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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT  C.G.- I.G.}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT CG - IG Polynésie ~\decofourright\\septembre 2003}} 
    
\vspace{0,5cm}

Coefficient 2  \hfill Durée 2 heures

\vspace{0,5cm}

La calculatrice est autorisée.

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points }

\medskip

Le tableau suivant indique l'évolution du pourcentage de vente des monospaces par rapport aux ventes totales de véhicules neufs d'un concessionnaire entre 1995 et 2002.

$x$ représente le rang de l'année et $y$ le pourcentage correspondant.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année	&1995	&1996	&1997	&1998	&1999	&2000	&2001	& 2002\\\hline
$x$		&1		&2		&3		&4		&5		&6 		&7		&8\\ \hline
$y$		&	6,4	&	8	&	10,1& 11,1	&	12,7& 14,4	& 15	&	15,9\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter, dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm le nuage	des points $M(x~;~y)$ de cette série.

On graduera l'axe des ordonnées à partir de 5.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point moyen G de la série.

On estime que la droite $\mathcal{D}$ passant par G de pente $1,4$ réalise un ajustement affine du nuage représenté.

		\item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$.

		\item Tracer la droite $\mathcal{D}$  sur le graphique précédent.

	\end{enumerate}

\item En utilisant l'ajustement affine donnée par la droite $\mathcal{D}$ : 

	\begin{enumerate}
		\item estimer graphiquement le pourcentage de monospaces neufs vendus en 2003 ;	

		\item estimer, par le calcul, en quelle année le pourcentage de vente des monospaces	atteindra 25\:\%.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Pour poser une mosaïque, un carreleur dispose de carreaux dont 25\,\% sont jaunes, les $\dfrac{2}{5}$ sont bleus et les 525 restants sont blancs.

\begin{enumerate}
\item Quel est le pourcentage de carreaux blancs ?

Montrer que le carreleur dispose de \np{1500} carreaux.

\item Certains carreaux sont abîmés : ils représentent 4\:\% des jaunes, 5\:\% des bleus et 4\:\% des blancs.

Recopier et finir de compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{}	&Carreaux jaunes	&Carreaux bleus	&Carreaux blancs	&Total\\\hline
Abîmés					&					&				&					&\\ \hline
Non abîmés				&					&				&					&\\ \hline
Total					&					&				&525				&\np{1500}
\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Le carreleur prend un carreau au hasard, tous les carreaux ayant la même probabilité d'être choisis. On considère les évènements suivants :

$\bullet~$ $A$ : \og le carreau est blanc \fg{}

$\bullet~$ $B$ : \og le carreau n'est pas abîmé \fg{}

$\bullet~$ $C$ : \og le carreau est bleu \fg.

Calculer les probabilités $p(A),\: p(B$) et $p\left(\overline{C}\right)$.

Les résultats seront donnés sous forme décimale exacte.

\item Définir par une phrase les évènements A ~$\cap$~ B et A ~$\cup$~ B puis calculer leur probabilité.

Les résultats seront donnés sous forme décimale exacte.

\item Le carreleur choisit au hasard un carreau non abîmé, quelle est la probabilité pour qu'il soit blanc ?

Le résultat sera donné sous forme d'une valeur décimale arrondie à $10^{-2}$ près.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

\emph{Ce problème a pour objet l'étude des principales méthodes d'analyse au programme de la série.}

Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ dont la représentation graphique $\mathcal{C}$ sur l'Intervalle [0,5~;~12] est donnée en annexe. La droite $\mathcal{T}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour chacune des 5 questions, reporter sur la copie la ou les lettres correspondant aux réponses exactes.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5}
\multicolumn{2}{c|}{}						&Réponse A				&	Réponse B&	Réponse C\\ \hline
\textbf{1.}	& Quelle est l'image de 1 par $f$ ?	&$-4$&2,3&	$-3,5$\\ \hline 
\textbf{2.}	& Quelle est la valeur de $f'(1)$ ? &	1,5&	       8&	$-12$\\ \hline
\textbf{3.}	& Quelle est l'équation réduite  	&$y = - 8x - 12$ &$y = 8x - 12$ &$y = 12x + 8$\\
			& de la tangente $\mathcal{T}$ ? 	&  			&   &\\ \hline
			& D'après le graphique, quel est le nombre		&  		&   &\\
\textbf{4.} 	& de solutions de l'équation $f(x) = 0$			&  	1	&	2&	3\\
			& sur [0,5 ; 12] ?					&    		&    	&     \\ \hline
\textbf{5.}	& Dans quel(s) intervalle(s)  		& 			& 		& \\ 		
			&y a-t-il une solution ?			&[1~ ;~2] & [0~;~1,5] & [11 ; 12]\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

La fonction $f$ précédente est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = 4\ln x  - \dfrac{5}{x} - x + 2.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la  limite de $f$ en $0$. 
Interpréter graphiquement ce résultat.

		\item Mettre $x$ en facteur dans l'expression de $f(x)$ et en déduire la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.

	\end{enumerate}

\item On désigne par $f'$ la dérivée de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ sur 	$]0~;~+ \infty[$.

		\item Résoudre l'équation : $4x + 5 - x^2 = 0$.

En déduire une factorisation de l'expression $- x^2 + 4x + 5$.

		\item Montrer que : $f'(x) = \dfrac{ (5 - x)(x + 1)}{x^2}$.

		\item En déduire les variations de $f$ et dresser son tableau de variations. Indiquer dans le tableau la valeur exacte de $f(5)$ et les limites.

	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire le tableau suivant et le compléter en donnant les valeurs décimales de $f(x)$ arrondies à $10^{-2}$  près.

\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*8{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&1,4	&1,5	&1,6	&1,7	&1,8	&	1,9	& 	2\\\hline
$f(x)$	&		&		&		&		&		&		&\\\hline
\end{tabularx}\]

		\item En déduire un encadrement à $0,1$~près de la plus petite des solutions de l'équation $f(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe} 
\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=0.92cm}
\begin{pspicture}(-1,-13)(12,3)
\psaxes[linewidth=1.75pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-13)(12,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridcolor=orange](0,0)(-1,-13)(12,3)
\uput[u](10,0.75){$\mathcal{C}$} \uput[r](1.75,2){$\mathcal{T}$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0.443}{12}{x ln 4 mul 5 x div sub x sub 2 add}
\uput[dl](0,0){O}
\psline(0,-12)(1.875,3)
\end{pspicture}
\end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$  par

\[g(x) = x(\ln x - 1).\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $g$ est une primitive de la fonction In. En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.

\item Déterminer une valeur approchée à l'unité près de l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$	l'axe des abscisses et les droites d'équation	$x = 3$ et $x = 8$.
\end{enumerate}
\end{document}