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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT A.C.A. - A.C.C.}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat 
STT A.C.A. - A.C.C. La Réunion~\decofourright\\  juin 2003}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Un pays en voie de développement comptait, en l'an 2000, trois millions d'enfants d'âge
compris entre six et onze ans. Seuls \np{700000} d'entre eux étaient scolarisés.
Dans tout cet exercice, on comparera la \og population d'âge scolaire \fg, c'est à dire le nombre d'enfants dont l'âge est compris entre six et onze ans, et la \og population scolarisée \fg, c'est à dire
le nombre des enfants d'âge scolaire qui sont inscrits dans une école.
La population d'âge scolaire de ce pays augmente de 2\:\% par an et la population scolarisée augmente de \np{150000} par an.
\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année& Population d'âge scolaire& Population scolarisée\\ \hline
2000& \np{3000000}	& \np{700000}\\ \hline
2001&					&\\ \hline
2002&					&\\ \hline
2003&					&\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}
\item  Quel est le pourcentage de la population scolarisée dans ce pays en 2000 et 2003 ?
\item  $n$ est un nombre entier positif. On note $P_{n}$ la population d'âge scolaire de ce pays en l'an $2000 + n$ et $S_{n}$ la population scolarisée cette même année.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(P_{n}\right)$ est une suite géométrique. En déduire l'expression de $P_{n}$ en fonction de $n$.
		\item  Montrer que la suite $\left(S_{n}\right)$ est une suite arithmétique. En déduire l'expression de $S_{n}$ en fonction de $n$.
 	\end{enumerate}
\item  En s'aidant de la calculatrice, déterminer en quelle année on peut espérer que, pour la première fois, plus de la moitié de la population d'âge scolaire sera scolarisée.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip
 
\emph{Dans tout l'exercice, on arrondira, si nécessaire, les résultats à l'euro près.}

\medskip
 
En janvier 2000, M. Dupond a créé une petite entreprise qui fabrique des ordinateurs haut de gamme. Pour des raisons de matériel et de personnel, l'entreprise ne peut pas fabriquer plus de 35~ordinateurs par mois.
 
On suppose que l'entreprise parvient à vendre toute sa production, quel que soit le nombre d'ordinateurs fabriqués.

\medskip
 
\textbf{Partie A : Lectures graphiques}

\medskip
 
Les courbes figurant en annexe représentent :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  le coût total de production (charges, salaires, matériel, etc ... ), en centaines d'euros, en fonction du nombre d'ordinateurs produits (courbe $\mathcal{C}$). 
\item[$\bullet~$] la recette totale, en centaines d'euros, engendrée par la vente de ces $x$ ordinateurs (droite $R$ passant par O).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Par exemple, 450 sur l'axe des ordonnées se lit : \np{45000}~euros.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Peut-on dire que la recette est proportionnelle au nombre d'ordinateurs vendus? Pourquoi ? 
		\item   Préciser le montant des coûts fixes.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le coût total de production de 10~ordinateurs et faire apparaître le tracé sur le graphique.
		\item  En déduire le coût unitaire de production, c'est-à-dire le coût d'un ordinateur lorsqu'on en fabrique 10.
		
Quel est ce coût unitaire si l'on fabrique 15 ordinateurs ?
 	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner, en justifiant, le bénéfice réalisé par l'entreprise suite à la production et à la vente de 10~ordinateurs. 
		\item L'entreprise réalise-t-elle des bénéfices quel que soit le nombre d'ordinateurs fabriqués ?
		 
Si oui, justifier ; si non, pour quelles quantités d'ordinateurs est-elle bénéficiaire ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Partie B : Étude de la fonction bénéfice}

\medskip  
 
 
Les courbes $R$ et $\mathcal{C}$ représentent en réalité les fonctions $r$ et $c$ définies pour $x$ dans l'intervalle $[0~;~35]$ par : 

\[r(x) = 35x\quad  \text{et}\quad  c(x) = x^2 + 5x + 125,\]
 
où $r$ est la,recette, en centaines d'euros, engendrée par la vente de $x$ ordinateurs, et $c$ le coût total de production, en centaines d'euros, de $x$ ordinateurs.
 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction $B$ donnant le bénéfice en fonction du nombre $x$ d'ordinateurs produits et vendus, est définie, pour $x$ dans l'intervalle $[0~;~35]$ par:

\[B(x) = - x^2 + 30x - 125.\]  

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $B'(x)$, où $B'$ est la fonction dérivée de la fonction $B$. 
		\item  Étudier le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle $[0~;~35]$ puis construire le tableau de variations complet de la fonction $B$. 
		\item  Pour quelle quantité produite l'entreprise de M. Dupond réalisera-t-elle le bénéfice maximal ? Quel est alors ce bénéfice ? 
		\item  En comparant le précédent résultat avec ceux de la partie A, que pensez vous de l'affirmation suivante : \og pour que le bénéfice soit maximal, il suffit que le coût unitaire soit le plus bas possible \fg.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Partie C : Application}

\medskip
  
\emph{Cette partie peut être traitée même si les précédentes ne l'ont pas été. Arrondir les résultats à l'euro le plus proche.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On suppose que l'entreprise réalise \np{10000}~euros de bénéfice par mois lors de la 1\up{e} année (en 2000). À la fin de l'année 2000, après avoir déduit impôts et investissements, M. Dupond constate un reste de 8\:\% du bénéfice de l'année ; il appelle cette somme \og bénéfice net de l'année 2000 \fg, en euros ; on la notera $B_{0}$.
 
Montrer que $B_{0} = \np{9600}$.
 
Dans la suite, on appelle $B_{n}$ le \og bénéfice net \fg réalisé par l'entreprise pendant l'année $2000 + n$. 
\item Grâce à l'amélioration de l'outil de production, on suppose que le \og bénéfice net \fg{} augmentera de 3\:\% chaque année. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le \og bénéfice net \fg{} $B_{1}$ réalisé au cours de l'année 2001. 
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(B_{n}\right)$ ?
Justifier. 
		\item Donner le \og bénéfice net \fg{} prévu en 2005. 
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer en quelle année le \og bénéfice net de l'année \fg{} sera supérieur à \np{12000}~euros. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\begin{center}

\textbf{Annexe} 

\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.01cm}
\begin{pspicture}(30,1300)
\multido{\n=0+1}{29}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1100)}
\multido{\n=0+25}{45}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(28,\n)}
\uput[d](23,-50){nombre d'ordinateurs produits}
\uput[r](0,1200){en centaines}
\uput[r](0,1150){d'euros}
\psplot[linecolor=green,plotpoints=50000,linewidth=1.25pt]{0}{28}{35 x mul}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=50000,linewidth=1.25pt]{0}{28}{x dup mul 5 x mul add 125 add}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100]{->}(0,0)(30,1250)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}