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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT ACC - ACA Métropole~\decofourright\\juin 2000}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

Les cadres d'une entreprise ont reçu des primes différentes selon leur ancienneté.

Six d'entre eux comparent le montant de leur prime. Leurs observations sont reportées dans le tableau ci-dessous, où l'ancienneté $x$ est exprimée en années et la prime $p$ en milliers de francs.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Cadre 		&\no 1  	& \no 2 	& \no 3 	& \no 4 	& \no 5 	& \no 6\\ \hline
Ancienneté $x$	& 2		& 8 	& 11 	& 17	& 20 	& 26\\ \hline
Prime $p$		&1,08 	& 2,84 	&3,27 	& 3,88 	& 4,11 	& 4,48\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item Pour cette série de données, la calculatrice leur propose la droite
d'ajustement $\Delta$ d'équation $y = 0,13x + 1,42$. On ne demande aucune représentation graphique pour cette première question.

En utilisant l'équation de la droite $\Delta$, calculer :

	\begin{enumerate} 
		\item Quelle prime recevrait un cadre ayant une ancienneté de 14 ans ?
		\item Quelle ancienneté conduirait à l'obtention d'une prime de 
\np{1550}~francs ?
	\end{enumerate}
\item Peu satisfaits de l'étude précédente, les six cadres décident de
poser $q = 2^p$ (où $p$ représente la prime en milliers de francs) et d'arrondir au dixième.
Ils obtiennent alors le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Cadre 			&\no 1  	& \no 2 	& \no 3	& \no 4 	& \no 5 	& \no 6\\ \hline
Ancienneté $x$& 2			& 8 		& 11 	& 17		& 20 		& 26\\ \hline
Résultat  $q$	&2,1 		& 7,2 		&9,6 	& 14,7 		& 17,3 		& 22,3\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier  les calculs ci-dessus et dire, pour chaque résultat, s'il correspond à un arrondi par excès ou par défaut.
		\item Construire le nuage des points de coordonnées $(x~;~q)$ dans un repère orthogonal. On prendra 0,5 cm par unité en abscisse et 1 cm par unité en ordonnée.

Calculer les coordonnées du point moyen G$_{1}$, des trois premiers points et du point moyen G$_{2}$ des trois derniers.
		\item Tracer la droite (G$_{1}$G$_{2}$). Montrer, en arrondissant les coefficients au centième, que la droite (G$_{1}$G$_{2}$) a pour équation $y = 0,84 x + 0,40$.
		\item On utilise la droite (G$_{1}$G$_{2}$) comme droite d'ajustement. À quelle ancienneté correspond alors une prime de \np{1550} francs ? Le résultat obtenu est-il plus plausible que celui de la question \textbf{1. b.} ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie 1 :}

\medskip

Une entreprise souhaite promouvoir un nouveau produit. Elle estime que la probabilité qu'une personne prise au hasard en connaisse le nom après $x$ semaines de publicité s'exprime par

\[p(x) = \dfrac{3x}{4x + 3}.\]

\begin{enumerate} 
\item Calculer $p(3)$. Déduire la probabilité qu'une personne prise au hasard ignore le nom du produit après trois semaines de publicité.
\item Résoudre l'équation $p(x) = \dfrac{1}{2}$. Interpréter le résultat obtenu.
\item La formule donnant $p(x)$ permet-elle de confirmer les affirmations
ci-dessous ?
	\begin{enumerate} 
		\item Avant le lancement de l'opération, personne ne connaît le nom du produit. Justifier.
		\item Au bout de douze semaines de publicité, tout le monde connaît le nom du produit. Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2 :}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~18] par : $f(x) = \dfrac{3x}{4x + 3}$.

\begin{enumerate} 
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous. On arrondira
au centième.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		& 0 	& 0,5 	&  1 	& 3 	& 6 & 12 	& 18\\ \hline
$f(x)$	&	 	& 		& 		&  0,6 	& 	& 		& \\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Vérifier que pour tout $x$ de [0~;~18], 
$f'(x) = \dfrac{9}{(4x + 3)^2}$ où $f'$ désigne la fonction dérivée 
de $f$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ pour $x$ élément de [0~;~18].

En déduire le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~18].
\item On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative 
de $f$.

On considère la droite $\mathcal{D}$ tangente à $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 3. Montrer que $\mathcal{D}$ a pour équation $y = 0,04x +  0,48$.
\item Tracer $\mathcal{D}$ puis $\mathcal{C}$ dans un repère orthogonal. On prendra 1~cm pour unité sur l'axe des abscisses et 10 cm sur l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 3 :}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Compléter le graphique de la \textbf{partie 2} en traçant la droite
d'équation $y = 0,66$.

\item Graphiquement :
	\begin{enumerate} 
		\item déterminer la durée nécessaire pour que la probabilité exprimée  en \textbf{partie 1} passe de $0,6$ à $0,66$.
		\item déterminer la durée nécessaire pour que la probabilité exprimée en \textbf{partie 1} passe de $0,66$ à $0,72$.
	\end{enumerate}
\item Cette étude explique-t-elle pourquoi l'entreprise a prévu une campagne publicitaire de cinq semaines et demie ?
\end{enumerate}
\end{document}


