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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G. - I.G.}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G.-G.I.}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2003}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat 
STT C.G-G.I. Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\novembre 2003}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Un journal financier hebdomadaire propose à ses lecteurs chaque semaine une prévision faite par 100~analystes financiers.

L'indice CAC 40 est composé des quarante plus grandes sociétés cotées à la bourse de Paris.

L'indice NM (nouveau marché) est composé principalement de petites valeurs de haute technologie.

Pour la semaine qui vient, chaque analyste prévoit l'évolution d'un seul des deux indices :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  soit l'évolution du CAC 40, sous la forme : Hausse, Stable, ou Baisse ;
\item  soit l'évolution de l'indice NM sous la forme : Hausse, Stable, ou Baisse.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Sur les 100 analystes financiers, 80 prévoient l'évolution du CAC 
40, et parmi ceux-ci :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 70\,\% prévoient la hausse de l'indice
\item[$\bullet~$] 10\,\% prévoient un marché stable de cet indice.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

De plus, sur les 100 analystes, 12 au total prévoient que l'indice qu'ils suivent va rester stable.

Deux parmi les analystes qui suivent l'indice NM prévoient une baisse
 de cet indice.

\begin{enumerate} 
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		&CAC 40	&	NM & 	Total\\ \hline
Hausse	&			&		&\\ \hline
Stable	& 			& 		& 12\\ \hline
Baisse 	& 			& 2 	& \\ \hline
Total 	& 	80		&		&100 \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\textsl{Les résultats des probabilités demandées dans les questions} 
\textbf{2, 3  et 4} \textsl{seront donnés sous forme de fraction, puis sous forme décimale  arrondie au centième.}
\item On choisit au hasard un analyste financier parmi les 100.

Calculer les probabilités des évènements suivants :

A : \og l'analyste prévoit une baisse de l'indice CAC 40 \fg{},

B : \og l'analyste prévoit une hausse de l'indice NM \fg{}.
\item On choisit au hasard un analyste qui suit l'indice NM.

Calculer la probabilité pour que cet analyste prévoie une hausse du 
nouveau marché.
\item On choisit au hasard un analyste qui prévoit un marché stable.

Calculer la probabilité pour que cet analyste suive l'évolution de l'indice du CAC 40.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Représenter graphiquement dans un repère orthonormal 
\Oij{} d'unité graphique 1~cm, les droites D$_1$,~ D$_2$ et D$_3$ d'équations  respectives :
 
D$_1 \quad : \quad x + y = 8$

D$_2 \quad : \quad x + 2y = 16$

D$_3 \quad : \quad 4x + y = 22$.

Déterminer, à l'aide d'un calcul les coordonnées du point d'intersection des droites D$_2$ et D$_3$.
\item Résoudre graphiquement le système d'inéquations 
suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x 		& \geqslant 	& 0\\
y 		&   \geqslant	& 0\\
x+y		& \geqslant		& 8\\
x + 2y	& \leqslant		& 16\\
4x + y 	&  \leqslant 	& 22\\
\end{array}\right.\]

On hachurera l'ensemble des points dont les coordonnées ne sont pas solutions du système.
 \end{enumerate} 
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un artisan joaillier se voit confier par une bijouterie le travail suivant :

Il doit fabriquer deux types de bagues avec des rubis et des saphirs.

Une bague de type A possède 1 rubis et 4 saphirs.

Une bague de type B possède 2 rubis et 1 saphir.

Par semaine, l'artisan doit fabriquer au moins 8 bagues et il dispose au maximum de 16 rubis et de 22 saphirs.

On note $x$ le nombre de bagues de type A fabriquées et $y$ te nombre de bagues de type B fabriquées. Les nombres $x$ et $y$ sont des nombres entiers.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer un système d'inéquations portant sur $x$ 
et $y$ traduisant les  contraintes du problème.
\item Représenter sur le graphique de la partie A, les points dont les 
coordonnées $x$ et $y$ satisfont aux contraintes du problème.
\item Déterminer le nombre maximal de bagues que cet  artisan peut fabriquer chaque semaine.

Expliquer la démarche utilisée.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

On donne sur un feuille réponse fournie en annexe et \textbf{à rendre avec la copie} la représentation graphique $\mathcal{C}_f$, d'une fonction $f$  définie sur l'intervalle I = $[-2,5~;~+ \infty[$. Le repère choisi \Oij{} est orthonormal et d'unité graphique 2~cm.

\bigskip

\textbf{Partie A : Observation de la courbe \boldmath  
$\mathcal{C}_f$ \unboldmath}

\medskip

En utilisant la courbe $\mathcal{C}_f$ répondre, sans justification, aux questions suivantes :

\begin{enumerate} 
\item Quelles sont les valeurs de $f(0)$ et de $f'(- 1)$ ?
\item Encadrer chacune des deux solutions de l'équation 
$f(x) = 0$, par deux entiers consécutifs.
\item Que peut-on prévoir quant à la limite de la 
fonction $f$ en $+ \infty$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction }\boldmath$f$\unboldmath

\medskip

La fonction $f$ ainsi représentée est définie dans I = $[- 2,5~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x} - 1.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que, pour tout réel $x$ supérieur ou égal à $-2,5$, on a :
		
$f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x} + \dfrac{2}{\text{e}^x} - 1$.

		\item On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 
\dfrac{\text{e}^x}{x}$. En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}
 \dfrac{x}{\text{e}^x}$, puis $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}_f$, admet une asymptote que
 l'on précisera. 
	\end{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$ ; résoudre dans l'intervalle I l'équation
$f'(x) =  0$ puis l'inéquation 

$f'(x) \geqslant  0$.
\item Soit T La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$, au point 
d'abscisse 0.

Construire la droite T sur le graphique donné en annexe.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Calcul d'une aire}

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $g$ la fonction définie sur I = $[-2,5~;~+ \infty[$ par : 

\[g(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}.\]
Prouver que la fonction $G$ définie sur I par : $G(x) = (- x - 3)\text{e}^{-x}$ est une primitive, sur I, de la fonction $g$.
		\item Déterminer alors une primitive de la fonction $f$ sur I.
		\item En déduire la valeur exacte de l'intégrale 
$\displaystyle\int_{-1}^0  \:f(x)\: \text{d}x$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Hachurer, sur le graphique donné en annexe, le 
domaine du plan compris entre les droites d'équation $x = - 1,~x = 0,~y =  0$ et la courbe $\mathcal{C}_f$.
		\item Calculer l'aire, exprimée en cm$^2$, du domaine hachuré. On donnera la valeur exacte et sa valeur arrondie au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushright}\textbf{T.S.V.P.} \end{flushright}

\newpage

\begin{center}

 \textbf{Annexe}
    
\textbf{ À COMPLÉTER ET À RENDRE AVEC LA COPIE}
    
\vspace{0,5cm}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-6)(5,2)
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\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-6)(5,2)
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\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}