\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,multido}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23.5cm}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat STT},
pdftitle = {CG -- IG Polynésie juin 2003},
allbordercolors = white
}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\lhead{\small Baccalauréat  STT C.G.--I.G.}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2003}}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Polynésie STT CG - IG juin 2003~\decofourright}} 
    
\vspace{0,5cm}

Coefficient 4  \hfill Durée 3 heures

\vspace{0,5cm}

La calculatrice est autorisée.

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points }

\medskip

Un examinateur doit interroger, dans un certain ordre, quatre candidats :  Albert, Bertrand, Camille et Dominique. Il doit donc établir une liste  ordonnée de quatre noms.

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de listes possibles (on pourra s'aider d'un arbre).

On suppose que l'examinateur tire la liste ordonnée des quatre noms au 
hasard, chaque liste possible ayant la même probabilité.

\emph{Pour les questions suivantes, les probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles.}

\item Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  E : \og Bertrand est interrogé en premier \fg{} ;
\item  F : \og Camille est interrogé en dernier \fg{} ;
\item  G : \og Dominique est interrogée avant Bertrand \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item Définir par une phrase l'évènement E~$\cap$~F et en donner sa 
probabilité.

\item Définir par une phrase l'évènement E~$\cup$~F et en donner sa 
probabilité.

\textbf{Note :} les probabilités conditionnelles ne sont pas au programme.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Afin de renouveler l'équipement de ses 60~ouvriers, un chef de chantier a besoin pour l'année de 2~casques au plus par personne, de 3~paires de 
bottes au plus par personne et d'au moins 4~bleus de travail par personne.

Pour cela il contacte deux fournisseurs qui lui font les propositions 
 suivantes :
 
Le fournisseur A : un lot de 10 casques, 6 paires de bottes 
et 8 bleus de travail pour \nombre{1200}~euros.

Le fournisseur B un lot de 3 casques, 5 paires de bottes et 10 bleus de travail pour \nombre{1800} euros.

\begin{enumerate}
\item On note $x$ le nombre de lots A et $y$ le nombre de lots B achetés par le chef de chantier. Montrer que les contraintes de cette situation peuvent se traduire par le système d'inéquations suivant :

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\[\left\{\begin{array}{l c l}
y & \leqslant & \dfrac{-10}{3}x + 40\\
y & \leqslant & \dfrac{-6}{5}x + 36\\
y & \geqslant &\dfrac{-4}{5}x + 24\\
\end{array}\right. \quad \text{où}\quad x \quad \text{et} \quad  y \quad \text{sont des nombres entiers naturels.}\]

\item Dans un repère orthonormal où 1~cm représente 2~unités, mettre en 
évidence en la coloriant la partie de plan dans laquelle se trouve 
l'ensemble des points $M(x~;~y)$ solutions du système précédent.

\item Exprimer en fonction de $x$ et de $y$ la dépense occasionnée par l'achat des $x$ lots A et des $y$ lots B.

\item Tracer sur le même graphique la droite (D) correspondant à une dépense de \nombre{45000}~euros. Combien y a-t-il de solutions entraînant une dépense  strictement inférieure à cette valeur ?

\item Déterminer graphiquement une valeur de $(x~;~y)$ entraînant une dépense minimale et donner cette dépense.
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Dans ce problème, on étudie un ajustement pertinent d'un nuage de 
points.}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau 1 ci-dessous donne le taux d'équipement en matériel 
informatique des ménages américains :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$a$ 		& 1975 	&1980 	&1985 	&1990	&1995 	&2000\\ \hline
$y$ en  \%	& 10 	&15 	&30 	&50 	&69	 	&79\\ \hline
\end{tabularx}\]

On pose $x = \dfrac{a- 1975}{5}$	pour obtenir le tableau 2 suivant :

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering  \arraybackslash}X|}}\hline		
$x$ & 0 &1 	&2		& 3 	&4 	&5\\\hline
$y$ &10 &15 &30 	&50	&69 & 79\\ \hline
\end{tabularx}\]

\begin{enumerate}
\item Tracer un repère orthogonal faisant apparaître les abscisses de $0$ à $9$ et les ordonnées de $0$ à $100$ (on prendra 2~cm = 1~unité en abscisse et 2~cm = 10~unités en ordonnée). Tracer dans ce repère le nuage de points $(x~;~y)$ correspondant aux données du tableau 2.

\item On estime à 86,54~millions le nombre de foyers américains en 1980 et à 103,85~millions en 1995. 

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de foyers équipés en 1980. 

		\item Déterminer le nombre de foyers équipés en 1995. 

		\item Calculer le pourcentage d'augmentation du nombre de foyers équipés entre 1980 et 1995.
 
	\end{enumerate}

\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On se propose d'obtenir un ajustement du nuage à l'aide du graphe de la 
fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = \dfrac{100}{1 + 9\text{e}^{-0,7x}}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la courbe représentative de la fonction $f$ passe par le point de coordonnées (0~;~10).

		\item Calculer une valeur de $f(5)$ arrondie à l'unité près.

	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. 

En déduire l'existence d'une asymptote. 

Que peut-on en déduire pour l'évolution du taux d'équipement ?

		\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $[0~;~ + \infty[$. 
Calculer $f'(x)$ et déterminer son signe.

		\item Donner le tableau de variations de $f$.

		\item Compléter le tableau ci-dessous (les valeurs de $f(x)$ seront données au dixième le plus proche).

		\item Tracer la représentation graphique de $f$ dans le repère déjà utilisé à la \textbf{partie A}.

		\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) \geqslant 95$ (on fera apparaître les tracés sur le graphique). 

Que peut-on en déduire au sujet du taux d'équipement ?

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}