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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G. -I.G.}
\lfoot{\small{La Réunion }}
\rfoot{\small{juin 2002}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{
\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT C.G. --I.G.~\decofourright\\
La Réunion juin 2002}}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Dans un journal économique de juin 2001, un journaliste commente 
ainsi la baisse continue du nombre de reprises d'entreprises

$\bullet$ en 1999, \np{43300} sociétés ont été reprises ;

$\bullet$ en 2000, ce chiffre a baissé de $3\:\%$.

Calculer le nombre des sociétés reprises en 2000. On donnera le résultat arrondi à la centaine la plus proche.

\item Le tableau ci-dessous représente le nombre de reprises d'entreprises en France (indice 100 pour l'année 1987).

{\small \begin{center}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|l |*{8}{ >{\centering \arraybackslash}X |}}\hline
Année					&1993	& 1994	&1995	& 1996	& 1997	& 1998	& 1999	& 2000\\ \hline
Rang $x_i$ de l'année	&	1	& 2 	&3 		&4		& 5		&6 		&7 		&8\\ \hline
Indice $y_i$ du nombre	&80 	&83 	&78 	&78 	&78 	&73 	&72 	&70\\ \hline
de reprises 			&		&		&		&		&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}}

\begin{enumerate} 
\item Représenter par un nuage de points $M_i(x_i~ ;~ y_i)$ cette série.

On prendra comme unités :

$\bullet$ en abscisse : 1~cm pour une année en commençant au rang 0 :

$\bullet$ en ordonnée : 1~cm pour dix points d'indice.

\item Calculer les coordonnées du point moyen G$_1$, associé aux quatre
 premières années, puis celles du point moyen G$_2$ associé aux quatre dernières années.

Placer G$_1$ et G$_2$ sur le dessin précédent. Tracer la droite 
(G$_1$ G$_2$).

\item En utilisant les coordonnées des points G$_1$ et G$_2$, montrer qu'une équation de la droite (G$_1$ G$_2$) est :

\[y = - \np{1625} x + \np{83,8125}.\]

\end{enumerate}

\item On admet que la droite (G$_1$ G$_2$) réalise un ajustement affine convenable du nuage de points et que l'évolution du nombre de reprises d'entreprises ne sera pas modifiée dans les années à venir.

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer graphiquement l'indice des reprises d'entreprises prévues pour l'année 2003.

		\item Déterminer par le calcul en quelle année l'indice descendra pour 
la première fois en dessous de 50.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\medskip

Dans un magasin spécialisé, on trouve trois logiciels de géométrie que, pour simplifier, nous  nommerons A, B et C.

Deux catégories d'acheteurs sont intéressées par l'acquisition  de 
ces logiciels : les enseignants et les étudiants.

Au cours du premier trimestre de l'année, 360 logiciels ont été vendus. 
$80\:\%$ des logiciels ont été achetés par des étudiants.

Les enseignants ont une préférence pour le logiciel A ; ils en ont acheté 36. En revanche, ils n'ont acquis que 12~logiciels B. De plus les étudiants ont acheté 144~ logiciels A et 96~logiciels C.

\begin{enumerate} 
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{| l |*{4}{ >{\centering \arraybackslash}X |}}\hline
\backslashbox{Acheteur}{Logiciel de type} 	&A 	&B 	&C 	&Total\\ \hline
Enseignant									&36	&12 	& 		& \\ \hline
Étudiant									&144& 		&96 	& \\ \hline
Total 										&	&		&		&360\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On interroge un acheteur au hasard. Les probabilités demandées seront données sous forme de \textbf{fraction irréductible}.

	\begin{enumerate} 
		\item Quelle est la probabilité que l'acheteur soit un étudiant ?

		\item Quelle est la probabilité que l'acheteur soit un enseignant ayant requis un logiciel
 de type A ?

		\item Quelle est la probabilité que l'acheteur soit un étudiant ou qu'il ait acquis un logiciel de type A ?

	\end{enumerate}

\item On interroge un étudiant au hasard. Quelle est la probabilité que l'étudiant ait acheté un logiciel de type C ?

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill  10 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{~} d'unité graphique 2~cm.

\vspace{0,25cm}

\begin{center}
 \textbf{Partie A} 
\end{center}

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :

\[g(x) = \text{e}^x - x + 1.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la dérivée $g'$ de la fonction $g$ sur $\R$.

		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $\text{e}^x - 1 \geqslant 0$.

	\end{enumerate}

\item Dresser le tableau de variations de $g$ sur $\R$.

Préciser la valeur de $g(0)$ et en déduire le signe de $g$ sur 
$\R$.

\end{enumerate}

Note : On ne demande pas dans cette question de chercher les limites de la fonction $g$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\textbf{Partie B} 
\end{center}

On considère maintenant la fonction $f$ définie sur $\left[- 1~;~+ 
\infty\right[$ par :

\[f(x) = x + 1 + \dfrac{x}{\text{e}^x}.\]
$\mathcal{C}$ est la courbe représentative de $f$ dans le repère 
\Oij. On rappelle que :

\[\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item En remarquant que $\dfrac{x}{\text{e}^x} = 
\dfrac{1}{\dfrac{\text{e}^x}{x}}$, montrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{\text{e}^x} = 0$.

		\item En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.

	\end{enumerate}

\item Montrer que pour tout $x$ appartenant à $\left[- 1~;~+ 
\infty\right[ \qquad f'(x) = \dfrac{g(x)}{\text{e}^x}.$

En utilisant les résultats de la question \textbf{2} de la 
partie \textbf{A}, préciser le signe de $f'$ et les variations de la 
fonction $f$ sur $\left[- 1~;~+ \infty\right[$.

Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\left[- 1~;~+ \infty\right[$.

\item Déterminer une équation de la tangente T à $\mathcal{C}$ au point
 d'abscisse $0$.

\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution 
$x_0$, et une seule dans $]- 1~;~0]$. Vérifier que $- 0,5 < x_0 < - 0,4$.

\item Tracer dans le repère \Oij{} la droite T et la courbe $\mathcal{C}$	sur l'intervalle $[- 1~;~4]$.
\end{enumerate} 
\end{document}