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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT ACC - ACA Pondichéry~\decofourright\\ mai 2000}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice}\hfill 5 points}

\medskip

Le tableau ci-après présente l'évolution de l'emploi dans l'éducation et dans la santé en France de 1968 à 1996. Par exemple, on peut lire qu'en 1968  4,3\,\% de la population active de 1968 travaille dans l'éducation.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{3-6}
\multicolumn{2}{c|}{}&\multicolumn{2}{c|}{Éducation} &\multicolumn{2}{|c|}{Santé et action sociale}\\ \hline
Année& Rang $x_{i}$, de l'année&  (en milliers) &Part $y_{i}$ de l'emploi (en \%)&(en milliers)&Part $z_{i}$ de l'emploi (en \%)\\ \hline 
1968& 1 &860 &4,3 &730 &3,7 \\ \hline
1975& 8& \np{1180}& 5,6& \np{1140}& 5,4\\ \hline 
1982& 15 &\np{1310}& 6,1&\np{1610}& 7,5 \\ \hline
1989& 22 &\np{1550} &7,0& \np{2050} &9,2 \\ \hline
1996 &29 &\np{1730} &7,9 &\np{2300} &10,5 \\ \hline
\multicolumn{6}{r}{(Sources : Recensements Insee)}\\
\end{tabularx} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quel est l'effectif, arrondi en millions, de la population active en France en 1968 ? en 1996 ? 
\item Construire le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal.
 
On choisira sur l'axe des abscisses 0,2 cm pour une unité et sur l'axe des ordonnées 1 cm pour 1\,\%. 
\item On note G le point moyen du nuage formé par ces cinq points.
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées de G et le placer sur le graphique.
 
		\item On choisit pour ajustement affine du nuage la droite $\Delta$ de coefficient directeur $0,123$ et passant par G.
		 
Déterminer une équation de $\Delta$ et tracer la droite $\Delta$ sur le graphique.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construire le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$ dans le même repère que précédemment. On représentera les points de ce deuxième nuage d'une couleur différente du premier. 
		\item On choisit pour ajustement affine du nuage la droite $\Delta'$ d'équation :
		 
\[y = 0,248x + 3,53.\]
 
Tracer la droite $\Delta'$ sur le graphique.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement l'année à partir de laquelle le nombre d'emplois dans la santé dépasse celui dans l'éducation. 
		\item En utilisant les ajustements affines données en \textbf{3.} et \textbf{4.}, déterminer par le calcul une estimation de l'année à partir de laquelle il y aura 1,5 fois plus d'emplois dans la santé que dans l'éducation.
		 
Quelles seront alors les parts de l'emploi dans la santé et dans l'éducation ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{4cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 15 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}

Monsieur Gaston téléphone actuellement tous les jours pendant une heure pour
un montant de 6~\euro.

Il souhaite réduire le prix de la minute de communication tout en continuant
à payer exactement 6~\euro{} par jour.

Deux entreprises téléphoniques lui proposent leurs tarifs.


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'entreprise A annonce une réduction de 30\,\% du prix de la communication.
		
Calculer le nouveau prix d'une minute de communication.
		\item L'entreprise B propose une augmentation de 30\,\% de la durée de communication pour le même prix.
		
Combien de temps monsieur Gaston peut-il maintenant téléphoner pour
6~\euro{}?
		
Calculer le nouveau prix d'une minute de communication (on arrondira le
résultat à 0,001 près).
	\end{enumerate}
\item Répondre aux mêmes questions si l'entreprise A fait une réduction de 20\,\% du prix et l'entreprise B une augmentation de 25\,\% de la durée.
\item
	\begin{enumerate}
		\item L'entreprise A annonce une réduction de x\,\% du prix de la communication. Combien monsieur Gaston paie-t-il maintenant une heure de communication ?
		
Montrer que le prix d'une minute de communication avec l'entreprise A
s'élève à $\dfrac{1}{10}\left(1 - \dfrac{x}
{100}\right)$.
		\item L'entreprise B propose une augmentation de y\,\% de la durée de communication pour le même prix.
		
Combien de temps monsieur Gaston peut-il maintenant téléphoner pour
6~\euro{}?
		
Montrer que le prix d'une minute de communication avec l'entreprise B
s'élève à $\dfrac{1}{10\left(1 + \dfrac{y}{100}\right)}$.
 	\end{enumerate}
	
	On admet que les propositions des deux entreprises sont aussi avantageuses l'une que l'autre si :
	
	\[y = \dfrac{100x}{100 - x}.\]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~50] par :

\[f(x) =  \dfrac{100x}{100 - x}\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~50].

\item Étudier le signe de $\dfrac{\np{10000}}{(100 - x)^2}$ sur l'intervalle [0~;~50].
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [0~;~50].
\item Construire  la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé du plan (unité graphique : 1~cm représente 10~unités.)
\item L'entreprise A propose une réduction de 20\,\% du prix de la communication.

Déterminer le pourcentage d'augmentation de la durée de communication que doit proposer l'entreprise B pour avoir un tarif aussi avantageux que celui de A.
\item L'entreprise B propose une augmentation de 30\,\% de la durée de communication.

Déterminer graphiquement le pourcentage de réduction du prix de la communication que doit proposer l'entreprise A pour avoir un tarif aussi avantageux  que celui de l'entreprise B.
\end{enumerate}
\end{document}