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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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pdftitle = {Métropole A.C.A.--A.C.C. septembre 2000},
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G. --- I.G.}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2000}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G. -- I.G. Métropole~\decofourright\\septembre 2000}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Un automobiliste gravit le col le plus élevé d'une région montagneuse. Disposant d'un altimètre et d'un thermomètre, il note ses observations dans le tableau  suivant :

\begin{center}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Altitude $x$ (en km)& 0,4& 0,8& 1,2& 1,5& 1,9&  2\\ \hline
Température $y$ (en $\up{o}$C)&	8,5& 6,5 & 3& 1,5& $-1$&  $-2$\\ 
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item Représenter la série statistique double $(x~ ;~ y)$ ci-dessus
 dans un repère orthogonal. (Unités : 5~cm pour 1~km en abscisse 1 cm pour 1 ~\degres C en ordonnée.)

On veillera à graduer l'axe des ordonnées entre $-10\degres$C et 10\degres C.

\item Calculer les coordonnées des points moyens G$_1$ et G$_2$ correspondant respectivement aux trois premières et trois dernières observations.
\item Déterminer une équation de la droite (G$_1$G$_2$).

Représenter cette droite sur le graphique en faisant figurer G$_1$ et G$_2$ d'une couleur différente de celle utilisée pour les points du nuage.
\item Par lecture graphique (faire figurer la construction), estimer la température extérieure à une altitude de \np{2300} mètres. 
\item Le véhicule est ravitaillé en gazole ordinaire, lequel se coagule lorsque la température descend en dessous de $- 5\:\up{o}$C.

Estimer, par calcul, l'altitude maximale que l'automobiliste pourra atteindre sans risque.

On donnera le résultat à cent mètres près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}
 
\medskip
 
Dans une enquête réalisée auprès de 300 personnes dont 60\,\% de femmes, la question suivante a été posée : de ces 3 loisirs \og faire du sport \fg, \og regarder la
télévision et \og lire un livre \fg, quel est celui que vous préférez ?

 55\,\% des hommes et $30\,\%$ des femmes ont répondu préférer \og faire du sport \fg.

 Le nombre de femmes qui préfèrent regarder la télévision est le double du nombre de femmes qui préfèrent \og lire un livre \fg.

 114 personnes ont dit qu'elles préféraient \og regarder la télévision \fg.

\begin{enumerate} 
\item Recopier et compléter le tableau suivant (aucune justification n'est
demandée) :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{} 	& Faire du sport 	&Regarder		&Lire un livre 	& TOTAL\\
\multicolumn{1}{c|}{} 	& 					& la télévision 	& 				& \\ \hline
Hommes 				&  					& 				& 				& \\ \hline		
Femmes 				& 					& 				& 				& \\ \hline
TOTAL 				& 					& 				& 				& 300\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\item Les résultats à cette question seront donnés sous forme de pourcentages.

On interroge une personne au hasard :
	\begin{enumerate} 
		\item Soit A l'évènement : \og la personne préfère lire un livre \fg.

Donner la probabilité de l'évènement A.
		\item Soit B l'évènement : \og c'est un homme \fg.

Donner la probabilité de l'évènement B.
		\item Soit C l'évènement : \og la personne préfère regarder la télévision \fg.

Donner la probabilité de l'évènement C.	
		\item Calculer la probabilité de l'évènement B $\cup$ C.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = 4\text{e}^x - \text{e}^{2x} = \text{e}^x\left(4 - \text{e}^x\right).\]

On donne sa courbe représentative $\Gamma$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal 
\Oij. (Unités graphiques : 4~cm sur l'axe des abscisses ; 1~cm sur l'axe des ordonnées.)

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$
 et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. En déduire les asymptotes éventuelles
de $\Gamma$.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la dérivée $f'(x)$.

Justifier que $f'(x)$ est du signe de $4 - 2\text{e}^x$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $4 - 2\text{e}^x \geqslant  0$.
		\item En déduire les variations de $f$ sur $\R$ et dresser son tableau de variations.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item  Calculer les coordonnées des points suivants :
	\begin{enumerate} 
		\item le point A, intersection de $\Gamma$ avec l'axe 
$\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$.
		\item le point B, d'abscisse $\ln 2$ sur $\Gamma$ ; 
		\item le point C, intersection de $\Gamma$ avec l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite 
tangente T à $\Gamma$ au point A.
		\item Soit le point D, intersection de T avec l'axe $\left(\text{O}~;~
\vect{\imath}\right)$.

Calculer les coordonnées de D.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\begin{enumerate}
\item Trouver une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.
\item Montrer que l'aire du domaine hachuré sur la figure est égale à 16 
cm$^2$.
\end{enumerate}

\begin{center}\psset{xunit=2.3cm,yunit=0.7cm} \begin{pspicture}(-2,-3)(3,8)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-2,-3)(3,8)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,0)(3,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-3)(0,8)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](-1.5,0){D} \uput[ul](0,3){A}
\uput[ur](0.69,4){B}  \uput[ur](1.38,0){C} \uput[dr](1.6,-2.6){$\Gamma$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}  
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[d](1.098,0){$\ln 3$}
\rput(0,7.5){La figure n'est pas à l'échelle.}
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(0.39,4)(0.99,4)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-2}{1.536}{4 2.71828 x exp sub 2.71828 x exp mul} 
\psclip{
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\psline(-2,-1)(2.5,8)
\end{pspicture} 
\end{center}
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