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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat  STT ACC -- ACA}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT ACC - ACA Polynésie ~\decofourright\\juin 2003}} 
    
\vspace{0,5cm}

Coefficient 2  \hfill Durée 2 heures

\vspace{0,5cm}

La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 8 points}

\medskip

À l'approche des élections municipales un institut de sondage procède à une enquête d'opinion dans la commune de Nouvelleville en interrogeant \np{1000} personnes.

Les questions posées concernent la lecture des journaux régionaux qui sont au nombre de deux, le \emph{Flash} et l'\emph{éclair}, ainsi que les intentions de vote pour l'un des deux candidats, Monsieur Lemaire et Madame Bourgmestre. Les résultats sont publiés par l'institut de sondage dans les deux graphiques reproduits ci-dessous :

\textbf{Graphique 1}

Pourcentage des lecteurs des journaux \emph{Flash} et \emph{éclair} à Nouvelleville

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(13,6)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,0)(3,3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5,0)(7,3.7)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](9,0)(11,4.5)
\uput[u](2,3){30} \uput[u](6,3.7){37} \uput[u](10,4.5){45}
\psframe(0,0)(13,6)
\uput[d](2,0){Lecteurs de \emph{Flash}} \uput[d](6,0){Lecteurs de l'\emph{éclair}}
\uput[d](10.5,0){Personnes ne lisant aucun}
\uput[d](10.5,-0.75){des deux journaux}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Graphique 2}

Intentions de vote en \% des personnes interrogées.

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.45mm}
\begin{pspicture}(15,100)
\psline(0,0)(12,0)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(1.5,55) 
\psframe(0,55)(1.5,91.1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,91.1)(1.5,100)
\rput(0.75,27.5){55} \rput(0.75,78){36,1} 
\rput(0.75,95.55){8,9}%colonne 1
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,0)(4.5,14.8) 
\psframe(3,14.8)(4.5,76.5) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3,76.5)(4.5,100)
\rput(3.75,7.4){14,8} \rput(3.75,45.25){62} 
\rput(3.75,87.4){23,2}%colonne 2
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6,0)(7.5,35) 
\psframe(6,35)(7.5,74.2) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](6,74.2)(7.5,100)
\rput(6.75,17.5){35} \rput(6.75,54.6){39,2} 
\rput(6.75,87.1){25,8}%colonne 3 
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](9,0)(10.5,44) 
\psframe(9,44)(10.5,78) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](9,78)(10.5,100)
\rput(9.75,22){44} \rput(9.75,61){34} \rput(9.75,89){22} 
\uput[d](0.5,0){Lecteurs exclusifs} \uput[d](3.75,0){Lecteurs exclusifs}
 \uput[d](6.75,0){Lecteurs des} 	\uput[d](10.5,0){Personnes ne lisant aucun}
\uput[d](0.5,-7.5){de	 \emph{Flash}}  \uput[d](3.75,-7.5){de l'\emph{éclair}}
\uput[d](6.75,-7.5){deux journaux}	\uput[d](10.5,-7.5){aucun des deux journaux}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](11.5,70)(11.9,74)
\rput(12,65){Sans avis}
\psframe(11.5,50)(11.9,54)
\rput(12,45){Bourgmestre}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](11.5,30)(11.9,34)
\rput(12,25){Lemaire}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate}
\item Comment expliquez-vous que le total des pourcentages du graphique 1 excède 100\:\%  ?

\item On interroge au hasard l'une des \np{1000} personnes ayant répondu au sondage.

En utilisant le graphique 1 :

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement : \og la personne lit le journal Le Flash \fg{}.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement : \og la personne ne lit aucun des deux journaux \fg{}.

		\item Montrer que la probabilité de l'évènement: \og la personne lit les deux journaux \fg{} est égale à 0,12.
		\item En déduire la probabilité que la personne lise uniquement Le  Flash.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur les mille personnes interrogées, 180 sont des lecteurs exclusifs du journal \emph{Le Flash}. Montrer, en utilisant le graphique 2, que parmi celles-ci 99 disent voter pour Monsieur Lemaire.
		\item Reproduire le tableau suivant et, à l'aide des pourcentages du graphique 2, le compléter en y indiquant les effectifs :
 
{\scriptsize \begin{center}
 \begin{tabular}{|l|*{5}{c|}}\hline
\backslashbox{Intentions}{Journaux}&	\emph{Flash} &	L'\emph{éclair}&	Les deux&
Aucun des			&	Total\\
de vote				&uniquement 	& uniquement& journaux	&deux journaux &\\ \hline	
Monsieur Lemaire 	& 99 			& 			& 				& 	& \\ \hline
Madame Bourgmestre & 				& 			& 				& 	& \\ \hline
Sans avis 			& 				& 			& 				& 	& \\\hline
Total				&	180			&	250		&	120			&	&	\np{1000}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}}

		\item Parmi les \np{1000} personnes ayant répondu au sondage, quel est le pourcentage d'intentions de vote pour Madame Bourgmestre ? Pour Monsieur Lemaire ?
		\item Parmi les personnes ayant exprimé un avis, quel est le pourcentage d'intentions de vote pour Madame Bourgmestre ? Pour Monsieur Lemaire ?

D'après le sondage lequel des deux candidats semble le mieux placé pour 
remporter les élections ?
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

La commune de Nouvelleville a connu ces dernières années un accroissement rapide de sa population.
 
\vspace{0,25cm} 

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le tableau ci-dessous indique le nombre d'habitants de Nouvelleville de  1990 à 2000 :

{\footnotesize \begin{center}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année & 1990 & 1991 &1992 & 1993 &1994 &1995 \\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$ & 0& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
Nombre d'habitants $y_{i}$ & \np{10000}& \np{12100}&  \np{14300} &  \np{16540} 
&\np{18720} &\np{20740}\\ \hline \hline 
Année & 1996 & 1997 &1998 & 1999 & 2000 & \\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$& 6 & 7 &8 & 9 &  10 & \\ \hline
Nombre d'habitants $y_{i}$&\np{22540} & \np{24090} &  \np{25390} & \np{26440} &\np{27280} &\\  \hline
\end{tabularx}
\end{center} } 

	\begin{enumerate}
		\item Représenter dans un repère orthogonal le nuage des points $M_{i}$ de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ correspondant au tableau précédent, en prenant des unités telles que 1~cm représente 1 année en abscisse et \np{2000}~habitants en ordonnée.
		\item Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points. On arrondira le résultat À l'unité la plus proche.
		\item Soit A le point de coordonnées $(0~;~\np{10924})$. Déterminer une équation de la droite (AG). Tracer cette droite dans le repère précédent.
		\item En l'an 2000, le maire de Nouvelleville utilise la droite 
d'ajustement $D$ d'équation $y = 1781 x + \np{10924}$ pour prévoir la population de l'an 2002. 

Quelle est sa prévision de population pour l'an 2002 ?
	\end{enumerate}
\item En fait, la population de Nouvelleville en l'an 2002 s'élève à 
\np{28440}~habitants. Quel est en pourcentage l'erreur faite par le maire dans sa  prévision par rapport à la population réelle de 2002 ?
\end{enumerate}

\hspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'ajustement affine déterminé dans la question 1 ne donnant pas 
satisfaction, Monsieur le maire de Nouvelleville demande à un mathématicien de lui proposer un meilleur modèle d'évolution de la population de sa ville.

Celui-ci indique que la population de l'année $1990 + n$ peut être estimée par la formule 
 
 \[p(n) = 2n^3 - 132 n^2 + 2898n + \np{9412}.\]
 
Vérifier que $p(12)$ diffère de la population réelle de 2002 de moins 
 de $1\:\%$.

\item On considère la fonction $p$ définie sur l'intervalle [0~;~30] par :

\[p(x) = 2x^3 - 132x^2 + 2898x^+ \np{9412}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p'(x)$ où $p'$ désigne la dérivée de la fonction $p$.
		\item Vérifier que pour tout réel $x ~:~p'(x) = 6(x - 21)(x - 23)$.
		\item Étudier le signe de $p'(x)$ sur l'intervalle [0~;~30] et dresser le tableau de variations de la fonction $p$.
		\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant de la 
fonction $p$ :

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& 0	& 3 	& 6 & 9 	& 12 	& 15\\ \hline
$p(x)$	& 		& 	& 		& 		& 		& \\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item Représenter graphiquement la fonction $p$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~15 ] dans le repère du nuage de points de la partie A.
		\item Déterminer graphiquement à partir de quelle année on peut estimer que la population de Nouvelleville dépassera \np{29500}~habitants.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}