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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT A.C.A. - A.C.C.}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat 
STT A.C.A. - A.C.C. Antilles-Guyane~\decofourright\\  juin 2003}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Le 5 janvier 2002, on se trouvait en période de transition pour le passage à l'euro, c'est-à-dire qu'on avait le choix entre les euros et les francs pour régler les achats en liquide.
 
Ce jour-là, sur requête d'un organisme de sondage, la direction d'un supermarché relève la répartition, en fonction de leur tranche d'âge, le nombre de personnes payant en francs et de celles payant en euros.
 
L'étude a été effectuée sur \np{1500}~clients. On a obtenu les résultats suivants : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 30\,\% des clients avaient moins de 35 ans ; 
\item[$\bullet~~$] $200$ personnes avaient plus de 70 ans, et celles-ci ont toutes payé leurs achats en francs ; 
\item[$\bullet~~$] $525$ clients ont réglé leurs achats en euros, et parmi eux, 80\,\% étaient âgés de moins de 35 ans.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item Recopier puis compléter le tableau suivant : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Nombre de clients ayant payé en francs &Nombre de clients ayant payé en euros &TOTAUX\\ \hline 
moins de 35 ans&&&\\ \hline 
35 à 70 ans&&& \\ \hline
plus de 70 ans&&& \\ \hline
Totaux&&& \np{1500} \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item On téléphone, au hasard, à l'un de ces \np{1500}~clients. On considère les évènements A et B suivants :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ : \og c'est un client âgé de plus de 35 ans\fg ; 
\item[$\bullet~~$] $B$ : \og c'est un client qui a payé en francs \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $A$.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $B$.
		\item Définir concrètement, par une phrase, l'évènement $A\: \cap\: B$, puis calculer sa probabilité.
		\item En déduire la probabilité de l'évènement $A\: \cup\: B$.
On donnera les résultats sous forme décimale. 
	\end{enumerate}
\item On téléphone au hasard maintenant à un client qui a payé en francs. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que ce client soit âgé de plus de 35 ans? Donner la valeur arrondie au centième de cette probabilité.
		\item Traduire le dernier résultat par une phrase en terme de pourcentage. 
	\end{enumerate}
\item Obtient-on le même résultat aux questions 2. c et 3. a ? Comment peut-on l'expliquer ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip
 
Dans tout l'exercice, on arrondira, si nécessaire, les résultats à l'euro près.

\medskip

En janvier 2000, M. Dupond a créé une petite entreprise qui fabrique des ordinateurs haut de gamme. Pour des raisons de matériel et de personnel, l'entreprise ne peut pas fabriquer plus de 35 ordinateurs par mois.
 
On suppose que l'entreprise parvient à vendre toute sa production, quel que soit le nombre d'ordinateurs fabriqués.

\bigskip
 
\textbf{Partie A : Lectures graphiques}

\medskip 

Les courbes figurant en annexe représentent :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] le coût total de production (charges, salaires, matériel, etc ... ), en centaines d'euros, en fonction du nombre d'ordinateurs produits (courbe C) . 
\item[$\bullet~~$] la recette totale, en centaines d'euros, engendrée par la vente de ces $x$ ordinateurs (droite R passant par 0).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Par exemple, 450 sur l'axe des ordonnées se lit : \np{45000}~euros.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Peut-on dire que la recette est proportionnelle au nombre d'ordinateurs vendus ? Pourquoi ?
		\item Préciser le montant des coûts fixes. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le coût total de production de 10 ordinateurs et faire apparaître le tracé sur le graphique. 
		\item En déduire le coût unitaire de production, c'est-à-dire le coût d'un ordinateur lorsqu'on en fabrique 10.
		 
Quel est ce coût unitaire si l'on fabrique 15 ordinateurs ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner, en justifiant, le bénéfice réalisé par l'entreprise suite à la production et à la vente de 10 ordinateurs.
		\item L'entreprise réalise-t-elle des bénéfices quel que soit le nombre d'ordinateurs fabriqués? 

Si oui, justifier; si non, pour quelles quantités d'ordinateurs est-elle bénéficiaire?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude de la fonction bénéfice}

\medskip 

Les courbes $R$ et $C$ représentent en réalité les fonctions $r$ et $c$ définies pour $x$ dans l'intervalle [0~;~35] par : 

\[r(x) = 35x \quad \text{et}\quad c(x) = x^2 + 5x + 125,\] 

où $r$ est la recette, en centaines d'euros, engendrée par la vente de $x$ ordinateurs, et $c$ le coût total de production, en centaines d'euros, de $x$ ordinateurs. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $B$ donnant le bénéfice en fonction du nombre $x$ d'ordinateurs produits et vendus, est définie, pour $x$ dans l'intervalle [0~;~35] par :
 
\[B(x) = -x^2 + 30x - 125.\]

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $B'(x)$, où $B'$ est la fonction dérivée de la fonction $B$. 
		\item Étudier le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [0~;~35] puis construire le tableau de variations complet de la fonction $B$.
		\item Pour quelle quantité produite l'entreprise de M. Dupond réalisera-t-elle le bénéfice maximal ? Quel est alors ce bénéfice ?
		\item En comparant le précédent résultat avec ceux de la partie A, que pensez vous de l'affirmation suivante : \og pour que le bénéfice soit maximal, il suffit que le coût unitaire soit le plus bas possible \fg.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Application}

\medskip 

\emph{Cette partie peut être traitée même si les précédentes ne l'ont pas été.
\\Arrondir les résultats à l'euro le plus proche.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose que l'entreprise réalise \np{10000} euros de bénéfice par mois lors de la 1\up{re} année (en 2000). À la fin de l'année 2000, après avoir déduit impôts et investissements, M. Dupond constate un reste de 8\,\% du bénéfice de l'année; il appelle cette somme \og bénéfice net de l'année 2000 \fg, en euros; on la notera $B_{0}$. 

Montrer que $B_{0} = \np{9600}$.

Dans la suite, on appelle $B_{n}$ le \og bénéfice net \fg{} réalisé par l'entreprise pendant l'année $2000 + n$. 
\item Grâce à l'amélioration de l'outil de production, on suppose que le \og bénéfice net\fg{} augmentera de 3\,\% chaque année. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le \og bénéfice net\fg{} $B_{1}$ réalisé au cours de l'année 2001. 
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(B_{n}\right)$ ? Justifier. 
		\item Donner le \og bénéfice net \fg{} prévu en 2005. 
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer en quelle année le \og bénéfice net de l'année \fg{} sera supérieur à 12 000 euros.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{2cm}
\begin{center}	 
\textbf{\Large Annexe}

\vspace{3cm}

\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.007cm}
\begin{pspicture}(-2,-100)(30,1200)
\multido{\n=0+1}{29}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1100)}
\multido{\n=0+25}{45}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(28,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=100]{->}(0,0)(30,1200)
\psplot{0}{28}{35 x mul}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{28}{5 x mul x dup mul add 125 add}
\uput[r](0,1200){en centaines d'euros}
\uput[d](21,-70){nombre d'ordinateurs produits }\uput[u](27,1000){C}\uput[d](27,940){R}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}