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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT C. G. - I. G. septembre 2002}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2002}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C. G. -- I. G.~\decofourright\\
Polynésie septembre 2002}}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill	4 points}

\medskip

Les cafés KAWA sont vendus en paquets de $250$~grammes. Les poids exacts des paquets d'un échantillon de $100$~paquets livrés dans un supermarché ont donné la courbe des effectifs cumulés de l'\textbf{Annexe 1}.\\
 (Unités graphiques : 4 cm représentent 10 grammes en abscisses et $2$~cm
	représentent $10$~paquets en ordonnées.)
	
\medskip
	
\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant.

\medskip

\hspace*{-1cm} \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|m{1.3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\footnotesize Poids en grammes&\scriptsize [230 ; 240[&\scriptsize [240 ; 244[&\footnotesize [\ldots ; \ldots[&\footnotesize [\ldots ; \ldots[&\footnotesize [\ldots ; \ldots[&\footnotesize [\ldots ; \ldots[&\footnotesize [\ldots ; \ldots[\\ \hline
\footnotesize Effectifs cumulés croissants 	&3	&10	&	&	&92	&	&100\\ \hline
\footnotesize Effectifs						&3	&7	&24	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
\item  On prend au hasard un paquet de cet échantillon.\\
Quelle est la probabilité des évènements suivants ?

	A \og Le paquet a un poids compris entre 248 et 256 grammes \fg.
	
	B \og Le paquet a un poids inférieur à 252 grammes. \fg
	
	C \og Le paquet a un poids supérieur à 256 grammes. \fg
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Annexe 1} \end{center}

\psset{xunit=0.24cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(225,-10)(275,110)
\psaxes[linewidth=1.5pt, Dx=200,Ox=230,Dy=200]{->}(230,0)(230,0)(275,110)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](230,0)(275,110)
\psline(230,0)(240,3)(244,10)(248,34)(252,71)(256,92)(260,99)(270,100)
\psdots(230,0)(240,3)(244,10)(248,34)(252,71)(256,92)(260,99)(270,100)
\uput[l](230,0){0} \uput[l](230,3){3} \uput[l](230,10){10} \uput[l](230,34){34} 
\uput[l](230,71){71} \uput[l](230,92){92} \uput[l](230,98){99}\uput[l](230,101){100}
\uput[d](230,0){230} \uput[d](240,0){240} \uput[d](244,0){244} \uput[d](248,0){248} 
\uput[d](252,0){252} \uput[d](256,0){256} \uput[d](260,0){260} \uput[d](270,0){270}
\psline[linestyle=dashed](240,0)(240,3)(230,3)
\psline[linestyle=dashed](244,0)(244,10)(230,10)
\psline[linestyle=dashed](248,0)(248,34)(230,34)
\psline[linestyle=dashed](252,0)(252,71)(230,71)
\psline[linestyle=dashed](256,0)(256,92)(230,92)
\psline[linestyle=dashed](260,0)(260,99)(230,99)
\psline[linestyle=dashed](270,0)(270,100)(230,100)
\rput(265,-8){Poids en grammes}
\rput{90}(231,85){Effectifs cumulés croissants}
%\multido{\r=225.5+1}{50}{\psline[linewidth=0.3pt](\r,-10)(\r,110)}
\end{pspicture}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill	5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Hachurer sur le graphique fourni en Annexe 2 l'ensemble des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y)$ \textbf{ne vérifient pas} le système (S) d'inéquations suivant :
\[(\text{S}) \quad \left\{\renewcommand{\arraystretch}{1.4}\begin{array}{l c l}
x&\geqslant&0\\
y&\geqslant&0\\
y &\leqslant &\frac{-2}{5}x+3\\
y &\leqslant &\frac{-7}{12}	x+ 3,5\\
y &\leqslant &\frac{-6}{5}x + 6\\
\end{array}\right.\]
Ce graphique est à rendre avec la copie.
\vspace{1cm}

\begin{center}\textbf{Annexe 2\\ 
à rendre avec la copie}
\end{center}

\medskip

\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(9,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt, Dx=200,Dy=200]{->}(0,0)(-1,-1)(9,9)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(9,9)
\psplot{-0.5}{8.6}{3 0.4 x mul sub}
\psplot{-0.5}{6.8}{3.5 7 x mul 12 div sub}
\psplot{-0.5}{5.4}{6 6 x mul 5 div sub}
\uput[d](8.8,0){$x$}\uput[l](0,8.8){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} 
\end{pspicture}

\item Pour standardiser ses emballages un artisan décide de vendre trois produits P$_{1}$, P$_{2}$, et P$_{3}$ en lots de deux types.

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Un lot de type A contient 6P$_{1}$,  7P$_{2}$, et 6P$_{3}$.
\item[$\bullet~$] Un lot de type B contient 15P$_{2}$,  	12P$_{2}$ et 5P$_{3}$.
\end{itemize}

Il est en mesure de produire quotidiennement au maximum 45P$_{1}$, 42P$_{2}$ et 30P$_{3}$.

On nomme $x$ le nombre de lots A et $y$ le nombre de lots B.

Montrer que les couples d'entiers $(x~;~y)$ vérifiant le système (S) satisfont
les contraintes de cet artisan.
\item  Un lot A est vendu $127$~\euro, un lot B est vendu $254$~\euro.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $x$ et $y$ le chiffre d'affaires $c$ produit par la vente de $x$ lots A et de $y$ lots B.
		\item Calculer le chiffre d'affaires produit par la vente de quatre lots A et d'un lot B.
		\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ correspondant au chiffre d'affaires $c  = 762$.
		\item Déterminer graphiquement les ventes de lots A et B qui permettent de réaliser ce chiffre d'affaires.
		\item Peut-on obtenir an chiffre d'affaires supérieur à $762$~\euro{} en respectant les m\^emes contraintes ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill	11 points}\\

\textbf{Partie A}

\medskip
\parbox{0.6\linewidth}{On considère la fonction $g$ définie sur
$]0~;~ +\infty[$ par
\[ g(x) = 1 - x - 2\ln x\]
 et représentée ci-contre par la courbe $\mathcal{C}_{g}$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Que semble représenter la droite $\mathcal{D}$ pour
la courbe $\mathcal{C}_{g}$ ?	
		\item  Utiliser le graphique pour trouver une équation de $\mathcal{D}$.
		\item  On désigne par $g'$ la dérivée de $g$ sur $]0~;~ +\infty[$.
		
Calculer $g'(x)$.	
		\item  Calculer $g(1)$ puis $g'(1)$. La réponse à la question \textbf{1. a.} est-elle confirmée ?	Justifier.
	\end{enumerate}
\item Déterminer, graphiquement, le signe de $g(x)$ sur ]0~;~3].
\item La droite d'équation $x = 0$ est-elle asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ ?
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.37\linewidth}{\psset{unit=0.65cm}\begin{pspicture}(-2,-6)(5,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-2,-6)(5,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-2,-6)(5,6)
\psline(-1,6)(3,-6) 
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.08}{4}{1 x sub x ln 2 mul sub} 
\uput[ur](0.2,3.5){$\mathcal{C}_{g}$}
\uput[dl](2.75,-5){$\mathcal{D}$} \uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
}		
		
\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Soit la fonction numérique $f$ définie sur [0,1~;~3] par 

 \[f(x)= 6x - x^2 - 4x \ln x.\]
 
Soit	$\mathcal{C}_{f}$ sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij, unités graphiques $4$~cm sur l'axe des abscisses $1$~cm sur l'axe des ordonnées.
\begin{enumerate}
\item On  désigne par $f'$ la dérivée de $f$ sur [0,1~;~3].
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$. Montrer que $f'(x) = 2g(x)$. 
		\item Utiliser le résultat de la question \textbf{2.} de la partie \textbf{A}, pour dresser le tableau de variations de la fonction $f$. 
\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire le tableau suivant et le compléter en donnant des valeurs décimales approchées de $f(x)$ à $10^{-2}$ près.
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&0,1&	0,3&	0,5&	1&	1,6&	2,1&	2,5&	3\\ \hline
$f(x)$&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
					
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_{f}$ dans le repère \Oij.	
	 \end{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{1}^3 g(x)\:\text{d}x$.
 \end{enumerate}
\end{document}