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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sciences et technologies du management et de la gestion}  
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{17 avril 2015}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG  Pondichéry 17 avril 2015~\decofourright}}

\medskip \textbf{Durée : 3 heures}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul, donne le revenu disponible brut (RDB)
des ménages et l'évolution de leur pouvoir d'achat en France de 2010 à 2013.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.25cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A							&B		&C		&D		&E\\ \hline
1	& Année 					&2010	&2011	&2012	&2013\\ \hline
2	& Rang de l'année : $x_i$	& 1		&2		&3		&4\\ \hline
3	& RDB en milliards d'euros : $y_i$&\np{1285,40}&\np{1311,40}&\np{1318,10}& \np{1326,30}\\ \hline
4	&Taux d'évolution du RDB, en \%, arrondi à 0,01\,\%&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad} 	&2,02 	&0,51	&\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\footnotesize \emph{Source: INSEE}}\\
\end{tabularx}
\end{center}

Les points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ sont représentés dans le graphique de \textbf{l'annexe à rendre avec la copie}.

\medskip

\textbf{Partie A : taux d'évolution}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La cellule E4 est au format pourcentage. Quelle formule faut-il entrer dans E4 pour calculer le taux d'évolution du RDB en pourcentage de 2012 à 2013 ?\index{taux}
		\item Calculer le taux d'évolution du RDB en pourcentage de 2012 à 2013.
		
\emph{On arrondira le résultat à } 0,01\,\%.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le taux annuel moyen d'évolution du RDB entre 2010 et 2013, arrondi à
0,01\,\%, est égal à 1,05\,\%.
		\item On suppose que le taux d'évolution du RDB de 2013 à 2014 est égal à 1,05\,\%.

Calculer le RDB pour l'année 2014. \emph{On arrondira le résultat au centième}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : ajustement affine}\index{ajustement affine}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite $\mathcal{D}$ qui réalise un ajustement affine du nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ par la méthode des moindres carrés.
\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ dans le repère donné en \textbf{annexe à rendre avec la copie}.
\item Quel RDB ce modèle d'ajustement a-t-il permis de prévoir en 2014 ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : comparaison des deux prévisions}

\medskip

Une étude statistique suggère que le RDB des ménages en 2014 aurait été de \np{1340}~milliards
d'euros. Si on autorise une marge d'erreur de 1\,\%, les prévisions pour le RDB en 2014
obtenues en \textbf{partie A - 2. b.} et en \textbf{partie B - 3.} sont-elles acceptables ?\hyperlink{Index}{*}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Deux coureurs cyclistes, Ugo et Vivien, ont programmé un entraînement hebdomadaire afin
de se préparer à une course qui aura lieu dans quelques mois. Leur objectif est de parcourir
chacun une distance totale de \np{1500}~km pendant leur période d'entraînement de 20~semaines.

Ugo commence son entraînement en parcourant 40~km la première semaine et prévoit
d'augmenter cette distance de 5~km par semaine.

Vivien commence son entraînement en parcourant 30~km la première semaine et prévoit
d'augmenter cette distance de 10\,\% par semaine.

On note $u_n$ la distance, en kilomètres, parcourue par Ugo la $n$-ième semaine.

On note $v_n$ la distance, en kilomètres, parcourue par Vivien la $n$-ième semaine.

On a ainsi $u_1 = 40$ et $v_1 = 30$.\index{suite} 

Dans cet exercice, on étudie les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.

\bigskip

\textbf{Partie A : l'entraînement d'Ugo}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances parcourues par Ugo au cours des deuxième et troisième semaines
d'entraînement.
\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser sa raison.
\item Recopier l'algorithme ci-dessous et en compléter les lignes (1) et (2) de façon à ce qu'il
affiche en sortie la distance parcourue par Ugo lors de la $n$-ième semaine d'entraînement.\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X}
\textbf{Variables :}	& $u$ est un réel\\
						&$i$ et $n$ sont des entiers naturels\\
\textbf{Entrée :}		& Saisir $n$\\
\textbf{Initialisation :}& $u$ prend la valeur \ldots\ldots (1)\\
Traitement :			& Pour $i$ allant de 1 à $n$\\
						&\hspace{0.5cm}$u$ prend la valeur \ldots\ldots (2)\\
						&Fin Pour\\
\textbf{Sortie :}		&Afficher $u$\\
\end{tabularx}
\end{center}

\item Montrer que, pour tout $n \geqslant 1,\: u_n = 35 + 5n$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : l'entraînement de Vivien}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de la suite $\left(v_n\right)$ ? Justifier la réponse.
\item Montrer que, pour tout $n \geqslant 1,\: v_n = 30 \times 1,1^{n-1}$.
\item Calculer $v_8$. On arrondira le résultat au dixième.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : comparaison des deux entraînements}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vivien est persuadé qu'il y aura une semaine où il parcourra une distance supérieure à celle parcourue par Ugo. Vivien a-t-il raison ?

On pourra utiliser les \textbf{parties A et B} pour justifier la réponse.
\item À la fin de la 17\up{e} semaine, les deux cyclistes se blessent. Ils décident alors de réduire leur entraînement. Ils ne feront plus que 80~km chacun par semaine à partir de la 18\up{e} semaine.

Leur objectif sera-t-il atteint ? Justifier.\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

On s'intéresse à la trajectoire d'un ballon de basketball lancé par un joueur faisant face au
panneau. Cette trajectoire est modélisée dans le repère de \textbf{l'annexe à rendre avec la copie}.

Dans ce repère, l'axe des abscisses correspond à la droite passant par les pieds du joueur et la
base du panneau, l'unité sur les deux axes est le mètre. On suppose que la position initiale du
ballon se trouve au point J et que la position du panier se trouve au point P.

La trajectoire du ballon est assimilée à la courbe $\mathcal{C}$ représentant une fonction $f$.

Les coordonnées du ballon sont donc $(x~;~f(x))$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude graphique}

En exploitant la figure de \textbf{l'annexe à rendre avec la copie}, répondre aux questions
suivantes :\index{représentation graphique}
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la hauteur du ballon lorsque $x = 0,5$ m ?
		\item Le ballon atteint-il la hauteur de $5,5$ m ?
	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude de la fonction } \boldmath $f$\unboldmath

La fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~6] par 
	
\[f(x) = - 0,4x^2 + 2,2x + 2.\index{fonction polynôme}\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ où $f'$ est la dérivée de la fonction $f$.\index{dérivée}
		\item Etudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [0~;~6].
		\item Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon lors de ce lancer ?
	\end{enumerate}
\item \textbf{Modification du lancer}
	
En réalité, le panneau, représenté par le segment [AB] dans la \textbf{figure de l'annexe à rendre avec la copie}, se trouve à une distance de 5,3~m du joueur. Le point A est à une hauteur
de 2,9~m et le point B est à une hauteur de 3,5~m.
	
Le joueur décide de modifier son lancer pour tenter de faire rebondir le ballon sur le
panneau. Il effectue alors deux lancers successifs.
	
Dans le premier lancer, la trajectoire du ballon est modélisée par la fonction $g$ définie sur
l'intervalle [0~;~6] par $g(x) = - 0,2x^2 + 1,2x + 2$.
	
Dans le second lancer, la trajectoire du ballon est modélisée par la fonction $h$ définie sur
l'intervalle [0~;~6] par $h(x) = - 0,3x2 + 1,8x + 2$.
	
Pour chacun de ces deux lancers, déterminer si le ballon rebondit ou non sur le panneau.\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM)}.\index{Q. C. M.}

\emph{Pour chacune des quatre questions, \textbf{une seule des quatre réponses proposées est correcte.}}

\emph{Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}

\medskip

Une urne contient 15 jetons rouges et 5 jetons bleus. 20\,\% des jetons rouges sont gagnants et
40\,\% des jetons bleus sont gagnants. Un joueur tire au hasard un jeton de l'urne. On note :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $R$ l'évènement : \og Le jeton est rouge \fg.
\item[$\bullet~~$] $B$ l'évènement : \og Le jeton est bleu \fg.
\item[$\bullet~~$] $G$ l'évènement : \og Le jeton est gagnant \fg.
\end{itemize}

\medskip

La situation peut être modélisée par l'arbre de probabilité ci-dessous:\index{arbre}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$R$~}\taput{0,75}}
	{\TR{$G$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{G}$}\tbput{0,8}
	}
\pstree{\TR{$B$~}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$G$}\taput{0,4}
	\TR{$\overline{G}$}\tbput{\ldots}
	}	
}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité que le jeton soit bleu est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}}
0,75 & 0,25 & 0,4 &0,6
\end{tabularx}
\medskip

\item $p(R \cap G) = $

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}}
0,05&0,45&0,15&0,95
\end{tabularx}
\medskip
\item La probabilité que le jeton soit gagnant est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}}
0,2&0,6&0,25&0,75
\end{tabularx}
\medskip

\item Une machine fabrique plusieurs milliers de ces jetons par jour. On désigne par $X$ la
variable aléatoire qui, à chaque jeton, associe son diamètre en millimètres.

On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $20$ et d'écart-type $0,015$. Les jetons sont
acceptables si leurs diamètres appartiennent à l'intervalle [19,98~;~20,02].\index{loi normale}

La probabilité qu'un jeton pris au hasard dans la production soit acceptable, arrondie à
$10^{-3}$, est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}}
0,818&$4,84 \times 10^{-4}$& 0,182 &0
\end{tabularx}\hyperlink{Index}{*}
\medskip

\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1.5cm}

\textbf{EXERCICE 1}

\vspace{0.8cm}

\psset{xunit=2cm,yunit=0.08cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-5)(5.2,80)
\multido{\n=0+1}{6}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,80)}
\multido{\n=0+10}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(5.2,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=1270,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(5.2,80)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.25](1,15.4)(2,41.4)(3,48.1)(4,56.3)
\end{pspicture}

\vspace{3cm}

\textbf{EXERCICE 3}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.5)(7,5.2)
\multido{\n=0.0+0.5}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed](\n,0)(\n,5.2)}
\multido{\n=0+1}{6}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed](0,\n)(7,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5](0,0)(0,0)(7,5.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{2.2 x mul 2 add x dup mul 0.4 mul sub}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.25](0,2)(5,3)(5.3,2.9)(5.3,3.5)
\uput[dr](0,2){J}\uput[dl](5,3){P}\uput[r](5.3,2.9){A}\uput[r](5.3,3.5){B}
\uput[u](2.75,5){$\mathcal{C}$}
\uput[u](6,0){Distance en mètres}\uput[r](0,5.2){Hauteur en mètres}
\psline(5.3,2.9)(5.3,3.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}