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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\small STT L'intégrale 1998}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\rhead{A. P. M. E. P. }
\begin{center}{\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT  1998 \decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale d'avril à décembre 1998}}
\end{center}

\vspace{1cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large 
\textcolor{blue}{bleus}}

\vspace{1cm}
 
{\Large
\hyperlink{MetropoleACA}{Métropole ACA-ACC juin  1998} \dotfill 3  \medskip

\hyperlink{EtrangerACA}{Centres étrangers ACA-ACC juin  1998} \dotfill 5  \medskip

\hyperlink{PolynesieACA}{Polynésie ACA-ACC juin  1998}  \dotfill 7 \medskip
   
%\hyperlink{Antilles}{Antilles--Guyane 18 juin 1998} \dotfill 19  \medskip

\hyperlink{MetropoleACAsep}{Métropole ACA-ACC septembre 1998} \dotfill 10  \medskip

\hyperlink{PondicheryCG}{Pondichéry  CG-IG avril 1998}  \dotfill 12 \medskip

\hyperlink{AntillesCG}{Antilles-Guyane  CG-IG juin 1998}  \dotfill 14 \medskip

\hyperlink{EtrangerCG}{Centres étrangers CG-IG juin  1998}  \dotfill 17 \medskip

\hyperlink{MetropoleCG}{Métropole CG-IG juin 1998}  \dotfill 21 \medskip

\hyperlink{PolynesieCG}{Polynésie  CG-IG juin 1998}  \dotfill 23 \medskip

\hyperlink{CaledonienovCG}{Nouvelle-Calédonie  CG-IG novembre  1998}  \dotfill 25 \medskip
}

\vspace{1cm}%\hyperlink{Index}{À la fin index des notions abordées}

%À la fin de chaque exercice cliquez sur * pour aller à l'index
\newpage
 ~
%%%%%%%%%%%%
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Pondichéry CGRH 17 avril  2015
\hypertarget{MetropoleACA}{}

\lhead{\small STT A. C. C. -- A. C. A.}  
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT  Métropole~\decofourright\\[6pt]A. C. C. -- A. C. A. juin 1998}}
\medskip

\textbf{Durée : 2 heures}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice \hfill 8 points}

\medskip

Pour différentes parcelles de blé ayant chacune une superficie de \np{10000}~m$^2$,
le tableau suivant indique la recette $y_i$ (en francs) selon la quantité d'engrais
épandue $x_i$ (en litres).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Quantité d'engrais $x_i$ en litres&50 &100 &150 &200 &250 &300 &350 &400\\ \hline
Recette $y_i$ en francs&\np{2400} &\np{3450} &\np{3750} &\np{4350} &\np{5550} &\np{5700} &\np{6600} &\np{7055}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à la série statistique dans un repère \Oij.

Unités graphiques :

2~cm pour représenter $100$~litres en abscisse

1~cm pour représenter $500$~francs en ordonnée.
		\item On note G le point moyen de ce nuage.
		
Déterminer les coordonnées de G et placer ce point sur le graphique.
		\item L'allure du nuage justifie-t-elle l'ajustement du nuage par une droite ?
	\end{enumerate}
\item Construire la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 13,2x + \np{1890}$.

On admet que la droite $\mathcal{D}$ est une droite d'ajustement du nuage de points.
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du graphique, donner une estimation en francs de la recette d'une
parcelle de blé de \np{10000}~m$^2$ sur laquelle on a mis $450$ litres d'engrais.
		\item Retrouver ce résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~30] par :

\[f(x) = - 2x^3 + 60x^2 + \np{2000}.\]

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à [0~;~30].
\item Vérifier que $f'(x) = 6x(20 - x)$ pour $x$ appartenant à [0~;~30], puis étudier
le signe de $f'$.

Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [0~;~30].
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& 0 & 2 & 5 &10 &15 & 20 & 25 & 30\\ \hline
$f(x)$&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ dans un repère orthogonal d'unités
graphiques :

en abscisses : 1 cm pour 2 unités

en ordonnées : 1 cm pour \np{1000} unités.
\item  Tracer dans le même repère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 150x + \np{4500}$.
\item  Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersection de la
courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le club de théâtre du Lycée Louis XIV a loué une grande salle de spectacle et
organise une représentation de \og Ubu Roi \fg{} d'Alfred Jarry.

Le prix de location de la salle est \np{4500}~F.

Il espère avoir un maximum de spectateurs parmi la population des environs,
aussi il décide de faire passer des messages publicitaires sur la radio locale.

Soit $x$ le nombre de jours de publicité. Pour $x$ compris entre 0 et 20, la recette
prévue est donnée par $f(x)$ où $f$ est la fonction définie dans la partie A.

Chaque jour de publicité est facturé $150$~F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On fait un calcul sur 20 jours de publicité.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la recette prévisible ? 
		\item Calculer les frais engagés : publicité et location.
		\item Calculer le bénéfice dans le cas où la recette est conforme à la prévision.
	\end{enumerate}
\item Quel est le bénéfice si on prévoit 5 jours de publicité ?
\item Établir la formule donnant, en fonction du nombre $x$ de jours de publicité, le
montant total des frais engagés $C(x)$.
\item Combien de jours de publicité au minimum faut-il envisager pour que le
bénéfice prévisible soit positif ou nul ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%  fin Métropole ACA-ACC juin 1998
\newpage
%%%%%%%%%%  Centres étrangers ACA-ACC juin 1998
\hypertarget{EtrangerACA}{}

\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT   Centres étrangers~\decofourright\\[6pt]A. C. C. -- A. C. A. juin 1998}}
\medskip

\textbf{Durée : 3 heures}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

Dans un grand magasin, il y a 120 pantalons à vendre dans les quatre tailles :
S, M, L, ou XL et dans les trois coloris: vert, bleu ou rouge.

50\,\% des pantalons sont bleus et 20\,\% des pantalons sont dans la taille S.
En taille S, il y a le même nombre de pantalons dans les trois coloris.

Il y a trois fois plus de pantalons dans la taille S que dans la taille XL.

En taille XL, il n'y a que des pantalons bleus.

D'autres informations figurent dans le tableau ci-dessous.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau, après justification des quatre premiers
résultats que vous obtenez.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{coloris}{taille}& S &M &L &XL &Total\\ \hline
vert &&10&&&\\ \hline
bleu &&&20&&\\ \hline
rouge&& 12& 15&&\\ \hline
Total&&&&& 120\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Dans cette question, les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
	\begin{enumerate}
		\item Un pantalon étant pris au hasard, calculer la probabilité des évènements
suivants :

$A$ : \og le pantalon est vert \fg

$B$ : \og le pantalon est en taille L \fg

$C$ : \og le pantalon est vert, en taille L \fg

$D$ : \og le pantalon est vert ou en taille L \fg.

		\item Un pantalon étant pris au hasard parmi ceux de coloris vert, quelle est la probabilité
pour qu'il soit de taille L ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{A -} On considère la fonction $P$ définie sur l'intervalle [0~;~50] par :

\[P(x) = 6\left(- x^2 + 30x + \np{1000}\right).\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P'(x)$ où $P'$ est la dérivée de la fonction $P$.
		\item Étudier le signe de $P'(x)$ et en déduire le tableau de variations de la fonction
$P$.
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0 	&5 	&15 &20 &30			&40			&50\\ \hline
$P(x)$	&	&	&	&	&\np{6000}	&\np{3600}	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Tracer la courbe représentative $C$ de la fonction $P$ dans un repère \Oij.

On prendra 1,5~cm pour 5~unités sur l'axe des abscisses
et 1~cm pour $500$~unités sur l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B -} Un producteur de pommes de terre peut récolter à ce jour \np{1200}~kg et les
vendre 5~F le kg. S'il attend, sa récolte augmentera de 60~kg par jour mais le
prix baissera de 0,10~F par kg et par jour.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle somme, en francs, touchera-t-il:
	\begin{enumerate}
		\item s'il vend sa récolte tout de suite?
		\item s'il attend un mois (30 jours) ?
	\end{enumerate}
\item On suppose que ce producteur attend $n$ jours ($0 \leqslant n \leqslant 50$).
	\begin{enumerate}
		\item Calculez en fonction de $n$, le nombre de kg de pommes de terre qu'il a à vendre
et le prix de vente d'un kg.
		\item Montrer que le prix de vente total, appelé profit, au bout de $n$ jours, est

\[P(n) = 6\left(-n^2 + 30n + \np{1000}\right).\]

	\end{enumerate}
\item En utilisant les résultats de la partie A de l'exercice, déterminer graphiquement
au bout de combien de jours le producteur pourra vendre sa récolte :
	\begin{enumerate}
		\item pour avoir un profit maximum que l'on indiquera.
		\item pour avoir un profit égal à \np{6750}~F.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%  fin Centres étrangers ACA-ACC juin 1998
\newpage
%%%%%%%%%%   Polynésie ACA-ACC juin 1998
\hypertarget{PolynesieACA}{}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STT A. C. C. -- A. C. A.}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT Polynésie~\decofourright\\[6pt]A. C. C. -- A. C. A. juin 1998}}
\medskip

\textbf{Durée : 3 heures}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

Le tableau suivant (établi par l'INSEE, enquête emploi, en mars 1995) nous
donne la répartition par sexe et par catégorie socioprofessionnelle de la population
active occupant un emploi.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
						&Hommes (en milliers)&Femmes (en milliers)&Total (en milliers)\\ \hline
Agriculteurs exploitants	&506			&296		& 802\\ \hline
Artisans, commerçants,
 chefs d'entreprise			&\np{1109} 		&558 		&\np{1667}\\ \hline 
Cadres, professions intellectuelles supérieures		
							& \np{1928} 	&947 		&\np{2875}\\ \hline
Professions intermédiaires	& \np{2578} 	&\np{2075} 	&\np{4653}\\ \hline
Employés					& \np{1508} 	&\np{4772} 	&\np{6280}\\ \hline
Ouvriers					& \np{4700} 	&\np{1145} 	&\np{5845}\\ \hline
Total						& \np{12329} 	&\np{9793} 	&\np{22122}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter, en précisant les calculs nécessaires, le texte suivant :

Les résultats seront arrondis à l'unité.

\begin{enumerate}
\item Il y a \ldots \,\% de femmes dans l'ensemble de la population active occupant un
emploi.
\item \ldots\,\% des employés sont des femmes.
\item \ldots\,\% des employés sont des hommes.
\item \ldots\,\% de l'ensemble de la population active occupant un emploi sont des
employés.
\item \ldots \,\% de l'ensemble des femmes actives occupant un emploi sont des
employées
\item En 1995, un ouvrier sur \ldots\: était une femme.
\end{enumerate}
\item On choisit au hasard une personne parmi la population totale recensée dans
le tableau précédent et on suppose que toutes ces personnes ont la même probabilité
d'être choisies.

\begin{itemize}
\item Soit $F$ l'évènement \og la personne choisie est une femme \fg.
\item Soit $A$ l'évènement \og la personne choisie est un agriculteur exploitant \fg.
\end{itemize}

	\begin{enumerate}
		\item Traduire par une phrase l'évènement $A \cap F$.
		\item Traduire par une phrase l'évènement $A \cup F$.
		\item Calculer les probabilités $p(A),\: p(F),\: p(A \cap F)$ puis $p(A \cup F)$.
		
Les résultats seront donnés au centième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{A. Lecture graphique}

\medskip

On donne ci-dessous la représentation graphique d'une fonction $f$ dérivable sur
l'intervalle $[- 1,5~;~8]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner le tableau de variation de f sur l'intervalle [- 1,5 ; 8] ; on précisera
dans ce tableau le signe de la dérivée et les images de -1,5 et 8. Il,5 pt 1
\item Résoudre graphiquement sur l'intervalle [- 1 ,5 ; 8]
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = 10$
		\item $f(x) = 54$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(9,65)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=cyan,subgridcolor=cyan]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-2,-4.9)(9,65)
\uput[d](1,0){1} \uput[d](8,0){8}
\uput[d](8.8,0){$x$} \uput[l](0,63){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{8}{x dup mul 10 mul x 2 add div}
\psdots(-1.5,45)(8,64)
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\textbf{B. Étude de }\boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

La fonction $f$ précédente est définie par 

\[f(x) = \dfrac{10x^2}{x + 2}.\]

On se propose d'étudier $f$ sur l'intervalle $[- 1,5~;~\np{1000}]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que $f'(x) = \dfrac{10x(x + 4)}{(x + 2)^2}$.
\item Étudier le signe de $x(x + 4)$ sur l'intervalle $[- 1,5~;~\np{1000}]$. En déduire celui
de $f'(x)$.
\item Donner le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[- 1,5~;~\np{1000}]$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Application}

\medskip

Une entreprise fabrique et vend des objets.

Le bénéfice réalisé par cette entreprise est égal à $f(x)$, où $f$ est la fonction
étudiée dans la partie B et $x$ le nombre d'objets vendus.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier, pour $x$ compris entre 0 et \np{1000}, que le bénéfice est positif.
\item L'entreprise décide de placer à intérêts composés, au taux de 6\,\% l'an, le
bénéfice correspondant à la vente de \np{1000}~objets. 

On désigne par $C_0$ ce bénéfice exprimé en francs arrondi à l'unité et par $C_n$ la valeur acquise au bout de $n$ années.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $C_0 = \np{9980}$.
		\item Calculer $C_1$ et $C_2$·
		\item Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$. 
		
Préciser la nature de cette suite. 
		\item Déterminer en arrondissant à l'unité la valeur acquise obtenue au bout de
10 ans.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%   fin Polynésie ACA-ACC juin 1998
\newpage
%%%%%%%%%%   Métropole ACA-ACC septembre 1998
\hypertarget{MetropoleACAsep}{}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 1998}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT   Métropole~\decofourright\\[6pt]A. C. C. -- A. C. A. septembre 1998}}
\medskip

\textbf{Durée : 2 heures}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice\hfill 8 points}

\medskip

Une loterie comporte 300 billets qui ont tous été vendus. Chaque billet porte
3 cases à gratter :

$\bullet~~$ 200 billets font apparaître après grattage la mention PERDU ;

$\bullet~~$ les 100 autres billets sont numérotés de 001 à 100, avec un chiffre par case.

Le numéro 013 gagne un vélo à 990 F ; le numéro 007 gagne un baladeur à
290~F ; les numéros terminés par le chiffre 0 gagnent 100~F ; ceux terminés par
le chiffre 5 gagnent 50~F.

\smallskip

L'imprimeur facture 250~F la série de 100~billets numérotés et 1 F par billet marqué
PERDU.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner le nombre de billets se terminant par le chiffre 0, le nombre de billets
se terminant par le chiffre 5.
\item Quelle est la valeur totale des lots mis en jeu ? En déduire la dépense totale
pour l'organisateur de la loterie.
\item Le prix d'un billet est fixé à 25~F. Tous les lots ont été réclamés.
Quel est le bénéfice de la loterie?
\item Pierre a acheté un billet pris au hasard parmi les 300 billets.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'il gagne un lot de valeur supérieure ou égale à
100~F?
		\item Il gratte la case centrale: le chiffre 0 apparaît. Il déclare alors : \og J'ai maintenant 2 chances sur 10 de gagner quelque chose \fg.
		
Est-ce vrai ou faux ? Justifier cette réponse en utilisant la liste possible de tous
les billets avec le chiffre 0 dans la case centrale.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème\hfill 12 points}

\medskip

Le but de ce problème est d'étudier le bénéfice réalisé chaque jour par un artisan
en fonction de la production.

Soit \Oij{} un repère orthogonal du plan. On choisira sur l'axe des abscisses
1~cm pour 1~unité, en commençant la graduation à $10$. Sur l'axe des ordonnées
1~cm représente $100$~francs.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit B la fonction définie sur l'intervalle [10 ; 25] par

\[B(x) = - x^3 + 30x^2 - 153x.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée $B'$ de la fonction $B$. 

Vérifier que

\[B'(x) = 3(x - 3)(17 - x).\]

\item Étudier le signe de la fonction $B'$ sur l'intervalle [10~;~25]. En déduire le
tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [10~;~25].
\item Recopier et compléter le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&10 &15 &20 &23 &25\\ \hline
$B(x)$&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Placer dans le repère \Oij{} les points correspondant à ce tableau puis tracer
la courbe représentative de la fonction $B$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un artisan a observé que pour un produit donné, le coût total $C$, en francs, de
sa production varie en fonction de la quantité $x$ de pièces produites chaque jour,
de la façon suivante :

\[C(x) = x^3 - 30x^2 + 400x.\]

$x$ est un entier compris entre 10 et 25.

\medskip

L'artisan vend les pièces fabriquées au prix unitaire de $247$~francs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le prix de vente de $x$ pièces ?
\item Montrer que le bénéfice réalisé pour $x$ pièces fabriquées et vendues est
$B(x)$, où $B$ est la fonction étudiée dans la partie A.
\item Pour combien de pièces fabriquées et vendues l'artisan réalise-t-il un bénéfice
maximal ?
\item Quel est ce bénéfice maximum ? 

Quel est le bénéfice réalisé alors sur une pièce vendue ? 
\item Par lecture graphique, déterminer le nombre de pièces que doit vendre l'artisan
s'il veut gagner au moins \np{1000}~F.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%   fin Métropole ACA-ACC septembre 1998
\newpage
%%%%%%%%%%   Pondichery CG avril 1998
\hypertarget{PondicheryCG}{}

\lhead{\small STT Comptabilité et gestion -- Informatique et gestion}  
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{avril 1998}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT   Pondichéry~\decofourright\\[6pt]Comptabilité et gestion -- Informatique et gestion avril 1998}}
\medskip

\textbf{Durée : 3 heures}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Deux services (A et B) d'une clinique se partagent l'usage de deux appareils
médicaux: un scanner et une radio.

Une étude a montré que les patients du service A passent en moyenne
30 minutes au scanner et 20 minutes à la radio. Quant aux patients du service
B, ils passent en moyenne 15 minutes au scanner et 20 minutes à la radio.

Le service du scanner fonctionne 9 heures par jour et celui de la radio
10 heures par jour.

Ces appareils étant coûteux, on cherche à déterminer le nombre $x$ de patients
du service A et le nombre $y$ de patients du service B pour les utiliser au mieux
chaque jour.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer un système d'inéquations portant sur $x$ et $y$ traduisant les contraintes.
\item  À tout couple $(x~;~y)$ on associe un point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ dans un
repère orthonormal \Oij{} (unité : 0,5 cm).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le système obtenu au 1. est équivalent à (C)\:$\left\{\begin{array}{l c l}
x &\geqslant&0\\
y &\geqslant&0\\		
2x+ y &\leqslant&36\\
x+y &\leqslant&30\\
\end{array}\right.$
		\item Déterminer graphiquement l'ensemble des points $M(x~;~y)$ dont les coordonnées
vérifient les contraintes. (On hachurera la zone ne convenant pas.)
	\end{enumerate}
\item  Pour la gestion des deux appareils, 30 F sont prélevés sur les frais médicaux
des patients du service A et 20~F pour les patients du service B.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer la somme $S$ ainsi obtenue quotidiennement en fonction de $x$ et de $y$.
		
On obtient ainsi l'équation d'une droite $\Delta_S$.

Tracer sur le même graphique la droite $\Delta_{600}$.
		\item Expliquer comment, grâce au graphique, on peut trouver le couple $\left(x_0~;~y_0\right)$ pour lequel la somme $S$ est maximale.
		
D'après cette étude graphique, trouver ce couple et calculer la somme maximale.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Suite à une visite médicale dans 10 entreprises de service informatique, on a
constaté qu'une certaine proportion du personnel travaillant devant un écran
d'ordinateur souffrait régulièrement de maux de tête ou de troubles de la vision.

Ces résultats sont reproduits, par entreprise, dans le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash \scriptsize}X|}}\hline 
Entreprise& \no 1&\no 2&\no 3 &\no 4 &\no 5 &\no 6 &\no 7 &\no 8 &\no 9 &\no 10\\ \hline
Horaire quotidien devant un
écran d'ordinateur $x_i$& 5 h 30& 5 h 30& 6h &6 h 30 &6 h 30 &6 h 30 &6 h 45 &7 h 15 &7 h 15 &7 h 15\\ \hline
Pourcentage du personnel
atteint $y_i$&30 &40 &45 &40 &45 &50 &55 &55 &60 &55\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire dans un repère orthogonal le nuage de points associé à ce
tableau statistique.

On prendra les unités suivantes :

en abscisse : 1 cm pour 1/2 heure. (Par exemple : 7 h 15 correspond à $7,25$)

en ordonnée : 1 cm pour 10\,\%.
\item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et le placer sur le graphique.
\item On considère les points A(8~;~70) et B(8~;~55). Construire les droites (GA)
et (GB) sur le graphique précédent.
	\begin{enumerate}
		\item On se propose de faire un ajustement du nuage par l'une de ces deux droites.
		
Quelle droite vous semble la plus appropriée ? Expliquer votre choix.
		\item Déterminer une équation de la droite choisie.
	\end{enumerate}
\item En utilisant l'ajustement trouvé, estimer le pourcentage de personnes atteintes
de maux de têtes pour une utilisation journalière de 7 h.
\end{enumerate}



\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[- 4, +\infty[$ par 

\[f(x) = \left(3 - x^2\right) \text{e}^x.\]

On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormal \Oij.

(On prendra le centimètre comme unité graphique).

Toute valeur approchée sera donnée à $0,1$ près.

\medskip

\textbf{Étude de } \boldmath $f$ \unboldmath

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de $f$ et montrer que $f'(x) = (1 - x)(x + 3)\text{e}^x$.
		
Étudier le signe de $f'(x)$.
		\item En déduire le tableau de variations de $f$
	\end{enumerate}

\medskip
	
\hspace{-0.8cm}\textbf{Étude de points particuliers}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(0)$ et $f'(0)$.
		
En déduire une équation de la tangente à $C$ au point d'abscisse $0$.
		\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item En utilisant les résultats du 2. b. et du 3. tracer $C$.

\medskip

\hspace{-0.8cm}\textbf{Calcul intégral}

\item Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par $F(x) = \left(1 + 2x - x^2\right)\text{e}^x$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $F'$ de $F$.
		\item En déduire la valeur de $\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x$.
		
On donnera la valeur exacte et une valeur approchée à $0,1$ près.
		\item Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%   fin Pondichery CG avril 1998
\newpage
%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane CG-IG juin 1998
\hypertarget{AntillesCG}{}

\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT   Antilles-Guyane~\decofourright\\[6pt]Comptabilité et gestion -- Informatique et gestion  juin 1998}}
\medskip

\textbf{Durée : 3 heures}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Un commercial de la société LOGICAL, société spécialisée dans la micro-informatique
pour les PMI, fait le bilan mensuel du montant de ses ventes pour
l'année 1997 mais il a égaré sa fiche du mois de décembre 1997. 

Il classe ses données dans le tableau suivant, le montant des ventes étant donné en milliers
de francs (kF).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang du mois			&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10	&11	&12\\ \hline
Montant des ventes (kF)	&60	&65	&72	&73	&81	&84	&91	&95	&96	&100&110&{?}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter les 11 premiers points du nuage associé à cette série statistique
dans un repère orthogonal en suivant les consignes suivantes :
		
1 cm représente 1 mois sur l'axe des abscisses gradué de 0 à 20.
		
1 cm représente 10 kF sur l'axe des ordonnées gradué de 0 à 160.
		\item Un ajustement linéaire vous semble-t-il indiqué ? Justifier votre réponse.
	\end{enumerate}
\item On veut déterminer le 12\up{e} point du nuage.
	\begin{enumerate}
		\item  L'employeur certifie au commercial que le montant moyen des ventes mensuelles
pour l'année 1997 a été de 86 kF.
		
Calculer l'abscisse du point moyen G du nuage et placer le point G sur le graphique.
		\item Retrouver le montant des ventes du mois de décembre. 
		
Placer le point d'abscisse 12 du nuage sur le graphique.
 	\end{enumerate}
\item On prend comme droite d'ajustement affine la droite $\Delta$ qui passe par le point
G et a pour pente $4,4$. 

Déterminer une équation de $\Delta$ et tracer $\Delta$ sur le graphique.
\item On fait l'hypothèse que la tendance s'est poursuivie en 1998, donc que les
calculs peuvent être faits à partir de la droite $\Delta$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner par le calcul une approximation du montant des ventes pour le mois
de juin 1998.
		\item Une prime spéciale est attribuée à partir de $145$~kF de ventes dans le mois.
		
Déterminer par le calcul à partir de quel mois le commercial peut espérer être
gratifié de cette prime.
		
(Il est conseillé de contrôler les résultats sur le graphique.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Une loterie comporte 300 billets qui ont tous été vendus. Chaque billet porte
3 cases à gratter :

$\bullet~~$ 200 billets font apparaître après grattage la mention PERDU ;

$\bullet~~$ les 100 autres billets sont numérotés de 001 à 100, avec un chiffre par case.

Le numéro 013 gagne un vélo à 990 F ; le numéro 007 gagne un baladeur à
290~F ; les numéros terminés par le chiffre 0 gagnent 100~F ; ceux terminés par
le chiffre 5 gagnent 50~F.

\smallskip

L'imprimeur facture 250~F la série de 100~billets numérotés et 1 F par billet marqué
PERDU.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner le nombre de billets se terminant par le chiffre 0, le nombre de billets
se terminant par le chiffre 5.
\item Quelle est la valeur totale des lots mis en jeu ? En déduire la dépense totale
pour l'organisateur de la loterie.
\item Le prix d'un billet est fixé à 25~F. Tous les lots ont été réclamés.
Quel est le bénéfice de la loterie?
\item Pierre a acheté un billet pris au hasard parmi les 300 billets.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'il gagne un lot de valeur supérieure ou égale à
100~F?
		\item Il gratte la case centrale: le chiffre 0 apparaît. Il déclare alors : \og J'ai maintenant 2 chances sur 10 de gagner quelque chose \fg.
		
Est-ce vrai ou faux ? Justifier cette réponse en utilisant la liste possible de tous
les billets avec le chiffre 0 dans la case centrale.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A - Étude d'une fonction}

\medskip

$\mathcal{C}$ est la courbe représentative d'une fonction définie sur l'intervalle [1 ; 30] .
Elle est représentée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=0.33cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-6)(31,6)
\multido{\n=0+2}{16}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-6)(\n,6)}
\multido{\n=-6+2}{7}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(30,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-1.9,-6)(31,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,1)
\uput[u](30.5,0){$x$}
\uput[r](0,5.9){$y$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{30}{3 x mul x ln x mul sub 2 div}
\uput[ul](1.1,1.5){A}\uput[u](7.389,3.6945){B}
\psline{<->}(5.389,3.6945)(9.389,3.6945)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](1,1.5)(7.389,3.6945)
\end{pspicture}
\end{center}

De plus on sait que :

(P1) \og La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A$\left(1~;~\dfrac{3}{2}\right)$ \fg.

(P2) \og La tangente à $\mathcal{C}$ au point B d'abscisse e$^2$ est parallèle à l'axe des
abscisses. \fg

On note la fonction $f$  définie sur [1~;~30] par 

\[f(x) = \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2}x \ln x\]

et $f'(x)$ sa dérivée.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la représentation graphique de $f$, vérifie la propriété (P1).
\item Calculer $f'(x)$.

Calculer $f'\left(\text{e}^2\right)$ et montrer que la représentation graphique de $f$ vérifie la propriété (P2).
\item Résoudre $1 - \dfrac{1}{2}\ln x > 0$, en déduire le signe de $f'(x)$. Dresser le tableau
de variations de $f$.
\item Reproduire et compléter à l'aide d'une calculatrice le tableau de valeurs suivant,
en donnant pour $f(x)$ une valeur décimale approchée à $10^{-3}$ près :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&1&2&e&7&e$^2$&8&10&20&e$^3$&21&25&30\\ \hline
$f(x)$&&&&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Application à l'économie}

\medskip

On admet que $\mathcal{C}$ est la représentation graphique de $f$.

Dans une entreprise, une étude a permis de calculer le bénéfice par objet $B(x)$
dégagé par la production et la vente de $x$ objets ($x$ compris entre 1 et 30). Ce
bénéfice s'exprime en milliers de francs par 

\[B(x) = \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2}x \ln x.\]

Utiliser la partie A pour répondre aux questions suivantes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le bénéfice par objet, lorsque l'entreprise produit $10$ objets ; donner
la réponse à $1$ franc près.

Quel est alors le bénéfice total ?
\item La direction de l'entreprise, pour des raisons de rentabilité, décide de maximiser
le bénéfice par objet. Utiliser la partie A pour justifier la décision de
l'entreprise de fabriquer $7$ objets.
\end{enumerate} 
%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane CG-IG juin 1998
\newpage
%%%%%%%%%%   Centres étrangers CG-IG juin 1998
\hypertarget{EtrangerCG}{}

\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT   Centres étrangers~\decofourright\\[6pt]Comptabilité et gestion -- Informatique et gestion  juin 1998}}
\medskip

\textbf{Durée : 3 heures}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Une collectivité veut acheter trois sortes de biscuits: des croquants, des navettes
et des madeleines. Ces biscuits sont vendus en deux conditionnements
différents : des boîtes carrées et des boîtes rondes.

Une boîte carrée contient 12 kg de croquants, 4~kg de navettes et 3~kg de
madeleines.

Une boîte ronde contient 3 kg de croquants, 2~kg de navettes et 4~kg de madeleines.

Cette collectivité veut au moins 60~kg de croquants, au moins 32~kg de navettes
et au moins 36~kg de madeleines.

Soit $x$ le nombre de boîtes carrées et $y$ le nombre de boîtes rondes achetées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer un système d'inéquations portant sur $x$ et $y$ traduisant les contraintes
du problème.

Montrer que le système trouvé est équivalent à :
\[(S) \quad \left\{\begin{array}{l c l}
x		&\geqslant&0\\
y		&\geqslant&0\\
4x + y	&\geqslant&20\\
2x+ y 	&\geqslant&16\\
3x+ 4y	&\geqslant&36\\
\end{array}\right.\]

Hachurer l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées $(x~;~y)$ ne vérifient
pas le système (S), sur la figure donnée en Annexe.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer la dépense occasionnée par l'achat de $x$ boîtes carrées et $y$ boîtes
rondes.
		\item Dessiner sur le graphique donné la droite $\mathcal{D}$ correspondant à une dépense
de \np{4000}~F.
	\end{enumerate}
\item  À l'aide du graphique, déterminer les nombres $x$ et $y$ pour lesquels la
dépense est minimale. Calculer cette dépense.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Annexe}

\psset{xunit=0.85cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(13,21)
\psaxes[linewidth=1.25pt,ticksize=0 5pt,labels=none](0,0)(0,0)(13,21)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot{0}{5}{20 4 x mul sub}
\psplot{0}{8}{16 2 x mul sub}
\psplot{0}{12}{9 0.75 x mul sub}
\uput[d](12.5,0){$x$}
\uput[l](0,20.5){$y$}
\end{pspicture}

\end{center}


\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau suivant représente l'évolution du chiffre d'affaires d'une entreprise pendant dix années, entre 1987 et 1996.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &1987			&1988	&1989	&1990	&1991	&1992	&1993	&1994	&1995	&1996\\ \hline
rang de l'année $x_i$&0		&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8	&9\\ \hline
chiffre d'affaires $y_i$ (en MF = $10^6$ F)&110 &130&154&180&191&210&240&245&270&295\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter, par le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ cette série. En abscisse, on
prendra 2 cm pour une année. En ordonnée, on prendra 1~cm pour 20~MF.
\item Quel est, en pourcentage, l'augmentation du chiffre d'affaires entre les
années 1987 et 1996 (on arrondira à 1\,\% près par excès). ~
\item Soit G le point moyen du nuage. Calculer les coordonnées du point G.
\item La répartition des points du nuage montre qu'il est judicieux de procéder à un
ajustement affine. On prend la droite $\Delta$ d'équation $y = 20x + 112,5$ comme
droite d'ajustement affine du nuage.

Vérifier que G appartient à la droite $\Delta$ et tracer cette droite sur le graphique.
\item En admettant que l'évolution continue au même rythme et en utilisant l'ajustement
affine, quel chiffre d'affaires peut-on attendre pour l'année 1999 ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La figure ci-dessous représente la courbe $(\mathcal{C})$ d'une fonction $f$ définie sur ]0~;~7].
On note $f'$ la dérivée de $f$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.8,-2.2)(7.2,4.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.5,-2)(7.2,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](7,0){$x$} \uput[r](0,3.75){$y$}
\psline(2.71828,0.1)(2.71828,-0.1)\uput[d](2.71828,0){e}
\uput[dl](0,0){O}
\psline{<->}(1.71828,3.7)(3.71828,3.7)
\psline[linestyle=dashed](2.71828,0)(2.71828,3.7)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.8}{7.2}{x ln x div 10 mul}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur ]0~;~7]. En déduire le signe de
$f'(x)$, en fonction de $x$.
\item Sachant que l'un des graphiques représentés ci-après (numérotés de 1 à 4)
représente la  courbe de la fonction $f'$, déterminer lequel en justifiant la
réponse.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.8,-2.2)(7.2,4.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.5,-2)(7.2,4.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](7,0){$x$} \uput[r](0,3.75){$y$}
\psline(2.71828,0.1)(2.71828,-0.1)\uput[d](2.71828,0){e}
\uput[dl](0,0){O}
\rput(3.5,-1.8){Figure 1}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.3}{7.2}{x ln x 2.71828 sub  mul x div}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.8,-2.2)(7.2,2.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.5,-2.2)(7.2,2.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](7,0){$x$} \uput[r](0,1.75){$y$}
\psline(2.71828,0.1)(2.71828,-0.1)\uput[d](2.71828,0){e}
\uput[dl](0,0){O}\rput(3.5,-1.8){Figure 2}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.3}{7.2}{x ln x 2.71828 sub  mul x div neg}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-0.8,-2.2)(7.2,7.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.5,-2)(7.2,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](7,0){$x$} \uput[r](0,6.75){$y$}
\psline(2.71828,0.1)(2.71828,-0.1)\uput[d](2.71828,0){e}
\uput[dl](0,0){O}\rput(3.5,-1.8){Figure 3}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{7.2}{1 x ln  sub x dup  mul div 10 mul}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.8,-2.2)(7.2,5.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.5,-2)(7.2,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](7,0){$x$} \uput[r](0,6.75){$y$}
\psline(2.71828,0.1)(2.71828,-0.1)\uput[d](2.71828,0){e}
\uput[dl](0,0){O}\rput(3.5,-1.8){Figure 4}
\psline[linestyle=dashed](0,2.71828)(1,2.71828)\uput[l](0,2.71828){e}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{7.2}{x 2.71828  sub 2 exp  x  div }
\end{pspicture*}
\end{center}
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie par:

\[f(x) = 10 \dfrac{\ln x}{x}\]

pour $x$ appartenant à l'intervalle ]0~;~7]. On considère par ailleurs la fonction $F$
définie sur le même intervalle par $F(x) = 5(\ln x)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite en $0$ de $f$.
\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$.
\item Calculer $I = \displaystyle\int_1^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$. 

Interpréter géométriquement ce résultat.
\item Calculer $f'(x)$. 

Résoudre l'équation $f'(x) = 0$, puis retrouver les résultats
de la question A 1. concernant le signe de $f'(x)$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%   Centres étrangers CG-IG juin 1998
\newpage
%%%%%%%%%%   Métropole CG-IG juin 1998
\hypertarget{MetropoleCG}{}

\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT   Métropole~\decofourright\\[6pt]Comptabilité et gestion -- Informatique et gestion juin 1998}}
\medskip

\textbf{Durée : 3 heures}
\end{center}
    
\vspace{0,3cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Soit $P$ la fonction polynôme, définie sur $\R$ par 

\[P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 11 x - 6.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que : $P(x) = (2x + 1 )\left(x^2 + x - 6\right)$.

Résoudre l'équation $P(x) = 0$.
\item Résoudre dans $\R$ les équations:
	\begin{enumerate}
		\item $2(\ln x)^3+ 3(\ln x)^2 - 11 (\ln x) - 6 = 0$.
		\item $2\text{e}^{2x} + \text{e}^{x} - 11 - 6 \text{e}^{- x} = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau suivant montre l'évolution annuelle du prix, en francs, du m$^2$ habitable,
dans une grande ville française.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&1988&1989&1990&1991&1992&19932&1994&1995&1996&1997\\ \hline
Prix&\np{11700}&\np{11000}&\np{11000}&\np{10500}&\np{10200}&\np{10000}&\np{9500}&\np{9200}&\np{9000}&\np{8800}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire, dans un repère orthogonal, le nuage de points associé à ce
tableau statistique.

On prendra comme unités :

En abscisse : 1 cm pour une année en commençant à 1988.
En ordonnée : 1 cm pour 500 F, en commençant à \np{6500}~F.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage de points et placer
G sur le graphique.
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G$_1$ associé aux années allant de
1988 à 1992, puis celles du point moyen G$_2$, associé aux années allant de
1993 à 1997.
		\item Placer G$_1$ et G$_2$ dans le graphique précédent puis déterminer une équation
de la droite $\left(\text{G}_1\text{G}_2\right)$.
	\end{enumerate}
\item On admet que la droite $\left(\text{G}_1\text{G}_2\right)$ réalise un ajustement convenable du nuage et que l'évolution du prix du m$^2$ habitable reste la même les années suivantes.

Déterminer alors le prix du m$^2$ en l'an 2000.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal. (Unité graphique : 1 cm)

La courbe (C) représentée ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction
$f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = a + bx\text{e}^{-x}\]

où $a$ et $b$ sont deux réels.

La droite (T) est la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse $0$.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,dotscale=0.8}
\begin{pspicture*}(-6.5,-4.1)(6.5,5.1)
\multido{\n=-4+1}{10}{\multido{\na=-6+1}{13}{\rput(\na,\n){\psset{dotscale=0.5}$\bullet$}}}
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-6.5,-4.1)(6.5,5.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,1)
\psplot{-6}{3.1}{2 x add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{6.5}{2 x 2.71828 x exp div add}
\uput[u](2.5,4.5){T} \uput[u](5.5,2){(C)}
\end{pspicture*}
\end{center}

\textbf{La partie A est, dans une large mesure, indépendante de la partie B}

\medskip

\textbf{A - Expression de } \boldmath $f$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
\item Lire sur le graphique $f(0)$ et $f '(0)$.
\item Déduire de 1. et 2. la valeur de $a$ et celle de $b$.

\end{enumerate}

Dans la suite du problème on prend $f(x) = 2 + x\text{e}^{-x}$.

\medskip

\textbf{B - Variation de } \boldmath $f$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x,\: f'(x) = \text{e}^{-x}(1 - x)$.

Étudier le signe de $f'(x)$. En déduire les variations de $f$.
\item Déterminer, en justifiant vos calculs, la limite de $f$ en $- \infty$.
\item Déterminer, en justifiant vos calculs, la limite de $f$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement ce résultat.

(On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$).
\item Donner le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C - Calcul d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $G$ définie sur $\R$ par : 

\[G(x) = - (x + 1 )\text{e}^{-x}\]

est une primitive sur $\R$ de la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $g(x) = x\text{e}^{-x}$.

En déduire une primitive de $f$ sur $\R$.
\item Déterminer l'aire de la portion de plan comprise entre la courbe (C), l'axe
des abscisses, les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$. 

On donnera d'abord la valeur exacte de cette aire puis une valeur arrondie à deux décimales.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%   fin Métropole CG-IG juin 1998
\newpage
%%%%%%%%%%   Polynésie CG-IG juin 1998
\hypertarget{PolynesieCG}{}

\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT   Polynésie~\decofourright\\[6pt]Comptabilité et gestion -- Informatique et gestion juin 1998}}
\medskip

\textbf{Durée : 3 heures}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

CAC 40 : le profil de ses 385 administrateurs (Le Revenu français,
17 octobre 1997)

Une étude a montré que, sur les 385 administrateurs des sociétés du CAC 40,
19\,\% sont étrangers. 

Les auteurs de cette étude ont choisi de s'intéresser aux
\og pluri-administrateurs \fg. les dirigeants qui remplissent au moins deux mandats.

Sur les 76 ayant plus d'un mandat, 4 sont étrangers.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les données ci-dessus, recopier et compléter le tableau suivant
(on arrondira à l'entier le plus proche) :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline

&administrateurs français&administrateurs étrangers&total\\ \hline
1 mandat&&&\\ \hline
2 mandats ou plus&&4&76\\ \hline
total&&&385\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item À l'aide du tableau, donner le pourcentage de français n'ayant qu'un seul
mandat.
\item Sachant que 45\,\% des administrateurs français qui cumulent au moins deux
mandats sont issus des grands corps d'état (polytechnique, les mines etc.),
donner leur nombre.
\item On choisit au hasard un administrateur d'une société composant le CAC 40,
quelle est la probabilité qu'il soit étranger et avec un seul mandat ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie sur $[- 4~;~3]$ , on note $f'$ sa dérivée ; à
l'aide de la représentation graphique ci-dessous dans un repère orthonormal
(unité graphique 2 cm), répondre aux questions suivantes avec la précision permise
par le dessin.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-4,-3)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-4,2)(-3.4,1)(-3,0)(-2.64,-1)(-2,-2)(-1.33,-1)(-1,0)(-0.64,1)(0,2)(0.7,1)(1,0)(1.22,-1)(1.45,-2)(2,-3)(2.44,-2)(2.68,0)(3,3)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(-2.5,-2)(-1.5,-2)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(1.5,-3)(2.5,-3)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(-0.5,2)(0.5,2)
\psplot{-1.9}{-0.1}{x 3 mul 3 add}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Déterminer le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$, justifier brièvement
votre réponse.
\item Donner le tableau de variation de $f$, en déduire les solutions de l'inéquation
$f'(x) > 0$.
\item Résoudre l'équation $f(x) = 2$, puis l'inéquation $f(x) > 2$.
\item Donner une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $- 1$,
sachant qu'elle passe par le point (0~;~3). 

En déduire $f'(-1)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{2\text{e}^x  - 2}{\text{e}^x + 2}\]

et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité graphique 2 cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f$ en $- \infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe $(\mathcal{C})$ ?
~
\item Montrer que $f(x) = 2 - \dfrac{6}{\text{e}^x + 2}$. Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement ce résultat.
\item Montrer que $f'(x) = 2 - \dfrac{6}{\left(\text{e}^x + 2\right)^2}$.

En déduire son signe. 

Établir le tableau de variations de $f$.
\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
\item Tracer $(\mathcal{C})$ et ses asymptotes.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $g'$ de la fonction $g$ définie par $g(x) = \ln \left(\text{e}^x + 2\right)$.
		\item Montrer que $f(x) = 3g'(x) - 1$ et en déduire une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.
		\item Calculer en cm$^2$ la valeur exacte de l'aire $(\mathcal{A})$ de la partie du plan limitée par les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$, l'axe des abscisses et $(\mathcal{C})$. 
		
En donner une valeur approchée à $10^{- 3}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%   fin Polynésie CG-IG juin 1998
\newpage
%%%%%%%%%%   Nouvelle-Calédonie décembre 1998
\hypertarget{CaledonienovCG}{}

\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre 1998}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT   Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[6pt]Comptabilité et gestion -- Informatique et gestion  décembre 1998}}
\medskip

\textbf{Durée : 3 heures}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne les montants (en millions de francs) de toutes les cotisations perçues par une mutuelle de 1989 à 1996.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&1989	&1990	&1991	&1992	&1993	&1994	&1995	& 1996\\ \hline
Rang de l'année $x_i$	&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8\\ \hline
Cotisation en millions 
de francs $y_i$			&\np{4100}&\np{4450}&\np{4650} &\np{4900} &\np{5250} &\np{5450} &\np{5900} & \np{6300}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques :

sur l'axe des abscisses : 2 cm

sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 200 millions de francs,

en graduant à partir de \np{4000}~millions de francs.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G$_1$ associé aux quatre premières
années du tableau, puis celles du point moyen G$_2$ associé aux quatre dernières
années. ~
		\item Déterminer une équation de la droite d'ajustement $\left(\text{G}_1\text{G}_2\right)$ et la tracer.
	\end{enumerate}
\item Déduire de la question précédente une estimation du montant des cotisations en 1997, au million de francs près.
\item À partir de quelle année le montant des cotisations dépassera-t-il \np{7200}~millions de francs ? Justifier le résultat.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\medskip

Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher :

1 boule verte valant 1 point,

2 boules bleues valant chacune 2 points,

2 boules rouges valant chacune 3 points.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On tire au hasard une boule dans l'urne.

Calculer la probabilité des évènements :

$A$ : \og obtenir une boule bleue \fg,

$B$ : \og obtenir un point \fg,

$C$ : \og obtenir au moins deux points \fg.
\item On tire successivement sans remise 2 boules dans l'urne.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de tirages différents possibles à l'aide d'un tableau ou d'un arbre.
		\item Calculer la probabilité des évènements :
		
$D$ : \og obtenir deux boules de la même couleur \fg,

$E$ : \og obtenir quatre points \fg,

$F$ : \og obtenir quatre points avec deux boules de couleurs différentes \fg.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit le polynôme $P(X) = (X - 3)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $P(X)$.
\item  En déduire:
	\begin{enumerate}
		\item la résolution dans $\R$ de $\text{e}^{2x} - 6\text{e}^x + 9 = 0$.
		\item le signe de $\text{e}^{2x} - 6\text{e}^x + 9$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = 6 - \text{e}^x\]

et $g$ la fonction définie sur $\R$ par

\[g(x) = 9\text{e}^{- x}.\]

On note $\left(C_f\right)$ et $\left(C_g\right)$ les courbes représentatives de $f$ et $g$ dans un repère
orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

La courbe $\left(C_f\right)$ est donnée ci-après.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $g$ en $- \infty$. 
		\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. En déduire que $\left(C_g\right)$ admet une asymptote.
		\item Calculer $g’(x)$ où $g’$ désigne la dérivée de $g$. Étudier le signe de $g’(x)$ et dresser le tableau de variations de $g$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout réel $x,\: g(x) - f(x) = \text{e}^{2x} - 6\text{e}^x + 9$.
		\item À l'aide de la partie A, démontrer que les courbes $\left(C_f\right)$ et $\left(C_g\right)$ se coupent
au point I de coordonnées $(\ln 3~;~3)$.
		\item À l'aide de la partie A, déterminer la position relative de $\left(C_f\right)$ et $\left(C_g\right)$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer qu'au point I les deux courbes $\left(C_f\right)$ et $\left(C_g\right)$ ont la même tangente $(T)$.
\item Tracer la droite $(T)$ ainsi que $\left(C_g\right)$ sur la feuille annexe contenant déjà la courbe $\left(C_f\right)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire de la partie du plan limitée par $\left(C_f\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = \ln 3$.
		\item Déterminer la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire de la partie du plan limitée par $\left(C_g\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln 3$.
		\item En déduire la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire de la partie du plan limitée par $\left(C_f\right)$ et $\left(C_g\right)$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = \ln 3$.
		
Donner une valeur approchée de cette aire à $10^{- 2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe}
\bigskip

\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.75,-3)(2.5,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-2.75,-3)(2.5,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.75}{2.5}{6 2.71828 x exp sub}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](-2,6){\blue $\left(C_f\right)$}
\end{pspicture*}
\end{center}
%%%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie décembre 1998
\end{document}