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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G. -- I.G.}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2000}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G. -- I.G. Antilles--Guyane~\decofourright\\septembre 2000}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

Quatre personnes votent pour élire un candidat parmi deux, X ou Y.
 
Un candidat ne peut être élu au premier tour que s'il obtient la majorité absolue (au moins trois voix).
 
Chacun des votants doit voter pour un seul des deux candidats. On suppose tous les votes équiprobables.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l'arbre suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,6)
\rput(4,3){\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{}\taput{$X$}}
		{
\TR{}
\TR{}
 		}
	\pstree{\TR{}\tbput{$Y$}}
		{
\TR{}
\TR{}
 		}
}}
\rput(3,5.4){Vote de la 1\up{re}}
\rput(3,5){personne}
\rput(5,5.4){Vote de la 2\up{e}}
\rput(5,5){personne}
\rput(7,5.4){Vote de la 3\up{e}}
\rput(7,5){personne}
\rput(9,5.4){Vote de la 4\up{e}}
\rput(9,5){personne}
\end{pspicture} 
\end{center}

\item On considère les deux évènements suivants :
 
$A$ : \og Le candidat X est élu au premier tour \fg. 

$B$ : \og Le candidat Y est élu au premier tour \fg.
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $A$ et celle de l'évènement $B$. 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $A\:\cup\:B$.
	\end{enumerate}		 
\item Calculer la probabilité de l'évènement $C$ : \og Aucun des candidats n'est élu au premier tour \fg.
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Pour un échantillon de $15$ millions de foyers français, on dispose des informations portées dans le tableau suivant, concernant l'équipement informatique :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &1995 & 1996 & 1997 & 1998 & 1999 & 2000\\ \hline 
Rang de l'année : $x_{i}$& 0 &1 &2 &3 &4 & 5\\ \hline 
Nombre de foyers équipés en millions : $y_{i}$& 0,5 & 1 & 1,2 & 2,2 & 3 & 3,8\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item Représenter, dans le plan rapporté à un repère orthogonal, le nuage des points $M_{i}$ de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé aux informations ci-dessus, où $x_{i}$ représente le rang de l'année et $y_{i}$ le nombre de foyers équipés.
 
Unités graphiques: sur l'axe des abscisses, 2~cm représentent 1~année et sur l'axe des ordonnées, 5~cm représentent 1~million de foyers. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point moyen $G_{1}$ du nuage formé des points $M_{0},\: M_{1}$, et $M_{2}$. 
		\item Vérifier que les coordonnées du point moyen $G_{2}$ du nuage formé des points $M_{3},\: M_{4}$ et $M_{5}$ sont (4~;~3). 
		\item On réalise un ajustement du nuage à l'aide de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$. Déterminer une équation de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ et tracer cette droite sur le graphique précédent.
	\end{enumerate} 
\item En utilisant l'équation de la droite d'ajustement de la question 2 : 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une estimation du nombre de foyers qui seraient équipés d'un ordinateur en l'an 2002. 
		\item Déterminer à partir de quelle année on peut estimer que 40\,\% des foyers seraient équipés d'un ordinateur.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 11 points}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip 

\emph{L'objectif de cette partie est l'étude du signe d'un polynôme du second degré}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $x$, on pose 

\[P(x) = x^2 + 4x + 3.\]
 
Résoudre l'équation: $P(x) = 0$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $P(x) = (x + 1)(x + 3)$. 
		\item Déterminer, en fonction de $x$, le signe de $P(x)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

L'objectif de cette partie est l'étude d'une fonction. Seule la question B. 2. a. dépend de la partie A.

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 

\[f(x) = (x + 3)^2 \text{e}^{-x}.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
		\item Vérifier que, pour tout réel $x,\: f(x) = \dfrac{x^2}{\text{e}^{x}}+ \dfrac{6x}{\text{e}^{x}} + \dfrac{9}{\text{e}^{x}}$. 
		\item Donner $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^{x}}{x^2}$ et 	$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^{x}}{x}$. 

En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x^2}{\text{e}^{x}}$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{\text{e}^{x}}$, puis $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
		\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ puis vérifier que $f'(x) = - P(x) \text{e}^{-x}$. 
		\item À partir du signe de $P(x)$ trouvé en partie A, étudier le signe de $- P(x) \text{e}^{-x}$.

En déduire le tableau de variations de $f$.
	 \end{enumerate} 
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera les valeurs décimales arrondies à $10^{- 2}$) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$- 3,5$&$- 3$	&$- 2$&$- 1$& 0 &1& 2&	3 &	3,5 \\ \hline
$f(x)$	& 		& 		& & & & & & &\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$, dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij, pour les abscisses appartenant à l'intervalle I = $[- 3,5~;~3,5]$. (Unité graphique : 1~cm).
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
L'objectif de cette partie est l'étude d'une aire liée à la fonction étudiée en partie B.
 
On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par 

\[F(x) = \left(- x^2 - 8x - 17\right) \text{e}^{- x}.\]

 Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer sur le graphique de la question B. 4. le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 3$. 
		\item Calculer l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en cm$^2$, de la partie hachurée. On donnera la valeur exacte de $\mathcal{A}$ et sa valeur décimale arrondie à $10^{- 1}$. 
	\end{enumerate}
\end{document}