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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G-I.G.}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{
\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G--I.G. Centres étrangers~\decofourright\\
 juin 2002}}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Durée : 3 heures \hspace{3cm} Coefficient : 4}

\textbf{Calculatrice autorisée}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise étudie l'évolution, à partir de 1993, du pourcentage de cadres parmi ses employés.

Le tableau suivant donne, pour les années indiquées, le nombre 
$x$ d'années écoulées, depuis 1993 ainsi que le pourcentage $y$ de cadres parmi les employés.
 
\[ \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline
Année	& 1994	& 1995	&1996	&1997	&  1998	&1999	&2000	& 2001\\ \hline
$x$		& 1		& 2 	& 3		& 4		& 5		& 6		&	7	& 8\\ \hline
$y$		& 11,9 	&14,2	&15,8	&18,1	&19,6	&20,3	&21,2	&22,9\\ \hline
\end{tabularx}\]

\begin{enumerate} 
\item	Dans un repère orthonormal \Oij{}	d'unité graphique 1~cm, représenter le nuage de points $M$ de coordonnées $(x~;~y)$.

On graduera l'axe des ordonnées à partir de $10$.
\item On nomme G le point moyen du nuage de points. 
	\begin{enumerate} 
		\item	Calculer les coordonnées du point G et placer ce point sur le graphique.
		\item	Tracer sur le graphique une droite (D) passant par G qui réalise un bon ajustument afine du nuage de points. 
		\item	Déterminer graphiquement l'équation de la droite (D).
	\end{enumerate}
\item On réalise, à l'aide de la droite (D), un ajustement affine
 du nuage représenté. Utiliser l'équation de la droite (D) pour estimer : 
	\begin{enumerate} 
		\item	le pourcentage de cadres parmi les employés de l'entreprise en  2002 ;
		\item À partir de quelle année, le pourcentage de cadres parmi les employés dépasserait $30 \%$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\medskip

Pour mieux satisfaire ses clients, une agence de voyage leur a envoyé un questionaaire. Parmi les 200 réponses reçues : 

$\bullet~ 55\: \%$ des personnes déclarent partir en vacances en famille, 

$\bullet~$ Parmi les clients qui ne partent pas en famille, $60\:\%$ préfèrent les voyages organisés et $20\:\%$ préfèrent les croisières. 

\begin{enumerate} 
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{| *{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c |}{} & Voyage organisé & Club de vacances 	&Croisière 	& Total\\ \hline
En famille 				& 					&   				&26 			& \\ \hline
Seul ou entre 			&  					& 					& 				& \\ 
amis 					& 					& 					& 				& \\ \hline
Total 					& 					& 73 				&  				& 200\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\item	On choisit un client au hasard parmi les deux cents qui
 ont répondu au questionnaire.  Calculer la probabilité des évènements suivants : 

A  : \og le client choisi part en famille \fg{} ;

B  : \og le client choisi préfère les croisières \fg{} ;

C  : \og le client choisi ne part pas en club de vacances \fg{}.

\item Définir par une phrase chacun des évènements A 
~$\cap$~ B et A ~$\cup$ ~ B puis calculer les probabilités de ces évènements. 
\item On choisit au hasard une personne qui a déclaré partir en
 vacances en famille. Quelle  est la probabilité pour qu'elle préfère les clubs
 de vacances ?  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 11 points}

\medskip

\emph{La partie} A \emph{de ce problème est consacrée à l'étude graphique de la fonction} $f$ \emph{définie ci-dessous.
La partie} B \emph{permet d'établir certaines propriétés de cette fonction, et de calculer une intégrale.}

Soient la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par
 
\[f(x) = - \dfrac{1}{x} + 1 - \dfrac{\ln(x)}{x},\]

$f'$  sa fonction dér\^ivée, et $\mathcal{C}$ sa courbe représentée en annexe à deux échelles différentes (schéma 1 et schéma 2 par des copies de l'écran d'une calculatrice graphique.

La feuille comportant ces deux graphiques devra être complétée et rendue avec la copie.

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A : Observations et conjectures.}

\medskip 

\begin{enumerate} 
\item En utilisant le schéma 1, indiquer le point où la 
dérivée $f'$ semble s'annuler. Expliquer la réponse par un argument graphique. 
\item Indiquer une équation de l'asymptote verticale à $\mathcal{C}$
 qui semble se dégager sur le schéma 1.

\item	On considère l'intégrale I =$\displaystyle\int_1^{\text{e}} 
\left[1 -  f(x) \right] \:\text{d}x.$

	\begin{enumerate} 
		\item Interpréter graphiquement cette intégrale et hachurer la surface correspondante.
		\item En admettant que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [ 1~;~e] (ce qui sera établi plus loin) et en calculant la valeur exacte de $f(\text{e})$, montrer que :

\[ \text{e} -2 \leqslant \text{I} \leqslant \text{e}.\]

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B - Calculs et preuves}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer : $\lim\limits_{x \to + \infty} f(x)$. 

Interpréter graphiquement ce résultat et tracer la droite correspondante sur le schéma 2. 
\item Vérifier que pour tout réel $x$ de $]0~;~ + \infty [,~ 
f(x) =\dfrac{1}{x} \left[- 1 + x - \ln (x)\right].$

En déduire $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$. Ce résultat confirme t-il une observation de la \textbf{partie A} ?

Expliquer la réponse. 
\item	étudier le signe de $f(x) - 1$ pour tout réel $x$
 strictement supérieur à 1. Interpréter graphiquement ce résultat. 
\item	Déterminer $f'$, en déduire son signe, et présenter les
 variations de $f$ dans un tableau faisant aussi appara\^itre les limites trouvées aux questions précédentes. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est, pour $x > 0$, la dérivée $g'(x)$ de la
 fonction $g$ définie par $g(x)  = 1 + \ln x$ ?

Montrer que pour tout $x > 0,~ 1 - f(x) = g (x) g'(x).$ 
		\item En déduire la valeur exacte de I = $\displaystyle\int_1^{\text{e}} \left[1 - 
f(x)\right]\: \text{d}x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} 
\begin{pspicture}(7,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(7,7)
\psplot[plotpoints=1000]{0.1495}{7}{1 x ln x div sub 1 x div sub}
\uput[u](7,0){$x$} \uput[r](0,7){$y$}
\rput(4,6){Schéma 1}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1,5cm}

\begin{center}
\psset{xunit=0.025cm,yunit=6cm}
\begin{pspicture}(500,1.4)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(500,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1.4)
\psplot[plotpoints=1000]{10}{500}{1 x ln x div sub 1 x div sub}
\uput[u](500,0){$x$} \uput[r](0,1.4){$y$} 
\rput(300,1.3){Schéma 2}
\uput[d](0,0){0}  \uput[d](100,0){100}  \uput[d](200,0){200} 
\uput[d](300,0){300}  \uput[d](400,0){400}  \uput[d](500,0){500}
\uput[l](0,0){0} \uput[l](0,0.2){0,2} \uput[l](0,0.4){0,4}
\uput[l](0,0.6){0,6} \uput[l](0,0.8){0,8} \uput[l](0,1){1} 
\uput[l](0,1.2){1,2}
\uput[l](0,1.4){1,4} 
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}