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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
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\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre 2000}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G. -- I.G. Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\décembre 2000}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

Dans un supermarché, le responsable de la cafétéria souhaite ajuster le nombre de repas préparés chaque jour, à la fréquentation du magasin.

Pour cela, il a fait faire une enquête qui a duré 10 jours. Chaque jour, les enquêteurs ont déterminé le nombre de clients entrant dans le magasin, exclusivement entre 10 heures et 11 heures, ainsi que le nombre exact de repas servis à la cafétéria ce midi-là.

On note $x_i$ le nombre de clients comptabilisés et $y_i$ le nombre de
 repas servis à la cafétéria le jour de rang $i$.
 
L'ensemble des résultats est donné dans le tableau suivant :

\begin{center} 
{\small\begin{tabular}{|l|*{10}{c|}}\hline
Rang $i$ du jour& 1 & 2 &  3&  4& 5& 6& 	7& 8 & 9 &	10\\ \hline
Nombre $x_i$ de clients & & & & & & & & & & \\
comptés entre &  820 &280&	910& 440& 750& 510& 900 & 250 & 800  & 310\\ 
10h et 11 h& & & & & & & & & & \\ \hline
Nombre $y_i$ de repas& & & & & & & & & & \\ 
servis à midi&400 & 207& 480& 323& 370& 290 &505 &175& 450 & 180\\ \hline
\end{tabular}} 
\end{center}
	
\begin{enumerate} 
\item Représenter sur un graphique le nuage de points 
$M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à la série statistique à deux variables 
$\left(x_i~;~ y_i\right)$.

En abscisse, 2~cm représenteront 100~clients et, en ordonnée, 2~cm représenteront 100~repas servis.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Pendant ces 10 jours, quel fut le nombre moyen de clients entrant dans le magasin entre 10 heures et 11 heures ?
		\item Sur la période de l'étude, combien de repas ont été servis en moyenne par jour ? 
			\item Placer le point moyen G du nuage.
	\end{enumerate}
\item On veut envisager un ajustement linéaire de la série.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les coordonnées de G$_1$, point moyen associé aux cinq points :

\[ \text{M}_2~;~\text{M}_4~;~\text{M}_6~;~\text{M}_8~ \text{et ~M}_{10}.\]

Calculer ensuite les coordonnées de G$_2$, point moyen associé aux cinq 
points :

\[\text{M}_1~ ;~\text{M}_3~;~\text{M}_5;~\text{M}_7~\text{et ~M}_9.\]
	
		\item Tracer la droite (G$_1$G$_2$) sur le graphique précédent. Déterminer, sous la forme $y = mx + p$, une équation de la droite (G$_1$G$_2$).

Les valeurs de $m$ et $p$ seront arrondies à $10^{-2}$ près par défaut. 
	\end{enumerate}

\item Un jour, entre 10~heures et 11~heures, le responsable de la cafétéria a compté 700~personnes qui entraient dans le supermarché. Par lecture graphique, estimer combien de repas seront servis à midi ce jour.
\item Le directeur du supermarché souhaite augmenter la capacité d'accueil du magasin. Pour des raisons pratiques, la cafétéria ne peut servir plus de 800~repas.

Par le calcul, estimer alors à partir de quel nombre de clients comptabilisés dans la tranche horaire de 10 heures à 11 heures, la cafétéria risque d'être saturée. Expliquer.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

Un artisan fabrique des objets décoratifs selon deux modèles (A) ou (B). Il cherche à optimiser sa production. Pour cela, il fait une étude en fonction de contraintes qu'il a identifiées. Il en donne une représentation graphique avec le schéma ci-après à rendre avec la copie (les solutions correspondent aux points de coordonnées entières de la zone non hachurée, frontières comprises).

Le nombre d'objets du modèle (A) est noté $x$ ; le nombre d'objets du modèle (B) est noté $y$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item La réalisation d'un objet du modèle (A) nécessite 150~francs
 de matière première. Celle d'un objet du modèle (B) en nécessite 350~francs. Pour une bonne gestion de son entreprise, la dépense journalière en matière première doit rester inférieure à\np{2800}~francs. Traduire cette contrainte par une inéquation.

Quelle droite du schéma est la frontière du demi-plan correspondant ?

Justifier.

\item La fabrication d'un objet du modèle (A) prend 48~minutes tandis que celle d'un objet du modèle (B) prend 30~minutes. L'artisan dispose de 8~heures de travail maximum par journée. Traduire cette contrainte par une inéquation.

Quelle droite du schéma est la frontière du demi-plan correspondant ?
Justifier.
\item Sur chaque objet du modèle (A) vendu, il réalise un bénéfice de 108~F. Sur chaque objet du modèle (B) vendu, il réalise un bénéfice de 90~F.
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer, en fonction de $x$ et de $y$ le bénéfice journalier $b$ qu'il peut réaliser.
		\item Tracer, sur la feuille annexe, la droite $\Delta_{756}$ qui, correspond à un bénéfice journalier de 756~F. (On suppose que l'artisan vend toute sa production.)

Déterminer graphiquement toutes les solutions qui conduisent à réaliser ce bénéfice de $756$~F. 
	\end{enumerate}
\item L'artisan souhaite réaliser un bénéfice maximum. Pour cela, déterminer graphiquement le nombre d'objets du modèle (A) et le nombre d'objets du modèle (B) qu'il doit réaliser (et vendre) chaque jour. Expliquer la méthode utilisée.

Quel sera ce bénéfice maximum ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}  \begin{pspicture}(-2,-2)(14,11)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-2,-2)(14,11) 
\pspolygon[fillstyle=hlines,hatchsep=12pt,hatchcolor=blue](-2,-2)(-2,11)(0,11)(0,0)(14,0)(14,-2)(-2,-2)
\pspolygon[fillstyle=hlines,hatchsep=12pt,hatchcolor=blue](3.125,11)(14,11)(14,-2)(11.25,-2)(3.125,11)
\pspolygon[fillstyle=vlines,hatchsep=12pt,hatchcolor=blue](-2,8.856)(-2,11)(14,11)(14,2)(-2,8.856)
\pspolygon[fillstyle=crosshatch,hatchsep=12pt,hatchcolor=blue](-2,7.364)(-2,11)(14,11)(14,4.455)(-2,7.364)
\rput(3,1.5){zone des fabrications possible}
\uput[d](13.5,0){$x$} \uput[l](0,10.5){$y$}
\uput[u](-2,9){D$_1$} \uput[u](13,4.6){D$_2$} \uput[u](4.5,9.5){D$_3$} 
\psaxes[Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-2,-2)(14,11)
\psline(10,0)(3.75,10) 
\end{pspicture} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 8 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[- 1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = x + \dfrac{1}{2} + 2\text{e}^{-x}.\]

$\mathcal{C}$ est la courbe représentative de $f$ dans un repère
 orthonormal \Oij{} (unité graphique : 2~cm).
 
\vspace{0,25cm}

\begin{center} \textbf{Étude de}~ $\boldsymbol{f}$ 
\textbf{et tracé de la courbe représentative de} $\boldsymbol{f}$ 
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$.

\item Vérifier que, pour tout $x$ de $[- 1~;~+ \infty[~:~f'(x) = 
\dfrac{\text{e}^x - 2}{\text{e}^x}$.

\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[- 1~;~+ \infty[$.

Dresser le tableau de variations de $f$.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = 
x + \dfrac{1}{2}$ est asymptote  oblique à la courbe représentative de $f$.
		\item Étudier la position respective de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'asymptote $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta$.
\end{enumerate}
		
\begin{center} \textbf{Calcul d'une aire} \end{center}
	
\begin{enumerate} 
\item Déterminer une primitive de $f$ sur $[- 1~;~+ \infty[$.
\item En déduire l'aire exacte, en cm$^2$, de la portion de plan 
comprise entre $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites 
d'équation $x = 0$ et $x = 2$.

On donnera une valeur décimale, arrondie à $10^{-2}$ près par 
excès, de cette aire.
\end{enumerate}
\end{document}