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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G-I.G.}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{
\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G-I.G. Antilles-Guyane~\decofourright\\
 juin 2002}}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Durée : 3 heures \hspace{3cm} Coefficient : 4}

\textbf{Calculatrice autorisée}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

L'évolution de la part de la dépense intérieure d'éducation dans le PIB en pourcentage (produit intérieur brut en France) de 1993 à 1999 est donnée par le tableau suivant dans lequel $x_i$, représente le rang de l'année et $y_i$ le pourcentage correspondant.

\[ \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{ >{\centering \arraybackslash}X |}}\hline
Année	& 1993	& 1994	&  1995	& 1996	& 1997	&1998	& 1999\\ \hline
$x_i$ 	& 0 	& 1 	& 2 	& 3		& 4		&	5	&  6\\ \hline
$y_i$	& 7,4	& 7,3	& 7,3	& 7,3	& 7,2	& 7,2 	& 7,2\\ \hline
\end{tabularx}\]

\vspace{0,3cm}

\begin{enumerate} 
\item Représenter sur un graphique le nuage de points 
$M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ de cette série statistique. On prendra 1 cm pour 1 en abscisses, 1~cm  pour 0,1 en ordonnées en commençant la graduation à 7. 

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item On considère le nuage formé par les trois premiers points. Calculer les coordonnées du point moyen G$_1$ de ce nuage (arrondir à $10^{- 1}$ près).
		\item On considère le nuage forme des quatre derniers points. Calculer les coordonnées du point moyen G$_2$ de ce nuage (arrondir à $10^{- 1}$ près).
		\item Placer G$_1$ et G$_2$ sur le graphique et tracer la droite (G$_1$ G$_2$)
		\item Déterminer une équation de la droite (G$_1$G$_2$).
	\end{enumerate}
\item En supposant que l'évolution reste la même, déterminer graphiquement en quelle année le pourcentage deviendrait intérieur à 7, 1.

Vérifier le résultat par le calcul.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\medskip

Un jeu consiste à gratter trois cases placées côte à côte.

Sur chacune de ces cases peut apparaître un et un seul des symboles 
suivants : $\heartsuit,~\diamondsuit$ et $\spadesuit$.

On appellera \og figure \fg{} le triplet obtenu après grattage.

\begin{enumerate} 
\item Montrer que le nombre de \og figures \fg{} possibles est de 27. (On pourra s'aider d'un arbre.)
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Quel est le nombre de \og figures \fg{} o\`u les trois symboles sont identiques ?
		\item Quel est le nombre de \og figures \fg{} o\`u les trois symboles sont tous différents ?
	\end{enumerate}
\item On admet que les \og figures \fg{} apparaissent avec la même probabilité.
 Calculer la probabilité de chacun des événements suivants (les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible) :

A \og les trois cases portent le symbole $\heartsuit$ \fg{} ;

B \og les trois cases portent le même symbole \fg{} ;

C \og les trois cases portent des symboles tous différents \fg{} ;

D :\og exactement deux des cases portent des symboles identiques \fg{} ; 

E : \og deux au moins des cases portent des symboles identiques \fg{}.
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hspace{2cm} 12 points}

\begin{center}
\textbf{Partie A} 
\end{center}

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ dont la courbe représentative 
$\mathcal{C}$ est tracée dans le plan rapporté à un repère orthonormal 
\Oij{} (unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses ; 1~cm sur
l'axe des ordonnées).

\psset{xunit=1.65cm}
\begin{center} 
\begin{pspicture}(-4,-5)(3,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(-4,-5)(3,6)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(-4,0)(3,0) \psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,-5)(0,6)
\uput[l](0,0.5){ $\overrightarrow{\jmath}$} 
\uput[d](0.5,0){ $\overrightarrow{\imath}$}
\uput[l](0,2){2}  \uput[l](0,-1){-1}  \uput[l](0,-2){-2}  \uput[l](0,-4){-4}
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](1,0){1}  \uput[d](2,0){2}
\psline(-2,-4)(3,1) \psline(3,5)(-0.66667,-5)
\psline[linestyle=dashed](0,2)(2,2)(2,0)
\uput[l](-1.5,4){$\mathcal{C}$} \uput[d](2.8,4){$\Delta$}
\uput[d](3,0){$x$} \uput[l](0,5.8){$y$} 
\psplot{-2}{3}{2 2.71828 x neg  exp  mul x 3 mul add 4 sub} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item Répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est l'image de $0$ ?
		\item Quel est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $0$ ?
		\item Quelle est la limite de $f$ en $+ \infty$ ?
		\item Donner une équation de l'asymptote oblique à la courbe 
$\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item On admet que $f(x) = 2\text{e}^{- x} + ax + b$ o\`u $a$ et $b$
 sont deux nombres réels.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer $f'(x)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
		\item En utilisant les résultats du \textbf{1 a} et du \textbf{1 b},
 déterminer les valeurs de $a$ et $b$ et en déduire l'expression de
 $f(x)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\begin{center}
 \textbf{Partie B} 
\end{center}

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[ f(x) = 2\text{e}^{-x} + 3x - 4.\]

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. On admettra que la
 limite en $- \infty$ est $+ \infty$.
\item Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = 3x - 4$ est 
asymptote à la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$.
\item Déterminer le point d'intersection de $\mathcal{C}$ avec la
 droite d'équation $y = 3x$.
\item Déterminer la fonction dérivée de $f$.
\item Étudier le signe de la fonction dérivée.
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\begin{center} 
\textbf{Partie C} 
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.
\item Calculer l'aire de la portion du plan délimitée par la courbe
 représentative $\mathcal{C}$ de $f$, l'axe des abscisses et les droites  d'équation $x = 2$ et $x = 3$. On donnera d'abord la valeur exacte puis une valeur approchée en cm$^2$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\end{document}