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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G. -- I.G.}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2000}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G. -- I.G. La Réunion~\decofourright\\juin 2000}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

Le tableau suivant indique le nombre d'inscrits à un rallye pédestre annuel organisé par une association de quartier.

\begin{center}
{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.75cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année& 1990  &1991 &  1992 &  1993 &  1994 &  1995 &  1996  & 1997 & 1998 
&1999\\ \hline
Rang $x_i$ de l'année& 1& 2& 3& 4& 5& 6&	7&  8 &9 &10\\ \hline 
Nombre d'inscrits $y_i$ & 25& 40& 42& 48& 55& 69 & 66 &70 & 79 &86\\  \hline
\end{tabularx}} 
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item Représenter le nuage de points $M(x_i~;~ y_i)$ associé à
 cette série statistique dans le repère orthogonal.

On choisira les unités suivantes :

$\bullet~$ 1 cm pour 1 année sur l'axe des abscisses ;

$\bullet~$ 1 cm pour 10 inscrits sur l'axe des ordonnées. 

\item On appelle G$_1$ le point moyen du premier sous-nuage constitué des cinq premiers points du nuage, et G$_2$ le point moyen du second sous-nuage constitué des cinq derniers points.

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les coordonnées de G$_1$ et de G$_2$.
		\item Placer les points G$_1$ et G$_2$ sur le graphique (on les notera avec une couleur différente de celle utilisée pour le nuage), puis tracer la droite (G$_1$G$_2$).
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite (G$_1$G$_2$).
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Estimer, par calcul, le nombre d'inscrits pour le rallye
 en l'an 2000.
		\item Estimer graphiquement, à partir de quelle année le nombre d'inscrits dépassera $105$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Un client reçoit, en cadeau, un ticket d'un jeu de grattage.

Sur chaque ticket figurent trois cases à gratter.

Pour chacune des deux premières cases, il est possible d'obtenir les lettres
 A, B, ou C.

Pour la dernière case, seules les lettres A ou B peuvent être obtenues.

Un résultat possible est une liste de trois éléments ; par exemple : CAB.

\begin{enumerate} 
\item Justifier qu'il y a 18 résultats possibles. (On pourra 
s'aider d'un arbre.)
\item On considère les évènements suivants :

E : \og obtenir 3 lettres identiques \fg{} ;

F : \og obtenir au plus un A \fg{} ;

G : \og obtenir 3 lettres distinctes \fg{} ;

H : \og obtenir au moins un C \fg{}.

Calculer les probabilités des évènements : E, F, G, H.
\item Montrer que la probabilité de l'évènement F $\cap$ H est égale à 
$\dfrac{4}{9}$.

Déduire la probabilité de l'évènement F $\cup$ H.

Les résultats des calculs de probabilité seront présentés sous forme de fractions irréductibles.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill  11 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (unité graphique 2~cm).

La courbe $\mathcal{C}$ représentée ci-après est la courbe représentative
 d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]- \infty~;~1]$.
 
La droite T$_1$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

La tangente T$_2$ est parallèle à l'axe des abscisses.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate} 
\item $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ sur
 $]- \infty~;~1]$.
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre graphiquement l'équation $f'(x) = 0$.
		\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f'(x) < 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Sachant que la tangente T$_1$ à la courbe $\mathcal{C}$
 au point d'abscisse $0$ passe par le point de coordonnées (1~;~1), trouver une équation de T$_1$.
\item En déduire $f'(0)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie sur $]- \infty~;~ 1]$ par :
	
\[f(x) = 3 - 2x\text{e}^x.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$
 tend vers $- \infty$ ; on donne $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x 
 \text{e}^x = 0$. 
		\item Interpréter graphiquement ce résultat.
		\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) > 3$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer le dérivée $f'$ de $f$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$.
		\item En déduire les variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère la fonction $G$ définie sur $]- \infty~;~1]$ par : 

\[G(x) =  (x - 1)\text{e}^x.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $G'(x)$.
		\item En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]- \infty~;~1]$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer en cm$^2$ la valeur exacte de l'aire du domaine 
limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = -2$ et la droite d'équation $x = 0$.
		\item En donner une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
 \begin{pspicture}(-4,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-3)(4,4)
\psline(-0.5,4)(3,-3) \psline(-4,3.7358)(4,3.7358)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-4}{1.05}{3 2 x mul 2.71828 x exp mul sub}
\uput[d](3,3.7358){T$_{2}$} \uput[ur](3,-2.7){T$_{1}$}
\uput[d](-4,2.8){$\mathcal{C}$} \uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture} 
\end{center}
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