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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G. -- I.G.}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre 2002}}
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\begin{center}{\Large{
\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C. G.--I. G.~\decofourright\\
Nouvelle--Calédonie décembre 2002}}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill	8 points}

\medskip

Les tableaux suivants donnent l'évolution du nombre de transistors présents dans divers microprocesseurs sortis sur le marché depuis 1971.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm} |*{5}{ >{\centering \arraybackslash}X |}}\hline
Année			& 1971		& 1974		&1979		&	1982	&	1985\\\hline  
$N$ : Nombre de transistors	&\np{2300}	&\np{6000}	&\np{29000}	&\np{134000}&\np{275000}\\  \hline
$x$ : rang de l'année	&1			&4			&9			&12			&15\\\hline
$Y = \ln N$ 		&			&			&			&			&\\ \hline\hline
Année			& 1989		& 1993			& 1995			& 1997			& 1999\\\hline
$N$ : Nombre de transistors	&\np{1200000}&\np{3100000}	&\np{5500000}	&\np{7500000}	&\np{9500000}\\ \hline
$x$ : rang de l'année	&19	&23		&25		&27		& 29\\\hline
$Y = \ln N$		&			&				&				&				&\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item Compléter les deux dernières lignes de ces tableaux. 
On arrondira les résultats à $10^{-1}$ près.

\item
	\begin{enumerate} 
		\item En prenant pour unités 1 cm pour 2~ans sur l'axe des abscisses, 1~cm pour une unité sur l'axe des ordonnées, représenter le nuage de points relatif à la série double $(x~;~y)$.

		\item Déterminer les coordonnées du point moyen G qu'on placera dans le repère. On arrondira les résultats à $10^{-1}$ près.

	\end{enumerate}

\item On suppose que l'évolution du nombre de transistors se poursuit suivant le même modèle jusqu'en 2001.

Dans cette question, on utilisera la droite d'équation $y = 0,3 x + 7,8$ comme droite d'ajustement.

Donner, à un million près, une estimation du nombre N de transistors du microprocesseur sorti en 2001.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill	5 points}

\medskip

Un restaurant sert 300~couverts par service, en proposant un menu à 16~euros et un menu à 24~euros.
Pour l'inauguration de son restaurant, le gérant offre à chacun de ses clients soit un café, soit un
apéritif.

 $60\:\%$ des clients ont choisi un café, les autres un apéritif.
 
La moitié des clients ont choisi un menu à 24 euros avec un café.

Parmi ceux qui choisissent le menu à 24 euros, $75\:\%$ ont 
choisi un café.

\begin{enumerate} 
\item Compléter le tableau ci-dessous.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l |*{2}{ >{\centering \arraybackslash}X |}c|}\hline
								&Menus à 16 \euro& Menus à 24 \euro	& Total\\ \hline
Clients ayant choisi un café	& 				& 					& 180\\ \hline
Clients ayant choisi un apéritif& 				& 					& \\ \hline
Total							& 				& 					& 300\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\item On choisit un client au hasard parmi les 300 et on suppose que tous les clients ont la même probabilité d'être choisis. On est en situation d'équiprobabilité.

On considère les évènements suivants : 

$A$ : \og le client a choisi un menu à 16 euros \fg{},

$B$ : \og le client a choisi un apéritif \fg{}.

	\begin{enumerate} 
		\item Définir par une phrase l'évènement $A ~\cap~ B$.
		\item Calculer les probabilités des évènements $A, B$ et $A ~\cup~ B$. 
	\end{enumerate} 

\item Un client a choisi un café. Déterminer, à $10^{-2}$ près par défaut, la probabilité que ce client ait choisi un menu à 24 euros.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{4\text{e}^x -1}{2\text{e}^x + 1}.\] 

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité graphique : 2~cm).

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $f(x)$ peut aussi s'écrire : $f(x) = 2 - 
\dfrac{3}{2\text{e}^x + 1}$.

\item En utilisant l'une ou l'autre écriture de $f(x)$, calculer les limites de $f$ en $- \infty$  et en $+ \infty$.

Interpréter graphiquement les résultats.

\item Calculer la dérivée $f'$, étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$ et établir le tableau des variations de $f$ .

\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection A et B de la courbe $\mathcal{C}$ avec les axes du repère.

\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et ses asymptotes dans le repère.

\item On souhaite calculer l'aire de la partie de plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 2$.

	\begin{enumerate} 
		\item Hachurer cette surface et écrire l'intégrale I permettant de calculer cette aire.

		\item Désirant avoir une primitive $F$ de $f$ sur $\R$, un élève demande à deux camarades possédant une calculatrice avec un logiciel de calcul formel une primitive, et ils lui proposent
respectivement :

\[F_{1}(x) = 2 x - 3 \ln (2\text{e}^x + 1) \qquad F_{2}(x) = -x + 3 
\ln (2\text{e}^x + 1).\]

Prouver que l'une de ces deux réponses est juste.

		\item Calculer alors la valeur exacte de l'intégrale I.

Exprimer, en cm$^2$ l'aire de la surface hachurée, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
