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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{18 juin 2019}}
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\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat STMG Métropole-La Réunion~\decofourright\\[5pt] 18 juin 2019 }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (4 points)}  

\vspace{0.5cm}


L'office de tourisme d'une ville souhaite fidéliser ses touristes. Pour cela, il organise une loterie dont
les lots sont de plusieurs types : porte-clefs aux couleurs de la ville, tee-shirt de l'office du tourisme,
stylo, panier de produits locaux, bon de réduction de 150~\euro{} sur un prochain séjour en ville.

Cette loterie se pratique sur une borne tactile et se déroule en deux étapes.

À  chaque étape il s'agit de choisir une case parmi les dix qui s'affichent sur l'écran de la borne.

\textbf{Première étape :}

Le touriste a sept chances sur dix de gagner un porte-clefs aux couleurs de la ville et trois chances
sur dix de gagner un tee-shirt de l'office du tourisme.

\textbf{Seconde étape :}

\begin{itemize}
\item Si le touriste a gagné un porte-clefs, il a huit chances sur dix de gagner un stylo aux couleurs
de la ville et deux chances sur dix de gagner un panier de produits locaux ;
\item si le touriste a gagné un tee-shirt de l'office du tourisme, il a neuf chances sur dix de gagner un panier de produits locaux et une chance sur dix de gagner un bon de réduction de 150~\euro{} sur
un prochain séjour en ville.
\end{itemize}

On définit les événements suivants :

\begin{itemize}
\item []$P$ : \og le premier lot est un porte-clefs \fg{} et $T$ : \og le premier lot est un tee-shirt \fg{};
\item []$S$ : \og le second lot est un stylo \fg{};
\item []$L$ : \og le second lot est un panier de produit locaux \fg{};
\item []$B$ : \og le second lot est un bon de réduction de 150 euros sur un prochain séjour en ville\fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre pondéré donné en \textbf{annexe, à rendre avec la copie}.\index{arbre pondéré}
\item Calculer la probabilité que le touriste gagne un bon de réduction de 150 euros sur un prochain séjour en ville.\index{probabilité} 
\item Calculer la probabilité que le touriste gagne un panier de produits locaux.
\item Sachant qu'un touriste a gagné un panier de produits locaux à la seconde étape de la loterie, calculer la probabilité qu'il ait gagné un tee-shirt lors de la première étape.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

On s'intéresse au recyclage des emballages ménagers en plastique issus de la collecte sélective (EMPCS).

Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la masse d'EMPCS recyclés entre 2011 et 2016. Cette masse
est exprimée en millier de tonnes et arrondie au millier de tonnes.

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabular}[]{|m{4cm}|*{6}{c|}}
\hline
Année& 2011& 2012& 2013 &2014& 2015& 2016\\\hline
Masse d'EMPCS recyclés& 229 &243 &250& 256& 266& 282\\\hline
\multicolumn{7}{r}{\footnotesize \emph{Source : http ://www.statistiques.developpement-durable.gouv.fr, consulté le 21/01/2019}}
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que le taux d'évolution global de la masse d'EMPCS recyclés entre 2011 et 2016, exprimé en pourcentage et arrondi à l'unité, est de 23\,\%.\index{pourcentage}
\item En déduire le taux d'évolution annuel moyen de la masse d'EMPCS recyclés entre 2011 et 2016.\index{taux moyen}
\end{enumerate}

On fait l'hypothèse qu'à partir de 2016, le taux d'évolution annuel de la masse d'EMPCS recyclés
est constant et égal à 4,2\,\%.

La masse d'EMPCS recyclés au cours de l'année $(2016 + n)$, exprimée en millier de tonnes, est modélisée par le terme de rang $n$ d'une suite $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0 = 282$.\index{suite}

\begin{enumerate}[resume]
\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique. Préciser sa raison.\index{suite géométrique}
\item Exprimer $u_n$ en fonction de l'entier $n$.
\item En déduire une estimation de la masse d'EMPCS recyclés en 2019.
\item On souhaite calculer le rang de l'année à partir de laquelle la masse d'EMPCS recyclés aura doublé par rapport à l'année 2016.

Compléter l'algorithme \textbf{donné en annexe, à rendre avec la copie}, afin qu'après exécution, la variable $N$ contienne la valeur recherchée.\index{algorithme}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  4 points}

\medskip


Les \oe ufs de poule sont classés en quatre catégories :
\begin{itemize}
\item \og Petit\fg{}, si la masse est inférieure à \np[g]{53}  ;
\item \og Moyen\fg{}, si la masse est comprise entre \np[g]{53} et \np[g]{63} ;
\item \og Gros\fg{}, si la masse est comprise entre \np[g]{63} et \np[g]{73}  ;
\item \og Très gros\fg{}, si la masse est supérieure à \np[g]{73}.
\end{itemize}

On admet que la masse d'un \oe uf de poule peut-être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant une
loi normale d'espérance \np[g]{60}. On donne ci-dessous la courbe de densité associée à cette loi, sur laquelle
on a indiqué les probabilités $P(X \leqslant 53) = 0,16$, $P(60 \leqslant X \leqslant 63) = 0,17$ et $P(63 \leqslant X \leqslant 73) = 0,3$.\index{loi normale}

\begin{center}
\psset{xunit=0.18cm,yunit=80cm,arrowsize=5pt,comma=true,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(30,-0.01)(100,0.105) 
\multido{\n=30+5}{14}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,0.105)}
\multido{\n=0+0.01}{11}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](30,\n)(98,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Ox=30,Dx=5,Dy=0.01,]{->}(30,0)(98,0.105)
\psGauss[linecolor=blue,linewidth=1pt,mue=60,sigma=7]{30}{95}
 \pscustom[fillstyle=hlines,hatchcolor=green,linecolor=green]
    {
    \psGauss[linecolor=blue,linewidth=1pt,mue=60,sigma=7]{35}{53}
    \lineto(53,0)
    \closepath % indispensable !
  }
 \pscustom[fillstyle=crosshatch,hatchcolor=aliceblue,linecolor=aliceblue]
    {
    \psGauss[linecolor=aliceblue,linewidth=1pt,mue=60,sigma=7]{60}{63}
    \lineto(63,0)\lineto(60,0)
    \closepath % indispensable !
  }
 \pscustom[fillstyle=solid,linecolor=gray,fillcolor=gray]
    {
    \psGauss[linecolor=lightgray,linewidth=1pt,mue=60,sigma=7]{63}{73}
    \lineto(73,0)\lineto(63,0)
    \closepath % indispensable !
  }
\psline[linewidth=0.3pt]{->}(42,0.017)(50,0.013)
\psline[linewidth=0.3pt]{<-}(62,0.053)(66,0.061)
\psline[linewidth=0.3pt]{<-}(68,0.019)(72,0.027)
\uput[u](40,0.018){\footnotesize $P(X\leqslant 53)=\np{0.16}$}
\uput[u](66,0.06){\footnotesize $P(60\leqslant X\leqslant 63)=\np{0.17}$}
\uput[ur](72,0.025){\footnotesize $P(63\leqslant X\leqslant 73)=\np{0.3}$}

\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un \oe uf ne soit pas classé dans la catégorie\og Petit\fg{}.
\item Justifier que la probabilité $P(53 \leqslant X \leqslant 60)$ est égale à 0,34.
\item En déduire la probabilité qu'un \oe uf soit classé dans la catégorie \og Moyen\fg{}.
\item Calculer la probabilité qu'un \oe uf soit classé dans la catégorie \og Très gros\fg{}.\index{probabilité}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  7 points}

\medskip

D'après une étude de la Fédération E-commerce et Vente À Distance (FEVAD), le secteur du commerce en ligne (e-commerce) est en pleine croissance, notamment grâce à la percée des ventes sur
terminaux mobiles, tablettes ou smartphones (m-commerce).

\medskip

\textbf{Partie A : étude du chiffre d'affaires du e-commerce}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne le chiffre d'affaires du e-commerce entre 2011 et 2017. Il s'exprime en milliard d'euros et est arrondi au dixième.

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabular}[]{|m{5.2cm}|*{7}{c|}}
\hline
Année							&2011	&2012	&2013	&2014 	&2015	&2016	&2017\\\hline
Rang de l'année : 	$x_i$		& 1		& 2		& 3 	&4 		&5		& 6 	&7\\\hline
Chiffre d'affaires du e-commerce
 (en milliard d'euros) : $y_i$	&36,5	& 43,6	& 49,5	& 55,0	& 62,9 	&71,5	& 81,7\\\hline
\multicolumn{7}{r}{\footnotesize \emph{Source : FEVAD, les chiffres clés 2018}}
\end{tabular}
\end{center}
\smallskip

Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $\left(x_i ; y_i\right)$ est donnée en annexe, à rendre avec la copie.\index{droite d'ajustement}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner l'équation réduite de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.
\item On décide d'ajuster le nuage de points par la droite $D$ d'équation $y = 7,3x + 28$.
Tracer la droite $D $ sur le graphique donné en \textbf{annexe, à rendre avec la copie}.
\item D'après ce modèle, que l'on admet valide jusqu'en 2030, quel chiffre d'affaires du e-commerce peut-on prévoir en France pour l'année 2026 ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude du chiffre d'affaires du m-commerce}

\medskip

Le m-commerce regroupe l'ensemble des transactions commerciales réalisées sur terminaux mobiles
(tablettes ou smartphones).

On se propose d'étudier l'évolution de la part du chiffre d'affaires du m-commerce dans celui du
e-commerce à partir de l'année 2011.

Le tableau suivant est extrait d'une feuille automatisée de calcul.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|m{6.1cm}|*{7}{c|}}
\hline
&\centering A& B& C &D& E &F& G& H\\\hline
1& Année& 2011 &2012 &2013 &2014& 2015& 2016 &2017\\\hline
2& Chiffre d'affaires du e-commerce
(en milliard d'euros)&36,5& 43,6 &49,5& 55,0& 62,9& 71,5 &81,7\\\hline
3&Chiffre d'affaires du m-commerce
(en milliard d'euros)&0,4& 1,0& 2,2& 4,5& 7,0& 11,2& 16,8\\\hline
\multicolumn{9}{r}{\footnotesize \emph{Source : FEVAD, les chiffres clés 2018}}
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Vérifier qu'en 2017 le chiffre d'affaires du m-commerce représentait environ 21\,\% du chiffre
d'affaires du e-commerce.\index{pourcentage}
\item Est-il vrai que le chiffre d'affaires du m-commerce a augmenté de 41\,\% entre 2011 et 2017 ?
\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~20] par :

\[f(x) = 0,5x^2 - 1,2x + 1, 3:\]

Pour les valeurs entières de $x$ comprises entre 1 et 20, on admet que les valeurs $f(x)$ donnent
une estimation du chiffre d'affaires du m-commerce, exprimé en milliard d'euros pour l'année
$(2010+x)$: Ainsi, $f(1)$ désigne une estimation du chiffre d'affaires en 2011, $f(2)$ désigne une estimation  du chiffre d'affaires en 2012, etc.

Un observateur économique affirme :\og En 2026, la part du chiffre d'affaires du m-commerce dans
celui du e-commerce aura dépassé 70\,\%\fg.

Cette affirmation est-elle pertinente au regard des deux modèles proposés ? Expliciter la démarche
suivie.
\end{enumerate}

\newpage 
\begin{center}
Annexe
À rendre avec la copie
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 1}

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$P$~}\taput{$\dots$}}
	{
	\TR{$S$}\taput{$\dots$}
	\TR{$L$}\tbput{$\dots$}
	}
\pstree{\TR{$T$~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$L$}\taput{$\dots$}
	\TR{$B$}\tbput{$\dots$}
	}
}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2}
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}[]{5.8cm}

$N  \longleftarrow  0$\\
$U \longleftarrow   282$\\
Tant que $U $\dotfill \\
\phantom{tant}$N \longleftarrow   N + 1$\\
\phantom{tant}$U \longleftarrow$ \dotfill \\
Fin Tant que
\end{minipage}
 }
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 4}\footnote{le dessin tient compte de la rectification}

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.03cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.05)(22,220)
\multido{\n=0+1}{21}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,200)}
\multido{\n=0+10}{21}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(20,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=20,]{->}(0,0)(20,200)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=20,](0,0)(20,200)
%\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.3,dotangle=45](3,362)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](1,36.5)(2,43.6)(3,49.5)(4,55.0)(5,62.9)(6,71.5)(7,81.7)
\uput[d](19,-10){\footnotesize rang de l'année}
\uput[u](-1.5,40){\rotatebox{90}{\footnotesize Chiffre d'affaires (en milliard d'euros}}\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}