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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G-I.G.}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large{
\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G-I.G. Métropole~\decofourright\\
 juin 2002}}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Voici la répartition des salaires dans une entreprise. On dénombre cinq classes de salaires différentes.

\begin{center} 
\psset{xunit=0.0025cm,yunit=0.07cm}
\begin{pspicture}(800,0)(3800,110)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(800,0)(3800,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(800,0)(800,110)
\psframe(1000,0)(1400,80) \psframe(1400,0)(1800,40) \psframe(1800,0)(2200,40) 
\psframe(2200,0)(2600,30) \psframe(2600,0)(3000,10)
\uput[d](1000,0){\np{1000}} \uput[d](1400,0){\np{1400}} \uput[d](1800,0){\np{1800}} 
\uput[d](2200,0){\np{2200}} \uput[d](2600,0){\np{2600}} \uput[d](3000,0){\np{3000}}  
\uput[l](800,20){20} \uput[l](800,40){40} \uput[l](800,60){60} 
\uput[l](800,80){80}
\rput(1200,40){A} \rput(1600,20){B} \rput(2000,20){C} 
\rput(2400,20){D} \rput(2800,5){E} 
\rput{90}(710,100){effectifs}
\rput(3400,-8){Salaires mensuels en euros}  
\end{pspicture} \end{center} 

\vspace{0,5cm}

Par exemple, les salariés appartenant à la classe A touchent un salaire
 mensuel compris entre \np{1000} euros inclus et \np{1400} euros exclu. 
 
\textsl{Dans cet exercice on donnera les probabilités sous forme de fraction puis sous forme décimale arrondie à deux chiffres après la virgule le cas échéant.} 

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Recopier et compléter à l'aide
    du diagramme le tableau suivant :

\footnotesize{
\begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Salaires  	&  					& 					& 					& & \\
mensuels 	& [\np{1000}~;~\np{1400}[	& [\np{1400}~;~\np{1800}[	& [\np{1800}~;~\np{2200}[	& [\np{2200}~;~\np{2600}[	& [\np{2600}~;~\np{3000}[ \\
en euros 	& 					& 					& 					& 					& \\ \hline
Effectifs 	& 					&  					&  					&  					& \\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}}

		\item Justifier que le nombre de salariés dans l'entreprise est $200$.

	\end{enumerate}

\item On rencontre un salarié de l'entreprise au hasard. On considère
 les évènements suivants : 

A : \og le salarié appartient à la classe A \fg{}.

$\overline{\text{A}}$ : \og le salarié n'appartient pas à la classe A \fg{}.

B : \og le salarié appartient à la classe B \fg{}. 

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer : $p$(A) et $p$(B). 

		\item Définir chacun des évènements A ~$\cup$~ B et 
$\overline{\text{A}}$ par une phrase portant sur le salaire mensuel.

		\item Déterminer $p$(A~$\cup$~ B) et $p\left(\overline{\text{A}}\right)$.

	\end{enumerate}

\item On sait que le salarié rencontré a un salaire, en euros, appartenant à [\np{1800}~;~\np{2600}[. 

Déterminer la probabilité $p_1$ pour que ce salarié 
appartienne à la classe C.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise, qui fabrique et commercialise un produit, a une capacité de production limitée à 3,5 tonnes par jour.

Le coût total de production exprimé en milliers d'euros, pour fabriquer
 $x$ tonnes de ce produit est noté $Q(x)$.
 
On note $R(x)$ la recette, exprimée en milliers d'euros, obtenue pour
 $x$ tonnes de produit vendues.
 
On note $B(x)$ le bénéfice, exprimé en milliers d'euros, obtenu pour
 $x$ tonnes de produit vendues.
 
Sur le dessin ci-dessous, on a représenté graphiquement les fonctions
 $C$ et $R$.
 
 \bigskip

\psset{xunit=3cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(3.5,17)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt]
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(4,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,17)
\uput[d](3.6,0){tonnes}
\rput{90}(0.2,13){milliers d'euros}
\psline(0,0)(3.5,14)
\psplot{0}{3.5}{x dup mul 3 add}
\rput(0.25,3.5){$C$} \rput(0.25,0.5){$R$}
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A : étude graphique}

\medskip

\emph{Répondre aux questions suivantes en utilisant
 le graphique.} 

\begin{enumerate} 
\item Déterminer le montant en euros des coûts lorsque la production
 est nulle. 

\item Quelle est le montant en euros de la recette si l'entreprise produit et vend 0,5 tonne de produit. Réalise-t-elle un bénéfice dans ce cas ? (Justifier la réponse). 

\item Pour quelles valeurs de $x$, le bénéfice est-il nul ? 

\item Déterminer les quantités de produit pour lesquelles l'entreprise est bénéficiaire. 

\item Déterminer la quantité de produit qui assure à l'entreprise un
 bénéfice maximal. Quel est alors ce bénéfice ?
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Partie B : étude de la fonction} \boldmath $B$ \unboldmath

\medskip

Dans cette partie, on sait que pour $x \in  [0~ ;~ 3,5],~ C(x) = x^2 + 3$ et $R(x) = 4x$. 

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $B(x) = - x^2 + 4 x - 3$. 

\item Calculer $B'(x)$, puis étudier son signe sur [0~;~3,5]. 

\item Dresser le tableau de variation complet de la fonction $B$ sur
 [0~;~3,5] et vérifier le résultat de la question \textbf{A 5}.
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème\hfill 10 points}

\medskip

Sur la feuille annexe, on donne la représentation graphique d'une
 fonction $f$ définie sur $[- 2~;~+ \infty[$.

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Partie A : étude de la représentation graphique d'une 
fonction} \boldmath  $f$ \unboldmath

\medskip

\textbf{En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes sans jusfifications.}

\begin{enumerate} 
\item Quelles sont les valeurs de $f(0)$ et de $f'(1)$.

\item Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de la solution
 positive $\alpha$ de l'équation $f(x) = 0$. 

\item Résoudre l'inéquation $f'(x) \geqslant 0$ puis l'équation $f'(x) = 0$. 

\item Quelle limite de $f$ en $+ \infty$ le graphique laisse-t-il prévoir ? 

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath
 \textbf{et calcul d'une aire}

La fonction $f$ représentée sur la feuille annexe est la fonction
 définie sur $[-2~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \left(3 - x^2\right) \text{e}^x.\] 

\textbf{Ce graphique sera à compléter au fur et à mesure des 
questions.}

\begin{enumerate} 
\item Déterminer $\lim\limits_{x \to + \infty} f(x)$ en justifiant avec soin. 

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = 
\text{e}^x \left(- x^2 - 2x + 3\right)$. 

		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur $[ - 2~ ;~ + \infty[$ puis dresser le tableau de variations de $f$.
 
\end{enumerate}

\item Déterminer une équation de la tangente T à la 
courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. Indiquer les coordonnées du point d'intersection entre T et l'axe des abscisses. On note I ce point. Tracer T et placer le point I sur le graphique en annexe. 

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Hachurer la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. 

		\item Vérifier que la fonction $F$ définie sur $[- 2~;~+ \infty[$ par

\[ F(x) = \left(- x^2 + 2x + 1\right)\text{e}^x.\]

 est une primitive de $f$.

		\item En déduire l'aire de la partie hachurée en unités d'aires (on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée arrondie au dixième).
 
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
    
À RENDRE AVEC LA COPIE
    
ANNEXE
    
Courbe représentative de la fonction $f$.
    
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\begin{center} \psset{xunit=2.9cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-7)(2.2,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt](0,0)(-2.2,-7)(2.2,7)
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(-2.2,0)(2.2,0)
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,-7)(0,7)
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{-2.2}{1.989}{2.71828 x exp 3 x dup mul sub mul}
\uput[d](2.2,0){$x$} \uput[l](0,7){$y$}
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(0.6,5.43656)(1.4,5.43656)
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}