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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\hypersetup{%
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pdftitle = {Polynésie C.G. -- I.G. juin 2000},
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\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G. -- I.G. juin 2000}
\lfoot{\small{Polynésie}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G. - I.G.  Polynésie~\decofourright\\juin 2000}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

L'entreprise \og BOJOUET \fg{} assure la distribution de jeux et de jouets chez
des détaillants spécialisés.

L'évolution du chiffre d'affaires annuel (en milliers de francs)
de 1994 à 1999 est donnée par le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{| l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année						& 1994	&1995	&1996			&1997			& 1998 	&1999\\ \hline
Rang $x_{i}$				&1 		& 2		& 3 			& 4 			& 5 		& 6 \\ \hline
Chiffre d'affaires $y_{i}	$	& 830 	&  980 	&\np{1100} &\np{1225}&\np{1375} &  	
\np{1480}\\ \hline
\end{tabularx}
 \end{center}

\begin{enumerate} 
\item Représenter le nuage de points $M_{i}$ de coordonnées $(x_{i}~;~y_{i})$ dans le plan rapporté à un repère
    orthogonal :
    
$\bullet~$ 1 cm représente une année sur l'axe des abscisses ;

$\bullet~$ 1 cm représente 50~milliers de francs sur l'axe des ordonnées
et on commencera la graduation sur cet axe à $800$~milliers de francs.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les coordonnées du point moyen 
G$_{1}$ associé aux trois premières années du tableau, puis celles du point moyen G$_{2}$ associé aux trois dernières années.
		\item Déterminer par un calcul une équation de la droite (G$_{1}$G$_{2}$).

Tracer cette droite sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}
\item En utilisant la droite (G$_{1}$G$_{2}$), déterminer graphiquement
(on fera apparaître les tracés correspondants) :
	\begin{enumerate} 
		\item une estimation du chiffre d'affaires de l'entreprise en l'an 2000 ;
		\item à partir de quelle année le chiffre d'affaires dépasserait pour la première fois deux millions de francs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  4 points}

\medskip

Les \np{1200} étudiants d'un campus universitaire ont été questionnés sur deux de leurs activités de loisirs. Certains de ces étudiants 
participent à un atelier de création artistique : atelier de chant choral
ou atelier de danse contemporaine.

L'enquête a révélé que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 5\,\% des étudiants pratiquent le chant choral ;
\item[$\bullet~$] parmi les étudiants pratiquant le chant choral, $15\,\%$
pratiquent la danse contemporaine ;
\item[$\bullet~$] parmi les étudiants qui ne pratiquent pas le chant 
choral, $60\,\%$ ne pratiquent pas la danse contemporaine.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On donnera les probabilités demandées sous forme décimale 
arrondie à $10^{-2}$.

\begin{enumerate} 
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Nombre d'étudiants	& 	pratiquant		&ne pratiquant	& \\
du campus :				&	le chant choral 	& pas le chant	& Total	\\
 						&					&choral 		& \\ \hline
pratiquant la danse		& 					& 				& \\
contemporaine 			& 					& 				& \\ \hline 
ne pratiquant pas la  	& 					& 				& \\
danse contemporaine		& 					& 				& \\ \hline
Total 					& 					& 				&  200\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\item On interroge un étudiant du campus, pris au hasard.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la probabilité qu'il pratique la danse
    contemporaine.
		\item Calculer la probabilité qu'il ne participe à aucun atelier de création artistique.
		\item Calculer la probabilité qu'il pratique la danse contemporaine ou le chant choral.
	\end{enumerate}
\item On interroge au hasard un étudiant du campus qui pratique la danse
contemporaine.

Quelle est la probabilité qu'il pratique le chant choral ?

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[1~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{x^2}{2} \left(\dfrac{3}{2} - \ln x\right).\]

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : 1~cm).

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A - étude de} \boldmath $f$\unboldmath~ 
\textbf{et tracé de} \boldmath $\mathcal{C}$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x)$ peut
s'écrire sous la forme :

\[f'(x) = x(1 - \ln x).\]

		\item Résoudre dans $[1~;~+ \infty[$ l'inéquation : $1 - \ln x > 0$.

En déduire le signe de $f'(x)$ sur $[1~;~+ \infty[$. 
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous : on donnera 
des valeurs décimales arrondies à $10^{-2}$ près.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& 1 & 2 & 3& 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline
$f(x)$& & & & & & & \\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans $[1~;~+ \infty[$ l'équation $f(x) = 0$.
		\item En déduire les coordonnées du point D, point d'intersection 
de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la tangente T et la courbe $\mathcal{C}$. (Faire apparaître le point D.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Calcul d'aire}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $G$ la fonction définie sur $[1~;~+ \infty[$ par :
    
\[G(x) = \dfrac{1}{3}x^3\left(\ln x - \dfrac{1}{3}\right).\]

Montrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$ définie par : 
$g(x) = x^2 \ln x$.

\item En remarquant que $f(x)$ peut s'écrire $f(x) = \dfrac{3}{4}x^2 - \dfrac{1}{2}g(x)$, en  déduire une primitive $F$ de $f$ sur $[1~ ;~ + \infty[$.
\item Déterminer l'aire , en cm$^2$, de la région délimitée sur le 
graphique par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$
et les droites d'équations :  $x = 1$ et $x = \text{e}$.

(On donnera la valeur exacte de cette aire, puis sa valeur  décimale

arrondie à~ $\left. 10^{-2}\right)$.
\end{enumerate}
\end{document}