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%tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{8 septembre 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG  Métropole 8 septembre 2016~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}  

\vspace{0.25cm}

Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$, $p(E)$ la probabilité de l'évènement $E$, et, si $F$ est un évènement de probabilité non nulle, $P_{F}(E)$ la probabilité conditionnelle de $E$ sachant $F$.

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la
réponse.}

\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée
n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\begin{enumerate}
\item  On considère l'arbre de probabilité ci-contre. 


\hspace{1.5em}
\begin{minipage}{8cm}

\textbf{Affirmation 1} : La probabilité conditionnelle
de B sachant A est égale à 0,2

\vspace{3ex}

\textbf{Affirmation 2} : La probabilité de B est égale
à 0,5.

\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~}\taput{$\np{0.65}$}}
	{
	\TR{$B$}\taput{$\dots$}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{$\np{0.8}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$~}\tbput{$\dots$}}
	{\TR{$B$}\taput{$\np{0.3}$}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{$\dots$}
	}
}
\end{center} 
\end{minipage}

\item Un institut de sondage affirme que 56\,\% des Français écoutent de la musique classique, au moins de temps en temps.
On interroge 200 Français, et parmi eux 140 déclarent écouter de la musique classique
de temps en temps.

\hspace{1.85em}\textbf{Affirmation 3} : On peut rejeter, avec un risque d'erreur inférieur à 5\,\%, le résultat
donné par l'institut de sondage.

\item La courbe de densité d'une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance
\textmu = 100 et d'écart-type $\sigma = 20$ est donnée ci-dessous. La valeur de l'aire de la surface
grisée est de 0,242.

\psset{xunit=0.055cm,yunit=200cm,arrowsize=5pt,labelFontSize=\scriptstyle, comma=true}
\begin{pspicture}(-10,-0.003)(250,0.025)
  %\rput(16,0.07){$\mathcal{N}(6;2,19)$}
  \psaxes[Dx=20,Dy=0.005]{->}(0,0)(-1,0)(220,0.023)
  \psGauss[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,mue=100,sigma=20]{0}{200}
  \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
  \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=200]{0}{86}{x 100 20 GAUSS}
\psline[linewidth=0.1pt](86,0.0156127)(86,0)
}
\psline[linewidth=0.1pt](114,0)(114,0.0156127)
\psline[linewidth=0.1pt](100,0)(100,0.0199947)
\uput[d](86,-0.0005){\footnotesize $86$}\uput[d](114,-0.0005){\footnotesize $114$}
\end{pspicture} 



\hspace{1.85em}\textbf{Affirmation 4} : La probabilité que X soit comprise entre 86 et 114 est égale à 0,758.

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}  

\vspace{0.25cm}


Les grands-parents d’Inès décident de lui ouvrir un compte épargne le 1\up{er} janvier 2016.

Une première banque leur propose un taux annuel de 1,5\,\%, à intérêts composés, pour un
dépôt initial de \np{2 000}\,\euro. On rappelle qu’un capital produit des intérêts composés si, à la fin de
chaque année, les intérêts générés sont ajoutés au capital pour produire de nouveaux
intérêts.

Pour tout entier $n$, on note $u_n$ le capital, exprimé en euro, disponible le 1\up{er} janvier de l’année
$2016 + n$.
Ainsi $u_0 = \np{2 000}$.

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que $u_1 = \np{2 030}$ et donner la valeur de $u_2$.
\item \begin{enumerate}
		\item  Exprimer  $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
		\item Préciser la nature de la suite $\left(u_n\right)$.
		\item En déduire l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
	   \end{enumerate}
\item  On considère l’algorithme ci–dessous :

\begin{tabular}{r|l}

\textbf{Variables} &$k$ est un nombre entier\\
          &$u$ est un nombre réel\\
          &\\
\textbf{Initialisation}& $k$ prend la valeur 0\\
& $u$ prend la valeur \np{2 000}\\
&\\
\textbf{Traitement}& Tant que $u < \np{2 250}$\\
&Faire\\
& \hspace{1em} $u$ prend la valeur $u \times 1,015$\\
& \hspace{1em} $k$ prend la valeur $ k + 1$\\
& Fin Tant que\\
&\\
\textbf{Sortie}& Afficher $k$
\end{tabular}

	\begin{enumerate}
		\item  À quoi correspond la valeur en sortie de cet algorithme ?
		\item À l’aide de la calculatrice, donner cette valeur.
	\end{enumerate}
\item  Une autre banque propose aux grands parents d’Inès 32\,\euro{} d’intérêts simples annuels
pour un dépôt initial de \np{2 000}\,\euro. On rappelle qu’un capital produit des intérêts simples
si les intérêts sont uniquement calculés sur ce capital.

Pendant combien d’années, à partir de 2016, ce nouveau placement est-il plus avantageux que le précédent ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}  

\vspace{0.25cm}


Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul, donne l’évolution de la population
française, de 2006 à 2014.

La ligne 4 est au format pourcentage.

\medskip

{\footnotesize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2.3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
&\centering A& B &C& D& E &F& G& H& I& J\\
\hline
1& Année& 2006 &2007& 2008& 2009& 2010& 2011& 2012& 2013& 2014\\
\hline
2& Rang de l’année : $x_i$& 0& 1& 2& 3& 4 &5& 6& 7& 8\\
\hline
3 & Population (en millier) : $y_i$ & \np{63 186}& \np{63 601}&\np{63 962} &\np{64 305}  &\np{64 613} &\np{64 933} &\np{65 241}& \np{65 921}& \\
\hline
4& Taux d’évolution entre deux années consécutives (en pourcentage)&\cellcolor{lightgray} &0,66\,\% & & 0,54\,\% & 0,48\,\% & 0,50\,\% & 0,47\,\% & 1,04\,\% & 0,42\,\% \\
\hline
\multicolumn{11}{r}{\emph{Sources: INSEE et banque mondiale}}\\
\end{tabularx}
}

\smallskip

Le nuage de points de coordonnées $(x_i ; y_i$) pour $i$ variant de 0 à 8, est donné en \textbf{annexe 1,
à rendre avec la copie}.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner une formule qui, entrée en cellule C4, permet par recopie vers la droite d’obtenir
les taux d’évolution annuels successifs jusqu’en 2014.
\item Donner les valeurs contenues dans les cellules D4 et J3.
\item  Calculer le taux d’évolution moyen annuel entre 2006 et 2014 de la population française.
On exprimera le résultat en pourcentage (arrondi à 0,01\,\%).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d’ajustement affine de $y$ en $x$
obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au dixième.
\item Pour estimer la population française dans les années à venir, on décide d’ajuster ce
nuage de points par la droite $D$ d’équation $y = 370 x + \np{63 183}$.

Tracer cette droite sur le graphique figurant en \textbf{annexe 1}.
\item Par lecture graphique, donner une estimation de la population française en 2020. On fera
apparaître les traits de construction sur le graphique de l’\textbf{annexe 1}.
\item Selon une étude, la population française dépassera les 70 millions en 2030.
Que peut-on penser de cette estimation ?
\end{enumerate}


\vspace{0,25cm}

    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}  

\vspace{0.25cm}


Une entreprise peut produire quotidiennement entre 1 et 20 tonnes de peinture.

Le coût de production, en millier d'euros, de $x$ tonnes de peinture est modélisé par la fonction
$C$ définie sur l'intervalle [1 ; 20] par : 

\[C(x) = 0,05 x^2 - 0,1 x + 2,45.\]

L’entreprise fixe le prix de vente d’une tonne de peinture à 670\,\euro.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On a représenté, dans l’\textbf{annexe 2}, la courbe $\Gamma$  représentant le coût de production dans un
repère orthogonal du plan.
\begin{enumerate}
\item  Donner le coût correspondant à une fabrication quotidienne de 9,5 tonnes de peinture.
\item Déterminer la production quotidienne correspondant à un coût de fabrication de \np{16000}\euro.
\item \begin{enumerate}
		\item  Construire, dans le repère de l’\textbf{annexe 2}, la courbe représentant la recette
			correspondant à la vente de $x$ tonnes de peinture, pour $x\in[1~;~20]$.
		\item Donner par lecture graphique, l’ensemble des valeurs de la production quotidienne
			pour lesquelles l’entreprise réalise un bénéfice.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour une production de $x$ tonnes de peinture, on appelle coût unitaire, le coût $f(x)$, auquel
revient alors la production d’une tonne de peinture.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que, pour tout $x \in [1~;~20],\  f(x)=\dfrac{C(x)}{x}$, vérifier que
\[f(x) = 0,05 x - 0,1 + \frac{2,45}{x}\]
\item On note $f'$ la dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$ puis démontrer que, pour tout réel $x$ de
l’intervalle \mbox{[1~;~20]},
\[f'(x)=\dfrac{0,05(x^2 - 49)}{x^2}\]
\item Déterminer le signe de $f'(x)$ pour $x\in[1~;~20]$ et dresser le tableau de variation de $f$.
\item \begin{enumerate}
		\item Préciser la quantité de peinture que doit produire l’entreprise pour que le coût unitaire soit minimal.
		\item Quel est ce coût unitaire minimal ?
		\item Quel est alors le bénéfice réalisé par l’entreprise ?
		\end{enumerate}
\item La valeur trouvée à la question \textbf{4.~ c.} est-elle le bénéfice maximal que l’entreprise peut réaliser ? Justifier la réponse.

\end{enumerate}

\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{Annexe 1 (à rendre avec la copie)}
\end{center}

\medskip
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} - Partie B}  

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.0018cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0,-300)(15,6000)
\multido{\n=0+1}{15}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,5500)}
\multido{\n=0+250}{23}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(14,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=63000,Dy=500]{->}(0,0)(14.5,5700)
\psdots[dotstyle=Add,dotangle=45,dotscale=2.5,linecolor=blue](0,186)(1,601)(2,962)(3,1305)(4,1613)(5,1933)(6,2241)(7,2921)(8,3198)
\uput[d](7,-350){\footnotesize Rang de l'année}\uput[r](0,6000){\footnotesize Population (en millier)}
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{landscape}
\newpage

\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{Annexe 2 (à rendre avec la copie)}

\medskip

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0,0)(23,24)
\multido{\n=0+0.5}{41}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,21)}
\multido{\n=0+0.5}{43}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(20,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(21,21.9)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{20}{ x 0.05 mul 0.1 sub x mul 2.45 add }
\uput[d](18.5,-1.5){\footnotesize Quantité de peinture (en tonne)}\uput[ur](0,21.2){\footnotesize Coût de production ( en millier d'euros)}
\uput[u](19,19){\blue $\Gamma$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}