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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G. - G.I.}
\lfoot{\small{La Réunion}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat 
STT C.G - G.I. La Réunion  juin 2003~\decofourright}} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

L'association sportive d'un lycée compte $240$ adhérents, parmi lesquels il y a $130$ demi-pensionnaires, les autres adhérents étant externes.
 
Ces adhérents doivent choisir un sport et un seul parmi les trois proposés : le basket-ball, le volley-ball et la natation.

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 66 adhérents ont choisi le basket-ball ; 
\item[$\bullet~~$] 30\,\% des adhérents ont choisi le volley-ball, dont 40 demi-pensionnaires; 
\item[$\bullet~~$] 25\,\% des adhérents sont des demi-pensionnaires ayant choisi la natation.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
&Basket-ball&Volley-ball&Natation&Total\\ \hline
Demi-pensionnaire&&&&130\\ \hline
Externes&&&&\\ \hline
Total&&&&240\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Dans cette question, les réponses seront données à $10^{- 3}$ près. 
	\begin{enumerate}
		\item Un élève est choisi au hasard parmi les $240$ adhérents de l'association sportive. Quelle est la probabilité de chacun des évènements suivants :
		
\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A_{1}$ : \og l'adhérent a choisi le basket-ball \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $A_{2}$ : \og l'adhérent est externe \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $A_{3}$ : \og l'adhérent est externe et a choisi le basket-ball \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $A_{4}$ : \og l'adhérent n'a pas choisi la natation \fg ?
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $A_{1} \cup A_{2}$. 
		\item Un adhérent est choisi au hasard parmi les externes. Quelle est la probabilité qu'il pratique le volley-ball ?  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\medskip
 
La taille moyenne d'un jeune enfant est donnée par le tableau suivant :
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\footnotesize\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Âge $x_{i}$ en mois&6&9&12&15&18&21&24&27&30&33\\ \hline
Taille $y_{i}$ en cm&66&71&74&77&80&83&85&88&90&92\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage des points de coordonnées (xi; y) dans un repère orthogonal (1~cm représente 2~mois en abscisses, 1~cm représente 5~cm en taille en ordonnées). 
\item Calculer les coordonnées du point moyen $G_{1}$ associé aux cinq premières valeurs puis celles du point moyen $G_{2}$ associé aux cinq dernières valeurs. Tracer sur le graphique la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$.
\item Estimer graphiquement à partir de quel âge, en mois, la taille d'un 
enfant dépasse 95~cm ? 
\item Déterminer une équation de la droite d'ajustement $\left(G_{1}G_{2}\right)$.
\item Déduire de la question précédente une estimation de la taille, au centimètre près, d'un enfant de 38~mois. 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur $\left[\frac{1}{\text{e}}~;~+ \infty \right[$ par :
 
\[g(x) = x^2 + 2 - 2\ln (x).\]
  	 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $g'(x) = \dfrac{2\left(x^2 - 1\right)}{x}$.
\item En déduire le sens de variation de la fonction $g$. (Aucun calcul de limite n'est demandé dans cette partie, mais on précisera la valeur du minimum.) 
\item Expliquer comment en déduire que $g$ est strictement positive sur 
$\left[\frac{1}{\text{e}}~;~+ \infty \right[$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\left[\frac{1}{\text{e}}~;~+ \infty \right[$ par : 

\[f(x) = x + 2 + 2 \dfrac{\ln (x)}{x}\] 

et $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité 1~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de $f\left(\frac{1}{\text{e}}\right)$ puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
\item Étudier $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$, d'équation $y = x + 2$, est asymptote à $\mathcal{C}_{f}$. 
\item Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
\item À l'aide de la partie A, étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau  de variations de $f$. 
\item Représenter $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{D}$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
En octobre 2000, on donne la représentation de l'euro en dollar depuis sa création. On veut réaliser un ajustement affine de cette courbe.
 
Une entreprise fabrique une quantité $x$ (en tonnes) d'un certain produit pour un co\^ut total noté $c(x)$ et un prix de vente total noté $p(x)$.
 
On admettra que $x, c(x)$ et $p(x)$ vérifient : 

\[x \geqslant 0,6,\quad  c(x) = x + 2\quad \text{et}\quad  p(x) = x + 2 + 2\dfrac{\ln (x)}{x}.\] 
 
À l'aide du graphique précédent, répondre aux questions suivantes, en expliquant la méthode utilisée. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour quelles quantités de produit l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ? 
\item Pour quelle quantité de produit l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximal ?
\end{enumerate}
\end{document}