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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G.- I.G.}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane }}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STT CG - IG Antilles septembre 2003~\decofourright}} 
    
\vspace{0,5cm}

Coefficient 2  \hfill Durée 2 heures

\vspace{0,5cm}

La calculatrice est autorisée.

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

Pour étudier le taux de mortalité dans des colonies de rats, un laboratoire de recherche dispose d'une cage aménagée de 92 m$^2$.

Pour une série d'expériences, les conditions sont les suivantes :

$\bullet~$ La colonie recevra 10~kg (\np{10000}~g) de nourriture par jour.

$\bullet~$ En moyenne, un mâle mange 30~g de nourriture par jour et a besoin de 0,5 m$^2$.

$\bullet~$ En moyenne, une femelle mange 40~g de nourriture par jour et a besoin de 0,2~m$^2$.

$\bullet~$ Le nombre de mâles doit être inférieur ou égal à 1,5 fois le nombre de femelles.

\emph{Pour que cette étude, basée sur des séries statistiques, soit la plus fiable possible, on veut définir le nombre maximal de rats que doit contenir la cage.}

On notera donc $x$ le nombre de mâles et $y$ le nombre de femelles placés dans la cage.

\begin{enumerate}
\item	Traduire l'ensemble des contraintes de ce problème sous la forme d'un système d'inéquations en $x$ et $y$.

\item Justifier que ce système est équivalent au système :	

\[(\text{S}) \quad \left\{\begin{array}{l c l}
x & \geqslant & 0\\
y & \geqslant & 0\\
3x+4y& \leqslant & \np{1000}\\
5x+2y& \leqslant & 920\\
2x& \leqslant &3y\\
\end{array}\right.\]
  
\item Représenter graphiquement l'ensemble des points $M(x~ ;~ y)$ dont les coordonnées sont solutions du système (S) dans un repère orthonormal où 1~cm représente 20~unités. (20~rats).
  
\item  On note $n$ le nombre de rats de la colonie. On a donc $x + y = n.$
  
 $x + y = n$ est l'équation d'une droite notée $\mathcal{D}_{n}$.
  
	\begin{enumerate}
		\item	Déterminer le coefficient directeur de $\mathcal{D}_{n}$.		
  
		\item Expliquer pourquoi, pour deux nombres $n$ et $p$ de rats, les droites	$\mathcal{D}_{n}$ et $\mathcal{D}_{p}$	sont	parallèles.
  
		\item Tracer la droite $\mathcal{D}_{100}$	correspondant à $n = 100$ rats.
  
	\end{enumerate}	

\item On note T le nombre maximal de rats que le laboratoire doit mettre dans la cage pour respecter les conditions de l'expérience.

	\begin{enumerate}
		\item Expliquer comment tracer la droite	$\mathcal{D}_{\text{T}}$ correspondant à T rats. Tracer $\mathcal{D}_{\text{T}}$.

		\item Déterminer graphiquement le nombre T.

		\item À l'aide de la représentation graphique, déterminer combien de mâles et de femelles on doit mettre dans la cage.

		\item Devrait-il rester de la nourriture en fin de journée ?

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Les résultats de l'étude réalisée par un laboratoire de recherche sur le taux de mortalité en fonction du nombre d'individus dans des colonies de rats sont présentés dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\footnotesize{\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre initial de rats dans la colonie	&40		&80		&120&160	&200	&240	&280	&320\\ \hline
Nombre moyen de rats décédés*	& 0,36	& 1,6	& 2,6& 4,6	& 9,4	& 14,9	& 26,0	& 45,4\\ \hline
\end{tabularx}}
\end{center}
*\emph{ Ce nombre moyen correspond à la moyenne des décès lors d'expériences sur un nombre identique de rats.}

\vspace{0,4cm}

Le \textbf{taux de mortalité} est le pourcentage de décès par rapport au nombre initial de rats dans la colonie.


\begin{enumerate}
\item	Le tableau suivant représente le taux moyen de mortalité (exprimé en pourcentage arrondi à 0,1\,\% près) en fonction du nombre de rats de la colonie.

\vspace{0,4cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre initial $x_{i}$ de rats dans la colonie& 40&	80&	120&	160&	200&	240&	280&	320\\ \hline
Taux moyen de mortalité $y_{i}$& 	0,9&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,4cm}

Reproduire et compléter ce tableau.

\item Dans un repère orthogonal, représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~ ;~y_{i}\right)$. On prendra comme unités 1~cm pour 20~rats sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 1\:\% sur l'axe des ordonnées.

\item Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage.

\item On propose d'ajuster le nuage par la droite $d$ d'équation :

\[y = 0,043x - 2,44\]

obtenue à l'aide d'un tableur.

\emph{On suppose, dans les deux questions suivantes, que $d$ réalise un ajustement linéaire acceptable.}

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que G appartient à $d$.

		\item Tracer la droite $d$.	

		\item Quel serait le taux de mortalité si le nombre de rats était de 400 ?

		\item À partir de combien de rats le taux de mortalité dépasserait-il 20\:\% ?

	\end{enumerate}

\item	Une série d'expériences avec 360 rats a donné un taux moyen de mortalité de 22,6\:\%.

L'ajustement linéaire proposé vous paraît-il être satisfaisant ?

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

On a défini une corrélation entre le nombre d'individus d'une colonie de rats et le taux de mortalité dans cette colonie sous la forme d'une suite 	définie par récurrence par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
U_{0}&= & 0,74\qquad\text{et}	\\
U_{n+1}& =& 1,44U_{n}\\
\end{array}\right.\]

où $n$ est le nombre de groupes de 40~rats présents dans la colonie et $U_{n}$ est le taux de mortalité dans cette colonie.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant (on arrondira au dixième)

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre initial de  	&40		&80		&120	&160	&200	&240	&280	&320\\ 
rats dans la colonie	&		&		&		&		&		&		&		&\\ \hline
$n$					&	1	&	2	&	3	&	4	&	5	&	6	&	7	&	8\\ \hline
$U_{n}$			&		&		&		&		&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item	Quelle est la nature de la suite $\left(U_{n}\right)$ ? Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$.
									
\item	On constate que $\text{e}^{0,364} \approx 	1,44$. Justifier que :			

\[U_{n} \approx 	0,74 \text{e}^{0,364n}.\]
									
\end{enumerate}
									
\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

On définit donc la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) =  0,74 \text{e}^{0,364x}.\]
									
\begin{enumerate}
\item	Déterminer la fonction $f'$, dérivée de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
									
\item	Déterminer le signe de $f'(x)$ sur $[0~;~+\infty[$. En déduire les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.

\item Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

\item Le taux de mortalité ne pouvant être supérieur à 100\:\%,
 on considère que notre modèle mathématique n'est fiable que jusqu'à un taux de mortalité de 30\:\%.
									
	\begin{enumerate}
		\item	Résoudre l'équation $f(x) =  30$. (On donnera la valeur exacte de la solution puis la valeur arrondie au dixième).
									
		\item En déduire le nombre de rats à partir duquel notre modèle n'est plus valable.									
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie C}

\medskip
							
On cherche à modéliser le taux de mortalité pour un nombre de rats supérieur ou égal à $400 (x \geqslant 10$).

On définit la fonction $G$ sur $[10~;~+ \infty]$ par :

\[G(x) = 100 - 0,065\,5\text{e}^{(9 - 0,2x)}.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $G(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.

\item On admettra que $G$ réalise un modèle du taux de mortalité satisfaisant pour plus de 400~rats.

Calculer le taux de mortalité pour 800~rats dans la colonie ($x = 20$).
\end{enumerate}
\end{document} 