\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength\parindent{0mm}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\begin{document}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat},
pdftitle = {Métropole A.C.A.--A.C.C. septembre 2000},
allbordercolors = white
}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT A.C.A. -- A.C.C. septembre 2000}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2000}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat STT ACC - ACA Métropole~\decofourright\\ septembre 2000}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

Un magasin d'électroménager vend, depuis le 1\up{er} janvier 1990, des aspirateurs de la marque ASPIRTOU. Son directeur nous a fourni les renseignements consignés dans le tableau ci-dessous, dans lequel on a également précisé le rang $x_i$ de l'année $1989 +x_i$.

\begin{center} \begin{tabular}{|l|*{6}{c|}}\hline
Année& 1990&	1991& 1992& 1993& 1994& 1995\\ \hline
Rang $x_i$ de l'année& 1& 2& 3& 4& 5& 6 \\ \hline
Nombre $y_i$ d'aspirateurs vendus& 594&	670& 770& 830& 930 & 1 000\\ \hline
\end{tabular} \end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points $M_i$ de coordonnées 
$(x_i~;~y_i)$ associé à cette série statistique dans un repère orthogonal. On prendra pour unités graphiques

$\bullet~$ 1 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses ;

$\bullet~$ 1 cm pour 50 unités sur l'axe des ordonnées en commençant la graduation 
à 500.

\item Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer G sur le graphique.
\item On observe l'aspect du nuage et on choisit pour ajustement affine la droite d'équation 

\[y = 82x + 512.\]

Tracer cette droite.
\item En utilisant l'ajustement précédent, déterminer graphiquement, puis par le calcul, une estimation du nombre d'aspirateurs que le magasin peut espérer
vendre en l'an 2000.
\item En réalité, on a constaté que, après 1995, les ventes ont progressé régulièrement de $15\,\%$ par an.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que le magasin a vendu \np{1150} aspirateurs en 1996.
		\item Combien en a-t-il vendu en 1997 ?
		\item Combien peut-il espérer en vendre dans ces conditions en l'an 2000 ?

Les deux derniers résultats seront arrondis à l'unité près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A - Coût marginal}
 
\medskip

L'entreprise ASPIRTOU fabrique des aspirateurs. Chaque mois, elle produit un
nombre $x$ d'aspirateurs, $x$ étant un nombre entier compris entre 
\np{1000} et \np{6000}.

Le coût de production, exprimé en euros, de $x$ aspirateurs est donné par :

\[C(x) = 0,003x^2 +  60x + \np{48000}.\]

\begin{enumerate}
\item Quel est le coût de production exact de \np{1000} 
aspirateurs ? De \np{1001} aspirateurs ?

En déduire l'augmentation du coût entraînée par le \np{1001}\up{e} aspirateur.
\item On appelle coût marginal au rang $x$ et on note $d(x)$ la différence :

\[C(x + 1) - C(x).\]

Ainsi $d(x) = C(x + 1)- C(x)$ représente l'augmentation de coût correspondant à la fabrication d'un aspirateur supplémentaire, sachant qu'on en a déjà fabriqué $x$.

\begin{enumerate}
\item Quel est le coût marginal $d(\np{1000})$ au rang \np{1000} ?
\item Montrer que :

\[C(x + 1) = 0,003x^2 + 60,006x + \np{48060,003}\]

et \qquad \qquad $d(x) = 0,006x + 60,003.$

\end{enumerate}
\item On considère que $x$ est un réel de l'intervalle [\np{1000}~;~\np{6000}] et on note $C'$ la dérivée de la fonction $C$ définie par :

\[C(x) = 0,003x^2 + 60x + \np{48000}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $C'(x)$, puis $C'(\np{1000})$.	
		\item Calculer $d(\np{1000}) - C'(\np{1000})$ et vérifier que :

\[d(x) - C'(x) = 0,003.\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - étude d'une fonction}
 
\medskip

Dans cette partie, on se propose d'étudier la fonction $f$ définie sur l'intervalle [\np{1000}~;~\np{6000}] par :

\[f(x) = 0,003x + 60 + \dfrac{\np{48000}}{x}.\]

\begin{enumerate} 
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ et
 vérifier que pour tout $x$ de [\np{1000}~;~\np{6000}] :

\[f'(x) = \dfrac{0,003}{x^2}(x - \np{4000})(x + \np{4000}).\]	

\item étudier le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ varie dans l'intervalle 
[\np{1000}~;~\np{6000}] et dresser le tableau de variations de $f$ sur [\np{1000}~;~\np{6000}].

\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& \np{1000}&\np{2000}& \np{3000}& \np{4000}& \np{5000}& \np{6000}\\ \hline
$f(x)$ & & 90 & & & & \\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal.

On prendra pour unités graphiques :

$\bullet~$ 1 cm pour 500~aspirateurs en abscisse

$\bullet~$ 1 cm pour 4~euros en ordonnée, en commençant la graduation à 60.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie C - Coût moyen et coût marginal}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Tracer dans le repère précédent la droite D représentant
 graphiquement la fonction $C'$ définie dans la \textbf{partie A}.
\item Le coût moyen d'un aspirateur de l'entreprise ASPIRTOU est égal au coût de
production divisé par le nombre d'aspirateurs.

Vérifier que, pour tout $x$ de l'intervalle [\np{1000} ; \np{6000}], ce coût moyen est égal a $f(x)$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Dans la pratique, on remplace le coût 
marginal $d$ par la dérivée $C'$.

Donner, par lecture graphique, le nombre d'aspirateurs produits pour lequel le coût moyen est égal au coût marginal.
		\item Calculer, pour cette valeur, le coût moyen.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}