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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STT C.G. - G.I.}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat 
STT C.G - G.I. Métropole  juin 2003~\decofourright}} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\medskip

En prévision du lancement d'un nouveau produit, une société a effectué une enquête auprès de clients éventuels pour fixer le prix de vente de ce produit. Les résultats sont donnés dans le tableau  ci-dessous :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l | *{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Prix de vente en euros $x_i$ 				&9		&10		&11		&12	&13	&14	&15	&16\\ \hline
Nombre d'acheteurs éventuels $y_i$ 	& 120 	&  100	& 90 	&70	&60	&50	&40	&30\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

\begin{enumerate} \item Représenter graphiquement le nuage des points $M_i\left(x_i~;~ y_i\right)$.

Unités : 1~ cm pour 1 sur l'axe des abscisses ;  1~cm pour 10 sur l'axe des ordonnées.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G$_1$ des quatre premiers points du nuage puis les coordonnées du point moyen G$_2$ des quatre derniers points. Placer ces points sur le graphique et tracer la droite (G$_1$G$_2$).

		\item Estimer graphiquement le prix maximum pour qu'il y ait au moins 20 acheteurs potentiels.
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer qu'une équation de la droite (G$_1$G$_2$) 
est $y = -12,5 x + 226,25$.

		\item En utilisant cette équation, calculer le nombre d'acheteurs que l'on peut prévoir si le prix est fixé à 8~euros. Quelle serait alors la recette ?
 
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}

\medskip

Le patron d'un restaurant prévoit l'achat de mobilier de jardin en vue d'aménager un parc pour ses clients. Il choisit deux modèles, l'un en bois, l'autre en métal.

Pour le modèle en bois, le lot comprend, une table, trois chaises, quatre fauteuils, le tout pour le prix de \nombre{2400} euros.

Pour le modèle en métal, le lot comprend, une table, neuf chaises, deux fauteuils, le tout pour le prix de \nombre{1600}~euros.

Le projet est de disposer d'au moins 63~ chaises et 30~ fauteuils.

\begin{enumerate} 
\item Soit $x$ le nombre de lots en bois et $y$ le nombre de lots en métal achetés par le restaurateur.

 Écrire le système des contraintes correspondant à ce problème.

\item Déterminer graphiquement l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées
 vérifient le système suivant (unité graphique : 1 cm).

\[ \left\{\begin{array}{l c l}
x 		& \geqslant & 0\\
y 		& \geqslant & 0\\
x + 3y 	& \geqslant & 21\\
2x + y 	& \geqslant & 15\\
\end{array}\right.\]
On hachurera la partie du plan qui ne convient pas.

\item Exprimer en fonction de $x$ et $y$ la dépense $d$ correspondant 
à l'achat de $x$ lots en bois et $y$ lots en métal.

\item Déterminer l'équation de la droite D correspondant à une 
dépense de 21\:600 euros et représenter D dans le repère précédent.

\item Déterminer graphiquement les couples à coordonnées entières occasionnant
 une dépense inférieure ou égale à 21\:600 euros.

\item Quel est le couple à coordonnées entières qui assurera la dépense minimale ?

Donner alors le montant de cette dépense.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}
 
\medskip
On donne la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

Cette courbe passe par les points A (1 ; 2) et B d'abscisse e$^2$. On a représenté les tangentes à $\mathcal{C}$ en A et B.
 
\psset{xunit=0.605cm,yunit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-3)(16,5)
\psgrid(0,0)(-4,-3)(16,5)
\uput[ur](1,2){A} \uput[u](7.389,-2.389){B}
\uput[ur](0,0){O}
\psline[linewidth=2pt]{->}(-4,0)(16,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-3)(0,5)
\psline(0,4)(3,-2) \psline(-4,-2.389)(16,-2.389)
\psplot[plotpoints=400,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.3}{16}{x x ln mul 3 x mul sub 5 add}
\end{pspicture} 
\end{center}

À l'aide du graphique, déterminer

\begin{enumerate} 
\item les valeurs de $f(1),~ f'(1)$ et $f'(\text{e}^2)$.

\item un encadrement par deux entiers consécutifs de chacune des solutions de l'équation $f(x) = 0$.
 
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

La fonction $f$ précédente est définie sur $]0~;~+ \infty[$  par l'expression 

\[f(x) =   x \ln (x) + ax + b.\]

En utilisant les résultats $f(1)$ et $f'(1)$, déterminer les valeurs de $a$ et $b$.

Vérifier que la valeur de $f'(\text{e}^2)$ lue graphiquement convient.

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie C}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x)= x \ln (x) - 3x + 5.\]

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item On admet : $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln (x) = 0$. Calculer : 
$\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$.

		\item Montrer que $f(x) =  x\left[\ln (x) - 3\right] + 5$.

Calculer : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.

	\end{enumerate}
 
\item Résoudre par le calcul $f'(x) \geqslant  0$.

\item Dresser le tableau complet des variations de $f$.

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie D}

\medskip
  
On donne la fonction $G$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[G(x) = \dfrac{1}{2}x^2 \ln (x) - \dfrac{1}{4}x^2.\]

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $G'(x) = x \ln (x)$.

\item En déduire une primitive $F$ de $f$.

\item Calculer l'aire, en unité d'aire, de la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les  droites d'équations $x = 1$ et $x = 2$. Donner la valeur exacte puis une  valeur approchée à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}
\end{document}