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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT A.C.A. - A.C.C.}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2002}}
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STT A.C.A.-A.C.C.~\decofourright\\ France   septembre 2002 }} 
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\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

Dans tout l'exercice, la période concernée s'étend de 1993 à 2001 et les prix sont en francs.

Monsieur et Madame C. possédaient chacun une voiture du même 
modèle achetée neuve en janvier 1993 aux prix de \np{74500}~F. Ils 
faisaient à peu près le même nombre de kilomètres par an.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item  Madame C. a changé de voiture tous les deux ans, au mois de 
janvier, pour un véhicule neuf du même type. à chaque renouvellement, elle a souscrit un contrat d'entretien qui lui a coûté $562$~F. En janvier 1995, elle a acheté un véhicule neuf qui valait \np{74500}~F et son  concessionnaire lui a repris son ancienne voiture au prix de \np{55050}~F. Les conditions d'achat, d'entretien et de reprise des véhicules successifs sont restées 
les mêmes jusqu'en janvier 2001 inclus.
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que la dépense effectuée par Madame C. pour 
l'entretien et le changement de son véhicule en janvier 1995 était de 
\np{20012}~F.
		\item Quelle dépense globale $S$, en francs, Madame C. a-t-elle 
effectuée pendant la période de janvier 1993 à janvier 2001 après 
l'acquisition de son cinquième véhicule, sachant qu'elle avait pris un contrat d'entretien en janvier 1993 ?

	\end{enumerate}

\item Monsieur C., lui, a gardé la voiture achetée en janvier 1993 
jusqu'en janvier 2001, date à laquelle il a décidé d'en changer. Il a 
alors fait le bilan de toutes les dépenses qu'il a effectuées pour l'entretien de 
cette voiture.

Durant l'année 1993, il avait dû faire une simple révision qui 
lui a coûté $216$~F. Puis, il a constaté que les frais d'entretien 
augmentaient chaque année de $60\:\%$.

On note $v_0~ (v_0 = 216)$ le montant en francs des dépenses 
effectuées par Monsieur C. pour l'entretien de sa voiture durant l'année 1993  et plus généralement $v_n$ le montant, en francs, des dépenses qu'il a  effectuées pour l'entretien durant l'année $1993 + n$ , où $n$ est un entier compris 
entre 1 et 7.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer $v_1$ et $v_2$.
		\item Exprimer $v_1$ en fonction de $v_0$, puis $v_2$ en fonction de $v_1$ et, plus généralement, $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique jusqu'au terme $v_7$.

Donner la raison $b$ de cette suite.
		\item Quelle somme $s$, Monsieur C. a-t-il dépensée pour l'entretien de sa voiture de janvier 1993 à janvier 2001 ? Cette somme sera arrondie au franc près.
		\item En janvier 2001, le concessionnaire a repris la voiture de Monsieur C. au prix de \np{8500}~F et il lui a vendu un véhicule neuf à \np{74500}~F.

Déterminer la somme globale $S'$, en francs, que Monsieur C. a 
dépensée pendant la période de janvier 1993 à janvier 2001 après l'achat de son deuxième véhicule.
	\end{enumerate}
\item Qui de Madame C. ou Monsieur C. a géré au mieux la fa\c{c}on de 
changer sa voiture ? Justifier.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

Sur une autoroute, le prix du péage est de 0,07~\euro{} par kilomètre. La société qui exploite l'autoroute propose aux usagers un abonnement aux conditions suivantes :

$\bullet~$ achat d'une carte annuelle d'un coût de 56~\euro.

$\bullet~30\:\%$ de réduction sur le prix du kilomètre aux titulaires de la carte.

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A : choix d'un automobiliste}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Un automobiliste parcourt \np{10000}~km sur 
l'autoroute dans l'année.
	\begin{enumerate} 
		\item Combien paie-t-il sans abonnement ?
		\item Combien paie-t-il avec abonnement?
		\item Quel est le pourcentage d'économie réalisé s'il prend un 
abonnement ?
	\end{enumerate}
\item Les fonctions $f$ et $g$ sont définies de la fa\c{c}on suivante

$\bullet~ f(x)$ est le coût du péage pour un automobiliste non abonné 
parcourant $x$ kilomètres dans l'année ;

$\bullet~ g(x)$ est le coût du péage pour un automobiliste abonné 
parcourant $x$ kilomètres dans l'année.
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer $f(x)$ en fonction de $x$.
		\item Montrer que $g(x) = 0,049x+ 56$.
		\item Représenter graphiquement les fonctions $f$ et $g$ dans un même repère, sur l'intervalle $[0~;~\np{10000}]$.

Sur l'axe des abscisses, un centimètre représente \np{1000}~km et sur l'axe des ordonnées, un centimètre représente 100~\euro.
		\item Résoudre par le calcul l'inéquation $g(x) \leqslant f(x)$.

En déduire la distance parcourue, arrondie au km, à partir de 
laquelle l'automobiliste a intérêt à s'abonner.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B :  étude du pourcentage d'économie}

\medskip

Un automobiliste parcourt plus de \np{3000}~km par an.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Le pourcentage d'économie qu'il réalise pour $x$ kilomètres 
parcourus au cours d'une année d'abonnement est donné par :

\[p(x) = \dfrac{f(x) - g(x)}{f(x)}.\]

Montrer que $p(x) = 0,3 - \dfrac{800}{x}$.

\item On étudie la fonction $p$ définie sur l'intervalle [\np{3000}~;~\np{20000}] 
par :

\[p(x) = 0,3 - \dfrac{800}{x}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item On note $p'$ la fonction dérivée de la fonction $p$. Calculer $p'(x)$.
		\item En déduire le sens de variations de la fonction $p$ sur l'intervalle
		
[\np{3000}~;~\np{20000}].

	\end{enumerate}
\item Le plan est rapporté à un repère orthogonal. Sur l'axe des 
abscisses, un centimètre représente \np{1000} km et sur l'axe des ordonnées un centimètre représente 0,02 c'est-à-dire $2\:\%$.

Tracer la courbe représentative de la fonction $p$ sur l'intervalle [\np{3000}~;~\np{20000}].
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item À partir de combien de kilomètres parcourus en 
une année le pourcentage d'économie dépasse-t-il $25\:\%$ ?
		\item Ce pourcentage peut-il dépasser $30\:\%$ ? Justifier votre réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}