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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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pdftitle = {La Réunion C. G--I. G. septembre 2000},
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STT A.C.A. -- A.C.C. septembre 2000}
\lfoot{\small{La Réunion}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C. G-I. G. La Réunion~\decofourright\\ septembre 2000}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip
 
Dans le système de numération à base seize, les caractères utilisés sont les chiffres de 0 à 9 et les lettres de A à F.
 
Un nombre de ce système de numération est une suite de plusieurs caractères de ce type ; par exemple, on peut considérer les nombres A5F, 1A, 331, AB, C81C, ...
 
On considère les nombres de deux caractères écrits en base seize.
 
On remarquera qu'un nombre de deux caractères ne peut pas commencer par zéro.
 
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il y a 240~nombres de deux caractères en base seize.
 
On pourra s'aider d'un arbre.
 \item On écrit au hasard un nombre de deux caractères en base seize. On considère l'évènement A : \og le nombre ne contient aucune lettre \fg, et l'évènement B : \og le nombre commence par 1 \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de A. 
		\item Calculer la probabilité de B. 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement A $\cap$ B. 
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement A $\cup$ B. 
		\item Déterminer la probabilité pour qu'un nombre contienne au moins une lettre. 
		\item  Déterminer la probabilité pour qu'un nombre soit formé de deux caractères différents. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

Remarque : \emph{Les probabilités demandées seront données sous forme de fraction irréductible.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} 

\medskip
 
Une entreprise fabrique des baladeurs pour disques compacts et des platines laser.

Il y a $140$ ouvriers travaillant à la fabrication, et chacun de ces ouvriers travaille $40$~heures par semaine.
  
Les chefs de service estiment qu'il faut $10$~heures de main d'{\oe}uvre pour fabriquer un baladeur et $5$~heures pour fabriquer une platine laser.
 
Les services commerciaux ne peuvent vendre plus de $480$ baladeurs et $480$ platines laser par semaine.

Le prix de revient, pièces et main-d'{\oe}uvre, d'un baladeur est de 300~francs,  il est de $400$~francs pour une platine laser.
  
Les services comptables de l'entreprise donnent la consigne de ne pas dépasser la somme de \np{240000}~francs par semaine pour les pièces et la main-d'oeuvre.
 
On note $x$ le nombre de baladeurs et $y$ le nombre de platines laser fabriqués par semaine.
 
\begin{enumerate}
\item Traduire les contraintes de fabrication sous la forme d'un système d'inéquations à 2 variables portant sur $x$ et sur $y$. 
\item À tout couple $(x~;~y)$ de nombres réels, on associe le point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ dans le repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 0,02~cm.
 
Déterminer graphiquement l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées vérifient :

\[\left\{\begin{array}{l c l c l} 
0&\leqslant &x&\leqslant& 480\\  
0&\leqslant& y&\leqslant& 480\\
2x+y&\leqslant&\np{1120}&&\\
3x + 4y&\leqslant& \np{2400}&&
\end{array}\right.\]
  
Remarque: \emph{On hachurera la partie du plan qui n'est pas solution.}
 
\item Les prix de vente sont tels que l'entreprise, tous frais payés, fait un bénéfice de $160$~francs par baladeur et de $240$~francs par platine laser. 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $x$ et $y$ le bénéfice B par semaine de fabrication. 
		\item Les couples $(x~;~y)$ permettant d'obtenir un bénéfice donné B sont les coordonnées  des points d'une droite notée D$_{\text{B}}$, dont on donnera une équation sous la forme $y = ax + b$. 
		\item Tracer la droite D$_{\text{B}}$, avec B = \np{96000}~F.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer à l'aide du graphique, en le justifiant, le nombre de baladeurs et de platines laser à produire par semaine pour obtenir un bénéfice maximal. Calculer ce bénéfice maximal. 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

Le graphique ci-dessous représente, dans un repère orthonormal, la courbe représentative $(\Gamma)$ d'une fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ et dérivable sur cet intervalle.

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{ 
On précise que: 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  l'origine O du repère appartient à $(\Gamma)$. 
\item[$\bullet~$] la droite (D) passant par O et par le point B de coordonnées (1~;~5) est tangente en O à $(\Gamma)$. 
\item[$\bullet~$]la tangente au point A d'abscisse 2 de $(\Gamma)$ est parallèle à l'axe des abscisses. 
\item[$\bullet~$] l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $(\Gamma)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}} \hfill
\parbox{0.53\linewidth}{\psset{unit=0.636cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(9,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-1)(9,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.1pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-1,-1)(9,6)
\psdots(2,3.6788)(1,5)(4,2.7067)(5,2.0521)(8,0.7326)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot{-0.2}{1.2}{5 x mul}
\psplot[plotpoints=6000,linecolor=blue]{0}{8.5}{5 x mul 2.71828 0.5 x mul exp div}
\psline[linestyle=dotted](0,5)(1,5)(1,0)
\psline[linestyle=dotted](2,0)(2,3.6788)
\psline[linestyle=dotted](4,0)(4,2.7)(0,2.7)
\psline[linestyle=dotted](5,0)(5,2)(0,2)
\psline[linestyle=dotted](8,0)(8,0.7326)(0,0.7326)
\uput[u](6,1.4936){$(\Gamma)$} \uput[u](2,3.6788){A}\uput[r](1.2,6){(D)}
\uput[r](1,5){B} \uput[dl](0,0){O}
\psline{<->}(1.25,3.6788)(2.75,3.6788)
\end{pspicture}}
 
\begin{enumerate}
\item En utilisant le graphique et les renseignements donnés ci-dessus: 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser $f(0),~f'(0)$ et $f'(2)$. 
		\item Donner la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item Préciser le sens de variation de $f$ ; dresser son tableau de variations.
	\end{enumerate} 
\item  On cherche une fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par
\[f(x) = (ax + b)\text{e}^{cx}\]
 où $a,~ b,~c$ sont trois réels.
  
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant $f(O)$, calculer $b$. 
		\item Calculer $f'(x)$. 
		\item En utilisant $f'(0)$ et $f'(2)$, calculer $a$ et $c$. En déduire que $f(x) = 5x \cdot \text{exp}\left(- \dfrac{x}{2}\right)$. 
		\item Calculer alors une valeur décimale approchée à $10^{-1}$ près de $f(2),~ f(4),~ f(5)$ et $f(8)$. Peut-on dire que $f$ est une bonne approximation de la fonction cherchée ?
	\end{enumerate}
\medskip
 
\emph{Dans la suite du problème, on admettra que $(\Gamma)$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par : $f(x) = 5x \cdot \text{exp}\left( - \dfrac{x}{2}\right)$, et on pourra utiliser les résultats de la question 1.}
 
\item  Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ par :

\[ F(x) = 20 - 10(x + 2) \cdot \text{exp}\left(- \dfrac{x}{2}\right).\]
 
On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthonormal \Oij, d'unité 1~cm. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ de $[0~;~+\infty[,~F'(x) = f(x)$. 
		\item Étudier le sens de variation de $F$. 
		\item En utilisant \textbf{1. b.}, déterminer la limite de $F$ en $+\infty$. 
		\item En déduire que la courbe $(\mathcal{C})$ admet une asymptote ($\Delta$) dont on donnera une équation. 
		\item Dresser le tableau de variations de $F$. 
		\item Préciser la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ en son point d'abscisse $0$. 
		\item Construire $(\mathcal{C})$ et ($\Delta$) dans le plan.
			\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer : $I =  \displaystyle\int_{0}^5   f(x)\:\text{d}x$. 
		\item Interpréter géométriquement ce résultat à l'aide de la courbe $(\Gamma	)$, puis à l'aide de $(\mathcal{C})$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}