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%tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Centres étrangers }}
\rfoot{\small{11 juin 2018}}
\label{Etranger}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG  Centres étrangers 11 juin 2018~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} 

\medskip

À l'issue de la célébration du 500\up{e} anniversaire de sa ville, le directeur de l'office du tourisme a
commandé une enquête visant à estimer les retombées économiques de cette manifestation. Cette
enquête a été réalisée auprès de personnes s'y étant rendues. Il en ressort que:

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 15\,\% des personnes interrogées ont entre 18 et 25 ans ;
\item[$\bullet~~$] 40\,\% des personnes interrogées ont entre 26 et 45 ans ;
\item[$\bullet~~$] 45\,\% des personnes interrogées ont 46 ans ou plus.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Il a été demandé aux personnes interrogées si elles s'étaient rendues au restaurant lors de cette
manifestation. Les réponses sont synthétisées ci-dessous :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] parmi les 18-25 ans, 28\,\% se sont rendus au restaurant;
\item[$\bullet~~$] parmi les 26-45 ans, 42\,\% se sont rendus au restaurant;
\item[$\bullet~~$] parmi les personnes de 46 ans ou plus, 63\,\% se sont rendues au restaurant.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Ce questionnaire a permis de remplir une fiche par personne interrogée, précisant son âge et indiquant si elle s'est rendue ou non au restaurant.

On choisit de façon équiprobable l'une de ces fiches.

On définit les évènements suivants:

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] $E$ : \og la fiche est celle d'une personne ayant entre 18 et 25 ans \fg
\item[ ] $F$ : \og la fiche est celle d'une personne ayant entre 26 et 45 ans \fg
\item[ ] $G$ : \og la fiche est celle d'une personne ayant plus de 46 ans \fg
\item[ ] $R$ : \og la fiche est celle d'une personne s'étant rendue au restaurant \fg
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre pondéré donné \textbf{en annexe, à rendre avec la copie}.
\item Définir par une phrase l'évènement $F \cap R$. Calculer sa probabilité.
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $R$ est égale à \np{0,4935}.
\item Sachant que la fiche choisie est celle d'une personne s'étant rendue au restaurant lors des festivités
de 2017, calculer la probabilité que ce soit celle d'une personne ayant plus de $46$~ans.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} 

\medskip

Une entreprise de blanchisserie propose à ses clients d'utiliser sur place ses machines à laver. Conscient
des enjeux environnementaux, le gérant s'interroge sur la consommation en eau, par cycle de lavage,
de ses machines. Il fait réaliser une étude par une société de conseil spécialisée dans l'accompagnement
vers la transition énergétique.

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Cette étude permet de modéliser la consommation en eau, exprimée en litre, par une variable
aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $90$ et d'écart type $5$.

Le graphique figurant en annexe, à rendre avec la copie, représente la courbe de densité de
la variable aléatoire $X$.

Hachurer sur ce graphique le domaine correspondant à l'évènement $\{X > 80\}$ et donner la valeur
de sa probabilité.
\item  La société de conseil suggère au gérant de remplacer ses machines par de nouvelles, moins
énergivores et mieux éco-conçues. Leur consommation en eau, exprimée en litre, est modélisée
par une variable aléatoire $Y$ suivant la loi normale d'espérance $45$ et d'écart type $2$.

Un graphique en annexe représente la courbe de densité de la variable aléatoire $Y$.

Interpréter, dans le contexte de l'exercice, l'aire du domaine hachuré et donner sa valeur.
\item  La société de conseil affirme au gérant que 90\,\% des clients sont sensibles aux questions environnementales.

Avant de remplacer son parc de machines, le gérant réalise un sondage auprès de $350$ clients.

Ce sondage révèle alors que, parmi eux, $290$ y sont sensibles.

Ce résultat permet-il de remettre en cause l'affirmation de la société de conseil ?

Argumenter la réponse à l'aide d'un intervalle de fluctuation.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points} 

\medskip

Julien vient de créer une application informatique destinée aux particuliers et permettant l'organisation
d'évènements. Le 1\up{er} avril 2018, il envoie une offre de téléchargement de son application à toutes
les personnes de son carnet d'adresses.

Chaque semaine, il a relevé le nombre de personnes ayant téléchargé son application. Ses observations
sur les cinq premières semaines sont répertoriées dans le tableau ci-dessous. Le rang 0 correspond à
la semaine du 1\up{er} au 7 avril 2018.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c| *{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$ : rang de la semaine& 0 &1 &2 &3 &4\\ \hline
$y_i$ : nombre de téléchargements &150 &180 &210 &260 &296\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Les parties A et B sont indépendantes.

\bigskip

\textbf{Partie A : étude d'un premier modèle}

\medskip

Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est donnée en \textbf{annexe}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer l'équation réduite de la droite d'ajustement de $y$ en $x$
obtenue par la méthode des moindres carrés. On donnera les valeurs exactes des deux coefficients.
\item Julien décide d'ajuster ce nuage par la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 37x + 145$.

Déterminer les coordonnées de deux points de la droite $\mathcal{D}$.

Représenter la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique de l'\textbf{annexe, à rendre avec la copie}.
\item  Selon ce modèle, quel est le nombre de téléchargements attendus à la fin de la semaine de rang $10$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude d'un second modèle}

\medskip

En réalité, le nombre de téléchargements effectués jusqu’à la fin de la semaine de rang $10$ est donné par le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c| *{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
$x_i$ : rang de la semaine &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline
$y_i$ : nombre de téléchargements &150 &180 &210 &260 &296 &370 &457 &572 &698 &883 &1095\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que le taux d'évolution global du nombre de téléchargements entre la semaine de rang 4 et la semaine de rang $10$ est de $270$\,\%.
\item  En déduire le taux d'évolution hebdomadaire moyen du nombre de téléchargements entre la semaine de rang $4$ et la semaine de rang $10$.

On fait l'hypothèse qu’à partir de la semaine de rang $10$, le taux d'évolution hebdomadaire du nombre
de téléchargements est constant et égal à $24$\,\%.

Le nombre de téléchargements hebdomadaires au cours de la semaine de rang $(10 + n)$ est alors
modélisé par le terme $u_n$ d'une suite de premier terme $u_0 = \np{1095}$.
\item  Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique et préciser sa raison.
\item  Exprimer $u_n$ en fonction de l'entier naturel $n$.
\item  Selon ce modèle, combien de téléchargements Julien peut-il espérer lors de la semaine de rang $20$ ?
\item  Un sponsor a contacté Julien, lui proposant une participation financière pour promouvoir son
projet à plus grande échelle, dès lors que le nombre de téléchargements hebdomadaires dépassera
\np{20000}.

Compléter les deux lignes non renseignées dans l'algorithme donné en annexe, à rendre avec la
copie, pour qu'après exécution, la variable $N$ contienne le rang de la semaine à partir de laquelle
Julien sera sponsorisé.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} 

\medskip

Une entreprise est spécialisée dans le recyclage de bouteilles d'eau en plastique.

Elle peut produire chaque jour entre $0$ et $10$ tonnes de plastique qu'elle revend en totalité au prix
unitaire de $700$~\euro{} la tonne.

On rappelle que le coût moyen correspondant à la production de $x$ tonnes de plastique est défini par
$C_M(x) = \dfrac{C_T (x)}{x}$, où $C_T(x)$ est le coût total pour la production de $x$ tonnes de plastique.

Le coût marginal, noté $C_m$, est le coût induit par la production d'une tonne de plastique supplémentaire
lorsqu'on a déjà produit $x$ tonnes de plastique.

\smallskip

Les parties A et B sont indépendantes.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Sur l'annexe sont tracées les courbes représentant les coûts moyen et marginal (en euro) en fonction
de la quantité de plastique produite (en tonne) ainsi que la droite représentant le prix de vente
unitaire.

On admet que le coût moyen est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement la quantité de plastique que doit produire l'entreprise pour que le coût
moyen soit minimal.
\item  Déterminer graphiquement ce coût moyen minimal et en déduire le coût total correspondant.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On dit qu'il y a profit lorsque le prix de vente unitaire est strictement supérieur au coût moyen.

On admet que le profit de l'entreprise est maximal lorsque le coût marginal est égal au prix de vente
unitaire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour quelles quantités de plastique produites, l'entreprise réalise-t-elle un profit ? Le résultat
sera donné sous la forme d'un intervalle.
\item  Déterminer graphiquement la quantité de plastique que doit produire l'entreprise pour que le
profit soit maximal.
\item  Quel est le coût moyen correspondant à cette production ?
\item  En déduire le coût total correspondant.
\item  Calculer le profit total maximal.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Exercice 1}
%,levelsep=35mm,treesep=10mm
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt}
\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
  \pstree{\TR{$E$~}\taput{$0,15$}}
     {
     \TR{$R$} \taput{\ldots}
     \TR{$\overline{R}$} \tbput{\ldots}
     }
  \pstree{\TR{$F$~}\taput{\ldots}}
     {
     \TR{$F$} \taput{$0,3$}
     \TR{$\overline{F}$} \tbput{\ldots}
     }
  \pstree{\TR{$G$~} \tbput{\ldots}}
     {
     \TR{$F$} \taput{\ldots}
     \TR{$\overline{F}$} \tbput{\ldots}
     }
}
\end{center}

\textbf{Exercice 2}

\textbf{Question 1.}

\medskip
\psset{unit=0.2cm,yunit=28cm,comma=true}
\begin{center}
\begin{pspicture}(55,0.12)
\multido{\n=0+5}{12}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,0.12)}
\multido{\n=0.00+0.02}{7}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(55,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=60,Dx=5,Dy=0.02,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(55,0.12)
\psGauss[sigma=5,mue=30,linecolor=blue]{0}{55}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{Question 2.}

\psset{unit=0.5cm,yunit=24cm,comma=true}
\begin{center}
\begin{pspicture}(21,0.25)
\multido{\n=0+1}{22}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,0.25)}
\multido{\n=0.00+0.05}{5}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(21,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=35,Dx=1,Dy=0.05,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(21,0.25)
\psGauss[sigma=2,mue=10,linecolor=blue]{0}{21}
\pscustom[fillstyle=vlines]{\psGauss[sigma=2,mue=10,linecolor=blue]{6}{14}
\psline(14,0)(6,0)}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE (À rendre avec la copie)}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Exercice 3 -- Partie A, question 2}

\begin{center}
\psset{yunit=0.02cm}
\begin{pspicture}(14,500)
\multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,500)}
\multido{\n=0+10}{51}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.15pt](0,\n)(13,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50]{->}(0,0)(0,0)(14,500)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](0,150)(1,180)(2,210)(3,260)(4,296)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{Exercice 3 -- Partie B, question 6}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
$N \gets 0$\\
$U \gets \np{1095}$\\
Tant que \ldots \ldots\\
\hspace{1cm}$U \gets 1,24 \times U$\\
\hspace{1cm}\ldots \ldots\\
Fin Tant que\\
$N \gets 10 + N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE (À rendre avec la copie)}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.003cm}
\begin{pspicture}(-0.8,-100)(14.5,4500)
\multido{\n=0+1}{15}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,4500)}
\multido{\n=0+100}{46}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(14.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=500]{->}(0,0)(0,0)(14.5,4500)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.1}{10}{x dup mul 160 mul 3 div x 860 mul 3 div sub 500 add x div 3 mul 400 add}
\pscurve[linewidth=1.25pt](0.2,4500)(0.4,2500)(1,1150)(2,700)(3,515)(4,430)(5,400)(6,430)(7,500)(8,600)(9,710)(10,860)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x dup mul 160 mul 3 div x 860 mul 3 div sub 500 add}
\psline(0,700)(10,700) \uput[r](10,700){Prix de vente unitaire}
\uput[r](10,2600){\blue Coût marginal $\left(C_m\right)$}
\rput(2.2,1750){Coût moyen $\left(C_M\right)$}
\uput[u](13,0){Quantité (en tonne)}
\uput[l](0,4350){Montant} \uput[l](0,4200){(en euro)}
\end{pspicture}

\end{center}
\end{document}