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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G. -- I.G. Antilles--Guyane~\decofourright\\juin 2000}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

Benoît sait que le congélateur de la cuisine renferme cinq bâtons de crème glacée, de cinq parfums différents (vanille, chocolat, pistache, café, praliné).

Gourmand et insomniaque, il décide de se lever en pleine nuit, sans allumer la lumière, et de prendre, à tâtons et successivement, deux bâtons dans le congélateur. (Tous les choix sont équiprobables.)

\begin{enumerate} 
\item À l'aide d'un arbre, déterminer le nombre de couples différents de bâtons qu'il peut ainsi obtenir.

\item Ses parfums préférés sont vanille et café. Calculer les probabilités pour qu'il obtienne :
	\begin{enumerate} 
		\item le bâton à la vanille, puis le bâton au café ;	
		\item les bâtons de ses parfums préférés dans un ordre quelconque ;
		\item un seul de ses parfums préférés ;	
		\item aucun de ses parfums préférés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

Pour équiper le club de bridge qu'il vient de créer, Michel a besoin de 16 tables, 72~chaises et 44~ jeux de cartes.

Il s'adresse à deux boutiques spécialisées : la boutique A et la boutique B.

La boutique A lui propose un lot de 2 tables, 8 chaises et 11 jeux de cartes pour \np{2500}~F.

La boutique B lui propose un lot de 2 tables, 10 chaises et 4 jeux de cartes pour \np{2750}~F.

Le but de l'exercice est de déterminer le nombre $x$ de lots qu'il va acheter à la boutique A et le nombre $y$ de lots qu'il va acheter à la boutique B pour que la dépense soit minimale.

\begin{enumerate} 
\item Traduire par un système d'inéquations les contraintes d'équipement.
\item Dans le plan muni d'un repère orthonormal (unité graphique: 1 cm), résoudre graphiquement le système :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x 		&\geqslant	& 0\\
y		&\geqslant	& 0\\
x + y 	&\geqslant	& 8\\
4x + 5y	& \geqslant & 36\\
11 x + 4y &\geqslant& 44\\
\end{array}\right.\]

(Hachurer l'ensemble des points dont les coordonnées ne vérifient pas le système, en expliquant votre démarche pour la seule inéquation $4x + 5y \geqslant 
36$.)

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer la dépense $D$ occasionnée par l'achat de $x$
lots à la boutique A et de $y$ lots à la boutique B.
		\item Les couples $(x~;~y)$ correspondant à une dépense donnée $D$, sont les  coordonnées de points de la droite $\Delta_{D}$ dont on donnera une équation sous la forme $y = ax+b$. 
		\item Tracer la droite $\Delta_{D}$ avec $D = \np{27500}$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer à l'aide du graphique, en le justifiant, le nombre 
$x_{0}$ de lots à acheter à la boutique A et le nombre $y_{0}$ de lots à acheter à la boutique B pour satisfaire les besoins avec une dépense minimale.
             
Calculer cette dépense minimale.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

Le repère \Oij{} est orthonormal (unité : 2~cm).

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie 
sur $\R$ par :

\[f(x) = ax + b + c\text{e}^{-x},\]
où $a,~ b$ et $c$ sont trois réels.

La courbe $\mathcal{C}$ est jointe ci-après.

\bigskip

\textbf{Partie A - à la découverte de la fonction} 
\boldmath  $f$ \unboldmath

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x}$.
		\item En déduire que la droite $\Delta$ d'équation $y = ax + b$ est asymptote à $\mathcal{C}$.
		\item Utiliser le graphique pour obtenir l'équation réduite de l'asymptote oblique à $\mathcal{C}$.

En déduire, par comparaison, les coefficients $a$ et $b$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item $\mathcal{C}$ passe par le point A(0 ; 3).

Calculer le coefficient $c$ et donner l'expression définitive de $f(x)$.
		\item Justifier par le calcul que $\mathcal{C}$ est au-dessus de 
$\Delta$, pour toutes valeurs de la variable.
	\end{enumerate}
\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f'(x) \geqslant  0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B -Vérification par le calcul des données du 
graphique}

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x$ réel, 
    $f'(x) = \dfrac{1 - 4\text{e}^{-x}}{2}$. 
		\item Résoudre $f'(x) \geqslant 0$ et confirmer le résultat du \textbf{A. 3.}.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout $x$ non nul, $f(x) = 
x\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{x} + 2 \times 
\dfrac{1}{x\text{e}^x}\right)$.
		\item En déduire $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$.(On rappelle que  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$.)
	\end{enumerate}
\item Établir le tableau de variations de $f$.
\item Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 4$ admet une unique
solution $\alpha$ sur l'intervalle $[- 1~;~ 0]$.
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant. On donnera des valeurs décimales approchées de $f(x)$ à 0,001 près.

\[\begin{array}{|*{10}{c|}}\hline
x&	-0,1& -0,2& -0,3& -0,4& -0,5& -0,6& -0,7& -0,8 & -0,9\\ \hline
f(x) & & & & & & & & & \\ \hline
\end{array}\]

En déduire un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0,1.             
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Un calcul d'aire}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par :

\[F(x) = \dfrac{1}{4}x^2 + x - 2\text{e}^{-x}.\]

Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.

\item Soit $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{0}^1(x) f(x)\:\text{d}x$.

	\begin{enumerate} 
		\item Donner la valeur exacte de $\mathcal{A}$.
		\item En déduire une valeur décimale approchée à 0,01 près de l'aire, en  cm$^2$, de la portion de plan comprise entre $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm} \begin{pspicture}(-3,-1)(6,7)
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\end{center}
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