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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G-I.G.}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{mars 2002}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{
\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G-I.G. Pondichéry~\decofourright\\
mars 2002}}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

\parbox[c]{0.65\textwidth}{Un enfant dispose de 3 crayons de couleurs 
différentes : un rouge noté R, un bleu noté B, un jaune noté J. Il veut 
colorier le toit, la fenêtre et la porte de la maison ci-contre. (Il peut 
colorier plusieurs éléments de la même couleur.)} \hfill  
\parbox[c]{0.33\textwidth}{\begin{pspicture}(3.8,3)
\psframe(0,0)(3.8,1.9) \psframe(2.8,0)(3.4,1) \psframe(0.6,0.9)(1.7,1.6)
\psline(0.6,1.25)(1.7,1.25) \psline(1.15,0.9)(1.15,1.6)
\psline(0,1.9)(1.9,3)(3.8,1.9)
\end{pspicture}}

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Recopier et compléter l'arbre ci-dessous :

\vspace{0,3cm}

\begin{center} ~~~~~~couleur du toit~~~~  couleur de la porte~~~~  couleur 
de la fenêtre

 \pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\Tc{3pt}}
{
\pstree{\TR{B}}
{
  \TR{B}
   \pstree{\TR{R}}{
           \TR{B}
           \TR{R}
           \TR{J}}    
\TR{J}
        }
\TR{R}
\TR{J}
} \end{center}

\vspace{0,3cm}

		\item Quel est le  nombre de dessins coloriés possibles ?

	\end{enumerate}

\item	En supposant l'équiprobabilité dans le choix des 
couleurs déterminer	la probabilité des évènements suivants :

A : \og le toit est rouge \fg{} ;

B : \og la porte et la fenêtre sont de la même couleur \fg{} ;

C : \og l'enfant a utilisé trois couleurs différentes \fg{} ;

D : \og l'enfant a utilisé au moins deux couleurs différentes \fg{}.

\item Sachant que  l'enfant a colorié le toit en rouge, 
déterminer la probabilité de l'évènement E :

E : \og la porte et la fenêtre sont de la même couleur \fg{}.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\medskip

Une couturière fabrique des pantalons suivant deux modèles A ou B. 
Elle dispose de 15 m de tissuu par semaine et travaille 40 heures
par semaine.

Le modèle A nécessite 1 mètre de tissu et 4 heures de travail.

Le modèle B nécessite 1,50 mètre de tissu et 2 heures de travail.

On note $x$ le nombre de pantalons du modèle A et $y$ le nombre de
 pantalons du modèle B fabriqués par semaine.

\begin{enumerate} 
\item Montrer que les productions hebdomadaires	de la 
couturière sont soumises aux  contraintes suivantes :.

\[ \left\{ \begin{array}{l c l}
x \in \N & , & y \in \N\\
x \geqslant 0 & \text{et} & y \geqslant 0\\
2x+3y & \leqslant & 30\\
2x+y  & \leqslant & 20
\end{array}\right.\]

\item Représenter graphiquement les contraintes de production
 dans un repère \Oij. On choisira 1~cm par unité

\item Utiliser le graphique pour répondre aux questions 
\textbf{a}  et \textbf{b}. 

	\begin{enumerate} 
		\item Si la couturière produit dans sa semaine 8 pantalons du modèle A, combien de pantalons du modèle B peut-elle produire ? (Donner toutes les  solutions). 

		\item	Si la couturière produit dans sa semaine 8 pantalons du modèle B, combien de pantalons du modèle A peut-elle produire ? (Donner toutes les  solutions).
 
	\end{enumerate}

\item Sur un pantalon du modèle A la couturière fait un 
bénéfice de $60$~\euro{} et sur un  pantalon du modèle B un bénéfice de $40$~\euro.  On suppose qu'elle vend toute sa production.

	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer en fonction de $x$ et de $y$ le bénéfice hebdomadaire R  qu'elle peut réaliser.

		\item Représenter sur le graphique précédent les couples $(x~;~y)$ qui permettent de réaliser un bénéfice de 240 \euro.

		\item Déterminer graphiquement le nombre de pantalons de chaque 
modèle à fabriquer par semaine pour que le bénéfice soit le plus grand possible (on admettra que ce bénéfice est obtenu pour un point de coordonnées $x$  et $y$ liés par $x + y = 12$).

		\item Quel est alors le bénéfice en euros ?

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Problème \hfill 11 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur I $=  ]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = 3 + 2 \ln x  - (\ln x)^2.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère 
orthonormal \Oij~ (unité graphique : 1~cm).

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la limite de $f$ en $0$. En déduire une 
asymptote à $\mathcal{C}$.

		\item Mettre en facteur $(\ln x)^2$ dans $f(x)$, puis calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.

	\end{enumerate}

\item Vérifier que pour tout $x$ de I : $f'(x) = 
\dfrac{2(1 - \ln x)}{x}$.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans I l'inéquation : $1 - \ln x > 0$.

		\item En déduire le signe de $f(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
 
	\end{enumerate}

\item  Calculer $f\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)$ et 
$f\left(\text{e}^2\right)$.

Que peut-on en déduire pour $\mathcal{C}$ ?

\item Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}$
 au point A d'abscisse $\dfrac{1}{\text{e}}$.

\item	Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant
 en donnant les valeurs de  $f(x)$ arrondies à $10^{-2}$ près :

\[ \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|} \hline
$x$ 	& 0,25	& 0,50	& 1	&2&\text{e}	&4	& 6		& 8	&12& 16	& 20& 24\\ \hline
$f(x)$ 	& 		&0,13 	& 	&3,91 			& 	&3,85 	& 	& 	&1,80 	& 		& & $-0,74$\\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Tracer $\mathcal{C}$ le repère donné. Placer le point
 A et construire la tangente  trouvée au \textbf{)}.

\item On considère la fonction $g$ définie sur I par : 

\[g(x) = - x\left[(\ln x)^2  -4 \ln x + 1\right]\]

Déterminer $g'(x)$ et en déduire une primitive de $f$ sur I.

\item Calculer en cm$^2$ la valeur exacte de l'aire de la
 partie limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe $x'$O$x$ et
les droites d'équation $x = 1$ et $x = \text{e}$.

On donnera une valeur décimale arrondie à $10^{-2}$ près par excès
 de cette aire. 
\end{enumerate}
\end{document}