0.05 mul 2 x mul sub 20.35 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{22}{0.7 x mul 3.9 add}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure}

\medskip

\textbf{Partie A : lectures graphiques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner l'image de 3 par la fonction $f$.\index{lecture graphique}
\item À l'aide du graphique, donner une valeur approchée des coordonnées du point d'intersection des deux courbes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : calculs}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = g(x)$ est équivalente à l'équation suivante 
		
		\[(E) :\qquad  0,05x^2 - 2,7x + 16,45 = 0.\]
		
		\item Résoudre l'équation $(E)$.
		\item En déduire les coordonnées du point d'intersection des deux courbes sur l'intervalle [0~;~22].
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie par $f'(x) = 0,1x - 2$ pour tout $x$ appartenant à [0~;~22].\index{dérivée}
		\item Étudier le signe de la dérivée $f'$ sur l'intervalle [0~;~22].
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~22].\index{variations d'une fonction}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}  

\bigskip

\emph{Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM).\index{QCM}\\
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est attendue.\\
Une réponse juste rapporte $1$ point; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni
n'enlève de point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $7$.\index{suite arithmétique}

Le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n$ dépasse $50$ est  :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}2 &\textbf{b.~~}5 &\textbf{c.~~}6 &\textbf{d.~~}7
\end{tabularx}
\end{center}

\item  On considère la fonction $g$ définie sur [0~;~10] par $g(x) = \dfrac{3x}{x+1}$.

Une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d'abscisse 1 est:\index{equation de la tangente@équation de la tangente}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}$y = 3x$ &\textbf{b.~~} $y = 3x - \dfrac{3}{2}$&\textbf{c.~~} $y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{4}$&\textbf{d.~~} $y = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{9}{4}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Afin d'estimer la proportion d'adolescents français qui possèdent un smartphone, on interroge les \np{1024} élèves d'un lycée. $840$ élèves répondent qu'ils possèdent un smartphone.

Un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\,\% de la proportion d'adolescents français
qui possèdent un smartphone est:\index{intervalle de confiance}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}[0,820~;~0,822] &\textbf{b.~~} [0,789~;~0,852] &\textbf{c.~~} [0,819~;~0,821] &\textbf{d.~~} [0,919~;~0,981]
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Pendant une période de soldes, le prix d'une tablette a subi deux démarques successives:
une première baisse de 10\,\% puis une autre de 15\,\% pour afficher un prix final de 137,70~\euro.\index{pourcentage}
Le prix de cette tablette, en euros, avant le début des soldes était de :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} $105$ &\textbf{b.~~} $142$ &\textbf{c.~~} $174$ &\textbf{d.~~} $180$
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXES À RENDRE AVEC LA COPIE}

\medskip

\textbf{ANNEXE 1 Exercice 1}

\bigskip

\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=1.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$R$~~} \taput{\ldots}}
	{\TR{$M$}\taput{\ldots}
	\TR{$C$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$J$~~} \taput{\ldots}}
	{\TR{$M$}\taput{\ldots}
	\TR{$C$} \tbput{\ldots}
	}	
}

\vspace{2cm}
\textbf{ANNEXE 2 Exercice 2}

\bigskip

\psset{xunit=1cm,yunit=0.0005cm}
\begin{pspicture}(-1,-1000)(10.5,24000)
\multido{\n=0.0000+0.3333}{32}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,23000)}
\multido{\n=0+1000}{24}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](0,\n)(10.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2000]{->}(0,0)(0,0)(10.5,23000)
\uput[r](0,23500){Nombre de mégots}\uput[d](9.25,-800){Rang de l'année}
\uput[d](10.5,-300){$x$} \uput[l](0,23000){$y$}
\psdots[dotstyle=+,linecolor=red,dotscale=2](0,20000)(1,17384)(2,14817)(3,12569)(4,10721)(5,9142)(6,8458)(7,7673)(8,6691)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}