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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G.--I.G.}
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STT C.G.-I.G. Métropole~\decofourright\\  septembre 2003}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip

Dans une urne on a placé 26 cartons sur lesquels ont été peintes en 
bleu les 6 voyelles, en bleu les 10 premières consonnes et en rouge les 10 dernières consonnes de l'alphabet français.

\textsl{Tous les résultats de cet exercice seront donnés sous forme de 
fractions irréductibles.}

\begin{enumerate}
\item On tire au hasard un carton de l'urne.

Soit A l'évènement : \og la lettre obtenue est bleue \fg{},

B l'évènement : \og la lettre obtenue est une consonne \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les probabilités de A et de B.
		\item Définir par une phrase l'évènement A $\cap$ B puis calculer la probabilité de A $~\cap~$ B.
		\item Définir par une phrase l'évènement A $\cup$ B puis calculer la probabilité de A $~\cup~$ B.
	\end{enumerate}
\item On tire au hasard un carton sur lequel la lettre est peinte en 
bleu. Quelle est la probabilité qu'on obtienne une consonne ?
\item On tire au hasard un carton sur lequel figure une consonne. Quelle est la probabilité que cette consonne soit bleue ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

La production de l'entreprise AZ a été relevée depuis 1986. Le rang de 
l'année est noté $x_i$, la production est exprimée en tonnes et notée $y_i$ ; les résultats sont consignés dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année $t$	& 1986	& 1987 	&1988	& 1989	& 1990	& 1991	& 1992 & 	1993	&1994\\ \hline 
$x_i$ 		&1		& 2		& 3		& 4		& 5		&6		& 7		&	8 		& 9\\ \hline
$y_i$		& 600 	&700 	&650	& 800 	&750 	&100 	& 400  	&350  		&1050\\ \hline\cline{1-9}
Année $t$ & 1995 	&1996  	&1997  	&1998 	& 1999 	&2000  	&2001 	& 2002 		& \multicolumn{1}{|c}{} \\ \cline{1-9}
$x_i$		& 10	&	11	& 12	& 13	& 14	& 15 	& 16 	& 17 		& \multicolumn{1}{|c}{} \\ \cline{1-9}	
$y_i$		&1300 	&	1050&1200	&1300 	& 1150 & 1500 	& 1650 	& 1500		& \multicolumn{1}{|c}{} \\ \cline{1-9}
\end{tabularx} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le nuage de points associé à la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques :

$\bullet~$ axe des abscisses : 1~cm ;

$\bullet~$ axe des ordonnées : 1~cm pour 100~tonnes.

		\item Au cours de l'année $t$ les installations de l'entreprise ont été presque détruites, indiquer l'année $t$ et justifier votre réponse.
		\item On décide de pratiquer un ajustement linéaire, quelles années est-il raisonnable de supprimer ?
	\end{enumerate}
\item On considère les deux sous-nuages N$_{1}$ et N$_{2}$ associés respectivement aux 5~premières années et aux 9 dernières années (les années 1991, 1992, 1993 sont écartées).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des points moyens G$_{1}$ 
et G$_{2}$ des 2 nuages N$_{1}$ et N$_{2}$.

Placer ces points sur le graphique.
		\item Montrer qu'une équation de la droite d'ajustement (G$_{1}$G$_{2}$) 
est $y = 60x +520$.

Tracer cette droite.
		\item Déterminer le point moyen G de la série privée des trois couples 
		
$\left(x_{6},~y_{6}\right),~ \left(x_{7},~y_{7}\right), 
\left(x_{8},~y_{8}\right)$.

Le point G appartient-il à la droite (G$_{1}$ G$_{2}$) ? Justifier par un calcul.
		\item Déterminer graphiquement une estimation de la production en  l'an 2005.
		\item Par le calcul, estimer l'année à partir de laquelle la production dépassera $\nombre{2000}$ tonnes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  10 points}

\medskip

La courbe ($\mathcal{C}$), donnée en annexe, est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = 4x + 2 - \text{e}^{2x}.\]

Le point A a pour coordonnées (1~;~3). Le point B a pour coordonnées 
(0~;~1). La droite (AB) est tangente à la courbe ($\mathcal{C}$) en B.

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite (AB) et en déduire $f'(0)$.
		\item Résoudre graphiquement l'inéquation : $f'(x) \geqslant  0$.
		\item Quelle limite de $f$ en $ + \infty$ le graphique laisse-t-il prévoir ?
	\end{enumerate}
\item Justifier à l'aide du graphique que l'équation : $f(x) = 0$ possède deux solutions notées $\alpha$ et $\beta$.

Donner, grâce à une lecture graphique, un encadrement de chacune de ces 
solutions à $0,5$~près.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant l'expression 
de $f(x)$, déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
		\item Montrer que la droite (D), d'équation $y =  4 x + 2$, est asymptote à la courbe 
($\mathcal{C}$) quand $x$ tend vers $- \infty$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Verifier que pour tout $x : f(x) = 
\text{e}^x\left(4\dfrac{x}{\text{e}^x} + \dfrac{2}{\text{e}^x} - \text{e}^x\right)$.
		\item Quelle est la valeur de : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{\text{e}^x}$.
		\item Déterminer alors la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$. Calculer exactement le maximum.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Hachurer la partie du plan limitée par la courbe ($\mathcal{C}$),
    l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 0$ 
    et $x = \dfrac{1}{2}$.
\item Vérifier que la fonction définie par : $F(x) =  2x^2 + 2x - 
\dfrac{1}{2} \text{e}^{2x}$ est une primitive de $f$.
\item En déduire l'aire de la partie hachurée en unités d'aires (on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 0,01 près).
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{Annexe (à rendre avec la copie)}

\vspace{0,5cm}

Courbe représentative de la fonction $f$

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-3.2,-2.2)(2.2,4.2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt,gridcolor=orange](0,0)(-3,-2)(2,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3.2,-2.2)(2.2,4.2)
\uput[dl](0,0){O} \uput[l](1,3){A} \uput[r](0,1){B}
\qdisk(1,3){2pt} \qdisk(0,1){2pt} 
\uput[u](2.2,0){$x$} \uput[l](0,4.2){$y$}
\uput[r](0.6,4){(D)} \uput[r](1.1,-2){$(\mathcal{C})$} 
\psline(-1.6,-2.2)(1.6,4.2)
\psline(-1.05,-2.2)(0.55,4.2)
\psline[linestyle=dashed](0.347,0)(0.347,1.3863)
\psline{<->}(0.147,1.3863)(0.547,1.3863)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.017}{1.0685}{4 x mul 2 add 2.71828 x  2 mul exp sub}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}