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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT C. G. -- I. G.}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2002}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C. G. -- I. G. Antilles-Guyane~\decofourright\\ septembre 2002}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

En octobre 2000, on donne la représentation de l'euro en dollar depuis sa création. On veut réaliser un ajustement affine de cette courbe. 

\begin{center}
\savedata{\eurodollar}[{0,0.4},{0.5,0.36},{1,0.32},{1.5,0.325}{2,0.28},{2.5,0.29},{3,0.27},{3.5,0.25},{4,0.26},{4.5,0.22},{5,0.237},{5.5,0.239},{6,0.235},{6.5,0.25},{7,0.26},{7.5,0.265},{8,0.25},{8.5,0.26},{9,0.27},{9.5,0.26},{10,0.23},{10.5,0.22},{11,0.21},{11.5,0.215},{12,0.213},{12.5,0.2},{13,0.183},{13.5,0.175},{14,0.164},{14.5,0.15},{15,0.146},{15.5,0.12},{16,0.105},{16.5,0.12},{17,0.149},{17.5,0.142},{18,0.139},{18.5,0.11},{19,0.104},{19.5,0.085},{20,0.072},{20.5,0.04},{21,0.03}]
\psset{xunit=0.5cm,yunit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-2,-0.15)(21,0.42)
%\psgrid
%\def\pshlabel#1{\rput[rb]{10}{\Mois{#1}}}
%\def\Mois#1{%
%\ifcase#1\or J\or F\or M\or A\or M\or J\or J\or A\or S\or O\or N\or D\or J\or F\or M\or A\or M\or J\or J\or A\or S\or O \fi}
\psaxes[showorigin=false,linewidth=1.25pt,Dx=50,Oy=0.80,Dy=0.10,ticks=all](0,-0.01)(21,0.41)
\dataplot{\eurodollar}
\multido{\n=0+1}{22}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0.02)(\n,0.02)}
\uput[d](0,0){J} \uput[d](1,0){F} \uput[d](2,0){M} \uput[d](3,0){A} 
\uput[d](4,0){M} \uput[d](5,0){J} \uput[d](6,0){J} \uput[d](7,0){A} 
\uput[d](8,0){S} \uput[d](9,0){O} \uput[d](10,0){N} \uput[d](11,0){D} 
\uput[d](12,0){J} \uput[d](13,0){F} \uput[d](14,0){M} \uput[d](15,0){A} 
\uput[d](16,0){M} \uput[d](17,0){J} \uput[d](18,0){J} \uput[d](19,0){A} 
\uput[d](20,0){S} \uput[d](21,0){O}
\psline(0,-0.06)(0,-0.10)(10,-0.10)(10,-0.06)\rput(5,-0.12){1999}
\psline(10.1,-0.06)(10.1,-0.10)(21,-0.1)(21,-0.06)\rput(16,-0.12){2000}
\rput(-1.2,0){0,80} 
\end{pspicture}
\end{center}

On relève au début du mois, tous les deux mois à partir de début janvier 1999, la valeur de l'euro en dollar. On obtient le tableau statistique suivant :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&\multicolumn{6}{c|}{1999}&\multicolumn{6}{c|}{2000}\\ \hline 
Mois &J &M &M &J &S &N &J &M &M &J &S &N\\ \hline
Rang $x_{i}$ du mois &1 &3 &5 &7 &9 &11 &13 &15 &17 &19 &21 &23\\ \hline 

Valeur $y_{i}$ de l'euro&1,20 &1,10 &1,07 &1,04 &1,07 &1,06 &1,03 &0,98 &0,90 &0,95 &0,89 &0,83\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associé à ce tableau statistique dans un repère orthogonal (unité : 1~cm pour 1 en abscisse et $2,5$~cm pour $0,1$ en ordonnées). On commencera la graduation de l'axe des ordonnées à partir de $0,70$. 
\item Calculer les coordonnées du point moyen C du nuage et le placer sur le graphique.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On considère les points A(5~;~1,07), \:B(21~;~0,89) et C(7~;~1,04).
		 
Tracer les droites (AB) et (CC). 

Quelle est la droite qui vous semble réaliser le meilleur ajustement affine du nuage ?
 
Trouver l'équation réduite de la droite choisie. On donnera la valeur arrondie des coefficients à $10^{- 3}$ près.
		\item En utilisant la droite choisie au 3. a., quelle estimation de l'euro en dollar pouvait-on prévoir début janvier 2001 ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

Un grand distributeur de jouets reçoit son stock d'un fournisseur asiatique possédant trois ateliers A. B et C. Les jouets sont contrôlés pour vérifier s'ils sont conformes aux normes de la Communauté Européenne (CE.). Sur un échantillon de mille jouets de la livraison, on a :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 8,4\,\% des jouets non conformes; 
\item[$\bullet~~$] 45\,\% des jouets proviennent de l'atelier B ; 
parmi les jouets provenant de l'atelier B, 6\,\% ne sont pas conformes ; 
\item[$\bullet~~$] 25\,\% des jouets non conformes proviennent de l'atelier A ; 
\item[$\bullet~~$] 264 jouets provenant de l'atelier C sont conformes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{Remarque :} On donnera tous les résultats sous forme décimale.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Contrôle/Provenance	&A	&B 	&C 	&TOTAL\\ \hline 
Conforme			&	&	&	& \\ \hline 
Non Conforme		&	&27	&	&84\\ \hline  
TOTAL				&	&450&	&\np{1000}\\ \hline  
\end{tabularx}
\medskip
 
\item On prélève un jouet au hasard dans l'échantillon. On suppose qu'il y a équiprobabilité de tous les prélèvements.
 
Calculer la probabilité des évènements suivants. 
	\begin{enumerate}
		\item \og Le jouet est conforme \fg.
		\item \og Le jouet provient de l'atelier A ou de l'atelier B \fg.
		\item \og Le jouet provient de l'atelier B et n'est pas conforme \fg.
	\end{enumerate} 
\item On choisit maintenant au hasard, dans l'échantillon, un jouet provenant de l'atelier C Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas conforme ? 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le pourcentage de jouets non conformes dans la livraison de chaque atelier? 
		\item Au vu des pourcentages trouvés, le distributeur décide de n'acheter que des jouets fabriqués dans les ateliers A et B, dans les proportions : 40\,\% pour l'atelier A et 60\,\% pour l'atelier B. Sur un échantillon de \np{1000}~jouets quel est alors le pourcentage de jouets non conformes?
		\item Sachant que le pourcentage acceptable de jouets non conformes est de 7\,\%, le distributeur va-t-i1 continuer à se fournir chez ce fabricant ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left[\frac{1}{4}~;~+ \infty\right[$ par : 

\[g(x) = x^2 + 1 - 2 \ln x\]
 
dont on donne le tableau de variation: 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5)
\psline(0,1.5)(7,1.5)\psline(0,2)(7,2)
\psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.15,1.9){$\frac{1}{4}$} \uput[u](4,2){$1$} \uput[u](6.5,2){$+ \infty$}
\uput[u](0.5,1.5){$g'(x)$} \uput[u](0.5,0.75){$g(x)$}
\uput[u](2.5,1.5){$-$}\uput[u](4,1.5){$0$}\uput[u](5.5,1.5){$+$}
\psline{->}(1.2,1.25)(3.75,0.25)\psline{->}(4.25,0.25)(6.8,1.25) 
\end{pspicture}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $g(1)$. 
\item En déduire que $g(x)$ est positif pour $x$ appartenant à $\left[\frac{1}{4}~;~+ \infty\right[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Soit la fonction $f$ définie sur $\left[\frac{1}{4}~;~+ \infty\right[$ par : 

\[f(x) = x - 2 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{2\ln x}{x}\] 

et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal (unités : 2~cm sur l'axe des abscisses, 1~cm sur l'axe des ordonnées).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$, en justifiant soigneusement le résultat.  
		\item Déterminer la dérivée $f'$ de $f$, montrer que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
		\item Établir le tableau de variation de $f$. 
	\end{enumerate}
\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x - 2$ est asymptote à la courbe. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs ; on arrondira les résultats à $10^{- 2}$ près.
		
		\medskip
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&0,25	&0,5&0,75	&1	&1,5& 2	& 4	& 6	& 8 &10\\ \hline
$f(x)$	&		&	&		&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
		\item Tracer $\mathcal{D}$ et $\mathcal{C}$ dans le repère.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $F$ définie par : 
 
\[F(x) = \dfrac{x^2}{2} -  2x + \ln x + (\ln x)^2\]
 
est une primitive de $f$ sur $\left[\frac{1}{4}~;~+ \infty\right[$.
		\item Calculer l'aire du domaine plan ensemble des points $M(x~;~y)$ tels que : 

\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
1&\leqslant &x &\leqslant &\text{e}\\
0&\leqslant&y&\leqslant&f(x)
\end{array}\right.\]
 
On donnera la valeur exacte et la valeur approchée à $10^{-2}$ près en cm$^2$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}