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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT A.C.C. - A.C.A.}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
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\begin{center}{\Large{
\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT A.C.C. -- A.C.A. Métropole~\decofourright\\
 juin 2002}}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

Afin d'acquérir et d'aménager une boutique du centre ville, un investisseur décide de contracter un emprunt d'un montant de \np{100000} euros. Dans le but d'obtenir les meilleures conditions pour ce prêt, il a contacté deux banques A et B. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item La banque A lui propose de rembourser ce prêt sur
 7 ans, en 7~annuités, chacune des annuités étant un des termes consécutifs d'une suite arithmétique de premier terme $u_0 = \np{15000}$ euros (montant du premier remboursement) et de raison $a = \np{1800}$ euros. 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer le montant de chacun des trois versements suivants, notés $u_1,~ u_2$ et $u_3$.
		\item Quel est le montant du dernier versement, noté $u_6$ ?
		\item Quelle serait la somme totale finalement remboursée si 
l'investisseur acceptait la proposition de la banque A ?
	\end{enumerate} 
\item La banque B lui propose également de rembourser ce
 prêt sur 7 ans en 7~versements mais à des conditions différentes de celles de la banque A. Le premier remboursement annuel, noté $v_0$, serait d'un montant de \np{20000}~euros ; les remboursements suivants notés $v_1,~ v_2,~v_3,~v_4,~ v_5$ et $v_6$, seraient chacun en augmentation de  $2\:\%$ par rapport au remboursement précédent. 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $v_1$ et $v_2$.
		\item Préciser par quel calcul on passe de $v_0$ à $v_1$, de $v_1$ à $v_2$ ?
		\item Montrer que $v_0,~ v_1,~v_2,~v_3,~ v_4,~v_5$ et $v_6$ sont les termes consécutifs d'une suite géométrique dont vous donnerez la raison $b$.
		\item Quelle serait la somme totale finalement remboursée si 
l'investisseur acceptait la proposition de la banque B ? (donner la valeur arrondie à l'euro le plus proche).
	\end{enumerate} 
\item Quelle banque offre à notre emprunteur la solution
 la plus avantageuse ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Un commerçant a ouvert en janvier 2001 une boutique au centre ville.
 Il a relevé sur les dix premiers mois de l'année 2001 le nombre de
 clients ayant effectué un achat dans sa boutique et a obtenu le
 tableau suivant :

\small{\begin{center} \begin{tabular}{|m{1.3cm}|*{10}{c|}}\hline 
Mois & janv. &fév. &mars & avril &mai &juin&juillet&ao\^ut& 
sept.&oct.\\ \hline 
Rang du mois $x_i$	&1 		&2		&3		&4		&5	&6	&7	&8	&9	&10\\ \hline
Nombre de clients $y_i$	&900 	&850 	&750	&800	&950 	&900	&950	&850	&\np{1050}	&\np{1000}\\ \hline
\end{tabular} \end{center}}

\begin{enumerate}
 \item Représenter le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ dans
 un repère orthogonal.

On prendra pour unités 1~ cm pour 1~mois sur l'axe des abscisses qui
 sera gradué jusqu'à 16 et 1~cm pour 100~clients sur l'axe des ordonnées. 
\item On appelle G$_1$ et G$_2$ les points moyens des 
sous-nuages constitués d'une part par les cinq premiers
points, d'autre part par les cinq derniers points.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les coordonnées de G$_1$ et de G$_2$.
		\item Placer les points G$_1$ et G$_2$ dans le repère précédent et tracer la droite (G$_1$G$_2$).
		\item Donner une équation de la droite (G$_1$G$_2$) en indiquant les calculs faits.
	\end{enumerate}
\item On considère que la droite (G$_1$G$_2$) donne une bonne
 approximation du nombre de clients fréquentant chaque mois la boutique.
	\begin{enumerate} 
		\item Déduire graphiquement une estimation du nombre de clients en  janvier 2002, en faisant apparaître tous les tracés utiles.
		\item Déduire graphiquement, en faisant apparaître également tous les tracés utiles, à partir de quel mois le nombre de clients sera supérieur à \np{1100}.
		\item Retrouver les deux résultats précédents par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout $x$ de l'intervalle [ 1 ; 16] ,
 par :

\[f(x) = \dfrac{\np{1200}x - 900}{x}.\]

\og \textsl{Mis à part pour le premier mois où la publicité faite autour de l'ouverture de votre commerce a augmenté notablement votre clientèle, il me semble que la fonction} $f$ \textsl{que je vous propose correspond bien à une vision correcte, quoique légèrement optimiste, de l'évolution de votre clientèle} \fg{}. Ainsi parlait un spécialiste en marketing en s'adressant au commerçant. 

\begin{enumerate} 
\item Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~16],
 calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x)$ est strictement positif, ($f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$).
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur [1~;~16].
\item Reproduire et compléter le
 tableau suivant (en arrondissant à l'unité les résultats, si nécessaire)

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{| *{8}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline
$x$		& 1	& 2	&3 &6				&9	&12	&16\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&\np{1050}	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\item Dans le même repère que celui utilisé à la question
 \textbf{1} de la \textbf{partie A} tracer la courbe représentative de la  fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~16].

\end{enumerate}
\end{document}