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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalaurat STT C. G. - I. G.}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat 
C. G. -- I. G. Centres étrangers   ~\decofourright\\juin 2003
}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~9] par :

\[f(x) = \dfrac{-x^2 + 10x -  9}{x}.\]

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans $\R$ l'équation : $-x^2 + 10x -  9 = 0.$
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~9], on a :
\[f(x) =  10 - x - \dfrac{9}{x}.\] 
		\item  Calculer alors l'intégrale I $= \displaystyle\int_{1}^9  f(x)\:\text{d}x$ (donner la valeur exacte).
		\item  Montrer que I peut s'écrire sous la forme $a + b \ln 3$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels qu'il faut déterminer.
 	 \end{enumerate}
\item On a représenté sur chacun des graphiques ci-dessous les fonctions $g$ et $h$ définies sur l'intervalle [1~;~9] par :

\[g(x) =  10 - x \quad  \text{et}\quad  h(x) = \dfrac{9}{x}.\]

On a aussi grisé sur chacun des graphiques une partie du plan.
\end{enumerate}
	 
\medskip
	 
\begin{tabular}{c c c}
\psset{unit=0.3cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(11,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-1)(11,11)

\psplot{1}{9}{10 x sub}
\psplot{1}{9}{9 x div}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,0)(9,0)(9,1)(1,9)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-1,-1)(11,11)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){$1$} \uput[l](0,1){$1$}
\rput(6,-2){Graphique 1}
\end{pspicture}&
\psset{unit=0.3cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(11,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-1)(11,11)
\psplot{1}{9}{10 x sub}
\psplot{1}{9}{9 x div}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot{1}{9}{9 x div}
\psline(9,1)(9,0)(1,0)(1,9)}
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-1,-1)(11,11)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){$1$} \uput[l](0,1){$1$}
\rput(6,-2){Graphique 2}
\end{pspicture}&
\psset{unit=0.3cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(11,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-1)(11,11)
\psplot{1}{9}{10 x sub}
\psplot{1}{9}{9 x div}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot{1}{9}{9 x div}
\psline(9,1)(1,9)}
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-1,-1)(11,11)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){$1$} \uput[l](0,1){$1$}
\rput(6,-2){Graphique 3}
\end{pspicture}
\end{tabular}

\bigskip

On pose : I $= \displaystyle\int_{1}^9 \left(10 - x - \dfrac{9}{x}\right)\:\text{d}x$,~J $ =  \displaystyle\int_{1}^9	(10 - x)\:\text{d}x$  et K $ =\displaystyle\int_{1}^9 \dfrac{9}{x}\:\text{d}x$.

Pour chacune des trois questions, reporter sur la copie la réponse exacte (il y a une seule bonne réponse par ligne).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X p{8cm}| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Q1& Quelle est l'intégrale qui permet de calculer l'aire hachurée sur le graphique 1 ?&I&J&K\\ \hline
Q2& Quelle est l'intégrale qui permet de calculer l'aire hachurée sur le graphique 2 ?&I&J&K\\ \hline
Q3& Quelle est l'intégrale qui permet de calculer l'aire hachurée sur le graphique 3 ?&I&J&K\\ \hline
\end{tabularx}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Un jeu télévisé permet aux candidats sélectionnés de se voir verser chaque mois pendant une durée maximale de douze mois une somme d'argent dont le montant initial le premier mois est de \nombre{1 000} euros.

Le versement augmente chaque mois de 3\:\% sur le modèle des intér\^ets composés. Ainsi le $2\up{e}$ mois, il touchera \nombre{1 030}~euros, etc.

Les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} sont indépendantes.

\begin{enumerate}
\item  Un candidat subit une épreuve qui permet de déterminer de façon aléatoire la durée maximale du versement. Pour cela, le candidat jette deux dés non truqués et numérotés de 1 à 6 chacun.

Construire un tableau pour représenter tous les résultats équiprobables
possibles de cette épreuve aléatoire.
\item  Le candidat calcule alors la somme des deux numéros apparents sur les faces supérieures.

Cette somme représente la durée du versement en mois.

Les résultats de cette question \textbf{2.} seront donnés sous forme de fraction irréductible.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer alors la probabilité de l'évènement A : \og le candidat obtient une durée de 10 mois exactement \fg.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement B : \og le candidat obtient une durée strictement supérieure à 6 mois \fg.
		\item Donner un exemple d'évènement D pour lequel la probabilité est égale à $\dfrac{5}{18}$.
	 \end{enumerate} 
\item   Dans cette question on s'intéresse à un candidat qui a reçu un versement V$_{1}$ de \nombre{1 000}~\euro{} pour le premier mois. Pour chacun des $10$~mois suivants, le versement augmente de $3$\:\% par rapport au mois précédent.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la somme versée au candidat le $11\up{e}$~mois. Arrondir le résultat à l'euro près.
		\item Calculer la somme totale gagnée par ce candidat au bout des onze mois. Arrondir le résultat à l'euro près.
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

\emph{Ce problème a pour objet l'étude d'une fonction $f$ et la comparaison de résultats lus sur la représentation graphique de cette fonction, obtenue à l'aide d'un logiciel avec les résultats obtenus par calculs.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un élève a obtenu, à l'aide d'un logiciel, la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-1~;~+ \infty[$ dans un repère du plan d'origine O. Il a reglé la fenêtre d'affichage pour $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~8] et pour $y$ appartenant à l'intervalle $[-6~;~ 3]$.

La courbe de $f$ dans un repère du plan d'origine O s'appelle $\mathcal{C}$. Il a aussi tracé une droite qu'il pense être la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point O.

 Enfin, il a placé des points dont il pense qu'ils sont sur la droite $\mathcal{D}$ ou encore sur la courbe $\mathcal{C}$.
Voir la courbe ci-dessous.

On décide dans cette première partie de se fier à ce graphique et au travail de cet élève.

Pour répondre aux questions \textbf{1.} à \textbf{6.} ci-dessous, complétez la $3\up{e}$ colonne du tableau donné sur la feuille Annexe à rendre avec la copie.
 
\begin{enumerate}
\item  Lire sur ce graphique l'image du nombre $- 1$ par la fonction $f$.
\item  Lire sur ce graphique l'image du nombre $0$ par la fonction $f$.
\item  Donner l'équation de la droite $\mathcal{D}$.
\item En déduire la valeur de $f'(0)$ (on note $f'$ la dérivée de $f$). 
\item  Quel est le signe de $f(x)$ pour $x$ appartenant à $[- 1~;~ 2]$  ?
\item  L'élève dit que la fonction est constante sur l'intervalle [7 ; 8]. Si l'élève a raison, que peut-on en déduire pour $f(x)$ lorsque $x$ appartient à cet intervalle ? 
\end{enumerate}
 
\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-7)(8,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-2,-7)(8,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-2,-7)(8,3)
\psline(-1,-3)(1,3)
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1}{8}{x 2 sub 2.71828 x exp div 2 add}
\uput[ul](0,0){O}\uput[ul](-1,-3){A}\uput[dr](1,3){B}\uput[ul](-1,-6){E}
\uput[u](2,2){F}\uput[u](7,2){G}\uput[u](8,2){H}\uput[d](7.7,0){$x$}
\uput[l](0,2.7){$y$}\uput[l](0.8,2.6){$\mathcal{D}$}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\multido{\n=231+2}{23}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,110)}
\end{pspicture}

\textbf{Partie B}

\medskip

La fonction évoquée dans la partie A, est en fait la fonction définie sur l'intervalle $[-1~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{x - 2}{\text{e}^x} + 2.\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f(0)$.	
\item  Déterminer la limite de $f(x)$ en $+ \infty$. On rappelle que :
\[\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty.\]	
\item  Interpréter graphiquement le résultat précédent.
\item  En observant que $[f (x) - 2]$ est égal à $\dfrac{x - 2}{\text{e}^x}$	étudier le signe de cette dernière quantité pour $x$ appartenant à l'intervalle $[2~;~+ \infty[$. Interpréter graphiquement le résultat.
\item  Calculer $f'(x)$. Étudier le signe de $f'(x)$.
\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\item  Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$, sous la forme $y = ax + b$, au point d'abscisse $0$.	
\item  À partir des résultats des questions \textbf{1.} à \textbf{7.} de la partie \textbf{B}, on veut revenir	sur les réponses données dans la partie \textbf{A}. Compléter la dernière colonne du tableau déjà utilisé en Annexe, en écrivant \og OUI \fg{} pour confirmer la
réponse donnée en colonne 2 et \og NON \fg{} pour infirmer cette réponse.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}
\end{center}

Dans le tableau ci-dessous vous devez porter dans la troisième colonne, les réponses aux questions 1., 2., 3., 4., 5. et 6. de la partie A du problème. La dernière colonne de ce tableau sera remplie pour répondre à la question 8. de la partie B.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.cm}|p{4.cm}|X|p{3cm}|}\hline
Questions de la partie A	&Lecture sur le graphique \ldots&	Réponses (Partie A)&	Je confirme ou je ne confirme pas (Question 8 de la partie B)\\ \hline
Question 1&	image de $-1$ par $f$&&\\ \hline
Question 2&	image de $0$ par $f$&&\\ \hline
Question 3&	équation de la droite $\mathcal{D}$&&\\ \hline
Question 4&	valeur de $f'(0)$&&\\ \hline
Question 5&	signe de $f'(x)$ pour $x$ dans l'intervalle $[- 1~;~2]$&&\\ \hline
Question 6&	$f'(x)$ avec $x$ dans $[7~;~8]$&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{document}